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高二数学下学期期末试卷(含答案)


2013-2014 嘉峪关市高二数学下学期期末试卷(含答案)
第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.化简 sin600°的值是( A.0.5 B.) C.

3 2

3 2


D.-0.5

2.已知 cosθ ?tanθ <0,那

么角 θ 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( A. 1
2 B. ? 1 2

1 ,m)三点共线,则m的值( 2
C.-2 ) D.2



4.一扇形的中心角为 2,对应的弧长为 4,则此扇形的面积为( A.1 B.2 C.4 ) C.4 D.8

5. 函数 y= sin 2 x -sin x+2 的最大值是 ( A.2 B.3

D.5

6.已知向量 a , b ,满足 a =3, b =2 3,且 a ⊥( a + b ),则 a 与 b 的夹角为( π A. 2 2π B. 3 3π C. 4 5 3 ,sin(α +β )= ,则 cosβ =( 5 5 2 5 2 5 C. 或 25 5 D. 5π D. 6 ) 5 5 或 5 25 )

?

?

?

?

?

?

?

?

?

)

7.设α 、β 都是锐角且 cosα = 2 5 A. 25 2 5 B. 5

8.已知 f(x)=2sin(ω x+φ )的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为(

?3 π ? A.f(x)=2sin? x+ ? 4? ?2 ?4 2π ? C.f(x)=2sin? x+ ? 9 ? ?3

? 3 5π ? B.f(x)=2sin? x+ ? 4 ? ?2 ?4 25 ? D.f(x)=2sin? x+ π ? ?3 18 ?

→ 1→ → 9.在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且AN = NC,P 是 BN 上的一点,若AP 2 → 2→ =mAB+ AC,则实数 m 的值为( 9 )

-1-

1 A. 9 10.函数 y ?

1 B. 3

C.1

D.3 )

x ? π ? ? π? ,x∈?- ,0?∪?0, ?的图象可能是下列图象中的( 2 2? ? ? ? sin 2 x

π 11.已知 θ 是钝角三角形中的最小角,则 sin(θ + )的取值范围是( 3 A.( 3 ,1] 2 B.[ 3 ,1] 2 C.( 2 ,1) 2 D.[

) 2 ,1] 2 )

1 ? sin ? 12.设 ? ? (0, ? ) , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? ? ,则下列关系成立的是( cos ? 2 2
A. 3? ? ? ?

?
2

B. 2? ? ? ? ? 2

C. 3? ? ? ? ? 2 第Ⅱ卷

D. 2? ? ? ? ? 2

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答. 第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? cos( ? ?)sin(?? ? ?) 2 13.已知角α 终边上一点 P(-4,3) ,则 的值为_________. 11? 9? cos( ? ?)sin( ? ?) 2 2 π π ? ? 14.函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0),把函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度,所得图象 6? 6 ?
π 的一条对称轴方程是 x= ,则 ω 的最小值是 3 .

15.已知两点 A(-1,0),B(-1, 3).O 为坐标原点,点 C 在第一象限,且∠AOC=120°, → → → 设 OC=-3OA+λ OB(λ ∈ R),则 λ = 16. 方程 sin ? x ? ? . .(符号 ? x

? x ? x ? 1 ? ? ? ? ? ? 在区间 ? 0, ? ? 内的所有实根之和为 ? 2 ? 2 ? 2?

?

表示不超过 x 的最大整数) 。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

-2-

17. (本小题满分 12 分)已知 a =(1,2), b =(-3,2),当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

? ? ? ?

? ?

? ?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2) 求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

19. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? m, cos 2 x ? , b ? ? sin 2 x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且

?

?

? ?

?? ? ? 2? ? y ? f ? x ? 的图像过点 ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?
(I)求 m, n 的值; ( II )将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的解析式.

20. (本小题满分 12 分)如图所示,P 是△ABC 内一点,且满足 AP + 2BP + 3CP = 0 ,设 Q 为 CP 延长线与 AB 的交点,求证: CQ = 2CP .

??? ?

??? ?

??? ? ?

??? ?

??? ?

-3-

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?
4

).

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值. 5 4

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10) (必修三 算法初步、统计、概率) 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如 下,据此解答如下问题:

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.

23. (本小题满分 10) (必修五 解三角形、数列、不等式) 在等比数列{an}中,an>0(n∈N ) ,且 a1a3=4,a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+1+log2an(n=1,2,3,…) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 数学答案及解析 一、选择题 1 B 2 C 3 A 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 D 11 A 12 B
*

二、填空题 13.

?

3 4

14.

2

15.

3 2

16. 2

三、解答题 17、解 ka ? b ? k ?1, 2 ? ? ? ?3, 2 ? ? ? k ? 3, 2k ? 2 ? ,

? ?

-4-

? ? a ? 3b ? ?1, 2 ? ? 3 ? ?3, 2 ? ? ?10, ?4 ?, 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 ? ? ? ? ?1? (ka ? b) ? (a ? 3b), ? ? ? ? 得 (ka ? b)? ...6 分 (a ? 3b) ? 10 ? k ? 3 ? ? 4 ? 2k ? 2 ? ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19.
(2) (ka ? b) ? (a ? 3b), 得 ? 4 ? k ? 3 ? ? 10 ? 2k ? 2 ? ,k=此时 ka ? b = (? 18 解:

? ?

?

?

? ?

1 , 3

... 10 分

10 4 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 , ) ? ? ?10, ?4 ? , 所以方向相反.。 3 3 3

1 3 3 1 3 3 () 1 f ( x) =cosx( sin x+ cos x) - 3 cos 2 x+ = sin 2xcos 2 x+ 2 2 4 4 2 4 1 3 1+ cos 2x 3 1 3 1 p = sin 2x× + = sin 2xcos 2x= sin (2x- ) 4 2 2 4 4 4 2 3
故 f ( x ) 的最小正周期为π . 分 (2) ? x ? ? ? ...... 6

? ? ?? , ? 4 4? ?

? 2x-

?

? 5? ? ? ? ?? , 3 ? 6 6? ?

? ? 1? ? sin (2x- ) ? ? ?1, ? 3 ? 2?
函数 f ( x ) 在闭区间 ? ?

? 1 1? ? f(x) ? ?? , ? ? 2 4?
... 12 分

1 1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 ,最小值为 - . 4 2 ? 4 4?

19、解: (Ⅰ)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2 x ? n cos 2 x ,

? 2? ? ? ? 过点 ( , 3 ), ( , ? 2 ) ? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 f ( x ) 因为 12 3 12 6 6 2? 4? 4? f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 3 3 3
?1 3 n? 3 ? m? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? ?? ?n ? 1 ?? 3 m ? 1 n ? ?2 ? 2 ? 2
(Ⅱ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

... ... 6 分

?
6

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?

?
6

)

-5-

设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0 ? 1 解得 x0 ? 0
2

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

?
6 ?

? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?


?
3

?
6

) ? 2 sin( 2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x
... ...12

20.证明∵ AP = AQ ? QP , BP = BQ ? QP , ∴ AQ ? 3QP ? 2BQ ? 3CP = 0 ,

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

∴ (AQ ? QP) ? 2(BQ ? QP) ? 3CP = 0 ,

???? ??? ?

??? ? ???? ?

??? ? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ?

又∵A,B,Q 三点共线,C,P,Q 三点共线, 故可设 AQ = ?BQ , CP =μ QP , ∴ ? BQ ? 3QP ? 2BQ ? 3?QP = 0 , 而 BQ , QP 为不共线向量,

? ???? ????? ? ???

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?

∴ (? ? 2)BQ ? (3 ? 3?)QP = 0 . ∴λ =-2,μ =-1.

??? ?

??? ? ?

??? ?

??? ?

∴?

?? ? 2 ? 0 . ?3 ? 3? ? 0

∴ CP = ?QP = PQ .故 CQ = CP ? PQ = 2CP . 21、解: (1)由 2k? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

?
2

2 2 k? ? 2 k? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ ... ...4 分 ? , ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12 ? 4 ? ? 4 ? (2)由 f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? 3 5 4 4 5 4
因为 cos 2? ? sin(2? ? 所以 sin(? ?

? 3x ?

?
4

? 2 k? ?

?

?

2 k? ? 2 k? ? ? ?x? ? 3 4 3 12

?

?

? 5 ......8 分 ) ? 0 或 cos 2 (? ? ) ? 4 4 8 ? ? 3? ①由 sin(? ? ) ? 0 ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ?Z ) 4 4 4 3? 3? 所以 cos ? ? sin ? ? cos ......10 分 ? sin ?? 2 4 4
又 ? 是第二象限角,所以 sin(? ? ②由 cos (? ?
2

8 ? ? ) ? cos 2 (? ? ) sin(? ? ) 4 5 4 4

) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) 2 4 4 4

?

?

?

......6 分

?

?
4

)?

5 ? 5 1 5 ? cos(? ? ) ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 8 4 2 2 2 2 2
5 2
......12 分

所以 cos ? ? sin ? ? ?

-6-

综上, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ?

5 2

22、 【解析】 (1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08,由茎叶图知:分数在 [50,60) 之间的频数为 2, 所以全班人数为

2 =25. 0.08

... 5 分

(2)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4, 频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为

4 ÷10=0.016. 25

... 10 分

23、 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q.由 a1a3=4 可得 a 2 2 ? 4, 因为 an>0,所以 a2=2, 依题意有 a2+a4=2(a3+1),得 2a3=a4=a3q 因为 a3>0,所以 q=2,
n

所以数列{an}的通项公式为 an=2 .

n-1

... 5 分

(2)bn=an+1+log2an=2 +n-1,
2 3 n

可得 Sn=(2+2 +2 +…+2 )+[1+2+3+…+(n-1)]=

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

?

? n ? 1? n
2

? 2n ?1 ? 2 ?

n ? n ? 1? . 2

... 10 分

-7-


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