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高考数学第一轮复习考试题9-数列求和及数列综合应用


第二讲 数列求和及数列综合应用 一、选择题 1.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn,且 S10=18,S20=24,则 S40 等于 ( ) 80 76 79 82 A. B. C. D. 3 3 3 3 解析:根据分析易知: 2 ∵S10=18,S20-S10=6,∴S30-S20=2,S40-S30= , 3 80 ∴S40= ,故选 A. 3 答案:A 1 2.数列{a

n}的通项公式 an= ,若{an}的前 n 项和为 24,则 n 为( ) n+ n+1 A.25 B.576 C.624 D.625 1 解析: an= =-( n- n+1), 前 n 项和 Sn=-[(1- 2)+( 2- 3)+… n+ n+1 +( n- n+1)]= n+1-1=24,故 n=624.选 C. 答案:C

2 Sn 3.(2010· 大连模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项之和,若不等式 a2 + ≥λa2 n 1对任何等差数 n2 列{an}及任何正整数 n 恒成立,则 λ 的最大值为 ( ) 1 1 A.0 B. C. D.1 5 2 an 2 Sn 2 解析:a1=0 时,不等式恒成立,当 a1≠0 时,λ≤ 2+ 2 2,将 an=a1+(n-1)d, a1 n a1 n?n-1?d Sn=na1+ 代入上式,并化简得: 2 5 ?n-1?d 6?2 1 λ≤ ? + + , 4? a1 5? 5 1 1 ∴λ≤ ,∴λmax= . 5 5 答案:B an- 3 4.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈N*),则 a20 等于 ( ) 3an+1 3 A.0 B.- 3 C. 3 D. 2 an- 3 解析:∵a1=0,an+1= , 3an+1 ∴a2=- 3,a3= 3,a4=0,…. 从而知 3 为最小正周期, 从而 a20=a3×6+2=a2=- 3. 答案:B 5.(2009· 广东)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5· a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= ( ) 2 2 A.(n-1) B.n C.(n+1)2 D.n(2n-1) 解析:∵a5· a2n-5=22n=a2 n,an>0, ∴an=2n, + +…+(2n-1) ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…an-1)=log221 3 =log22n2=n2.故 选 B.

答案:B 二、填空题 a1?3n-1? 6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (n∈N*),且 a4=54,则 a1=________. 2 a1?3n-1? a1?81-1? a1?27-1? 解析:由于 Sn= (n∈N*),则 a4=S4-S3= - =27a1,且 2 2 2 a4=54,则 a1=2. 答案:2 S9 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=5a3,则 =________. S5 解析:设等差数列的公差为 d,首项为 a1, 3 S9 9?a1+4d? 则由 a5=5a3 知 a1=- d,∴ = =9. 2 S5 5?a1+2d? 答案:9 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为________. 解析:

设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 则 S4=4a1+6d≥10,即 2a1+3d≥5, S5=5a1+10d≤15,即 a1+2d≤3.又 a4=a1+3d, ? ?2a1+3d≥5, 因此求 a4 的最值可转化为在线性约束条件? ?a1+2d≤3 ? 限制之下的线性目标函数的最值问题,作出可行域如图,可知在当 a4=a1+3d,经 过点 A(1,1)时有最大值 4. 答案:4 9.(2009· 福建)五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1, 第二位同学首次报出的数也为 1, 之后每位同学所 报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的数为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第 100 个数时,甲同学拍手的总 次数为________. 解析: 1,1,2,3,5,8,13,21, …该数列被 3 除所得的余数构成的数列为 1,1,2,0,2,2, 1,0, … 所得新数列中每 4 个数出现一个 0,而又有 5 名同学,因而甲同学报的数为 3 的倍 数的间隔为 20, 所以甲同学报的数为 3 的倍数的数依次是第 16,36,56,76,96 次, 共5 个数,故答案为 5. 答案:5 三、解答题 10.(2010· 济南模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=k· 2n+m,k≠0,且 a1=3. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an

?3=2k+m, 解:(1)方法一:依题意有?3+a =4k+m, ?3+a +a =8k+m.
2 2 3



解得 a2=2k,a3=4k,

a3 a2 2k ∴公比为 q= =2, = =2,k=3,代入①得 m=-3, a2 3 3 - ∴an=3· 2n 1. - 方法二:n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1· k. - 由 a1=3 得 k=3,∴an=3· 2n 1, 又 a1=2k+m=3,∴m=-3. 2 3 n n n 1 (2)bn= = n-1,Tn= ?1+2+22+…+2n-1?, an 3· 3? ? 2 n-1 n ? 1 1? 1 2 T = 2+22+ …+ n-1 +2n?, 2 n 3? 2 ? ? 1 n 1 1? 1 2 ②-③得 Tn= 1+2+22+…+2n-1-2n?, 2 3? ? 1 ?1- n? 1· 1 n 2 ? 2? n 4 - n = ?1-2n- n+1?. T n= 1 2 2 ? 3 3? 1- 2

② ③

? ? ?

? ? ?

1 11.(2010· 浙江五校联考)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 25 (2)设 bn=log3(1-Sn+1),求适合方程 + +…+ = 的 n 的值. b1b2 b2b3 bnbn+1 51 1 2 解:当 n=1 时,a1=S1,由 S1+ a1=1,得 a1= . 2 3 1 1 当 n≥2 时,∵Sn=1- an,Sn-1=1- an-1, 2 2 1 1 1 ∴Sn-Sn-1= (an-1-an),即 an= (an-1-an),∴an= an-1. 2 2 3 2 1 ∴{an}是以 为首项, 为公比的等比数列, 3 3 1 2 ?1?n-1 ? ?n. 故 an= · =2· ?3? 3 ?3? 1 1 ?n (2)∵1-Sn= an=? ?3? ,bn=log3(1-Sn+1) 2 1?n+1 =log3? ?3? =-n-1, 1 1 1 1 ∴ = = - , bnbn+1 ?n+1??n+2? n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ =? - ?+? - ?+…+?n+1-n+2?= - b1b2 b2b3 ? ? 2 n+2. bnbn+1 ?2 3? ?3 4? 1 1 25 解方程 - = ,得 n=100. 2 n+2 51 x+3 12.已知函数 f(x)= (x≠-1),设数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足 x+1 bn=|an- 3|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*). ? 3-1?n (1)用数学归纳法证明:bn≤ ; - 2n 1 2 3 (2)证明:Sn< . 3 2 证明:(1)当 x≥0 时,f(x)=1+ >1. x+1 因为 a1=1,所以 an≥1(n∈N*).

? 3-1?n 下面用数学归纳法证明不等式 bn≤ n-1 . 2 ①当 n=1 时,b1= 3-1,不等式成立. ②假设当 n = k 时,不等式成立,即 bk≤


? 3-1?k ,那么 bk + 1 = |ak + 1 - 3| = - 2k 1

? 3-1?|ak- 3| 3-1 ? 3-1?k 1 ≤ bk≤ . 2 2k 1+ak 所以,当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据①和②,可知不等式对任意 n∈N*都成立. ? 3-1?n (2)由(1)知 bn≤ n-1 . 2 所以 Sn=b1+b2+…+bn ? 3-1?2 ? 3-1?n ≤( 3-1)+ +…+ n-1 2 2 ? 3-1?n 1-? ? ? 2 ? 1 2 =( 3-1)· <( 3-1)· = 3. 3-1 3-1 3 1- 1- 2 2 2 故对任意 n∈N*,Sn< 3. 3


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