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高中数学必修5


高中数学必修 5
一、知识点总结

第一章 解三角形复习

(1) A ? B ? C ? ? (2) sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

【正弦定理】
1.正弦定理:

sin

r />
a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; sin2 A ? 2 sin A ? cos A , 2 2 2 2

2.正弦定理的一些变式:

? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ?

a b c ; ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R a?b?c ? 2R ? iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2 R sin C ;(4) sin A ? sin B ? sinC

(3)若 A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sinC 若 sin A ? sin B ? sinC ? a ? b ? c ? A ? B ? C (大边对大角,小边对小角) (4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于 60 ,最小角小于等于 60 的平方. 钝角三角形 ? 最大角是钝角 ? 最大角的余弦值为负值 (7) ?ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B ? 60 .
? ? ?

3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解)

(6) 锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边

【余弦定理】
?a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2 2 2 1.余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?
2 2 2

(8) ?ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或 角的形式.

2.推论:

? b ?c ?a ?cos A ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . ?cos B ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 (2)在 ?ABC 中,由余弦定理可知: a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角 ? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) (3) 若 sin 2 A ? sin 2B ,则 A=B 或 A ? B ?

设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

?
2

.

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

例 1.在 ?ABC 中, c ? 2b cos A ,且 (a ? b ? c )(a ? b ? c ) ? 3ab ,试判断 ?ABC 形状.

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角. (2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

【面积公式】
已知三角形的三边为 a,b,c, 1. S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) 题型 2【解三角形及求面积】一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元 素求其他元素的过程叫做解三角形. 例 2.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ?

2

2

2

1 2.设 p ? (a ? b ? c ) , S ? 2

p( p ? a )( p ? b)( p ? c ) (海伦公式)
【三角形中的常见结论】

3 , ?A ? 300 ,求 的值

1

例 3.在 ?ABC 中,内角 A, B , C 对边的边长分别是 a , b, c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sinC ? sin( B ? A) ? 2 sin2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3



2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA





B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45° ( )

B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA ( )

4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

二填空题
题型 3【证明等式成立】证明等式成立的方法:(1)左 ? 右,(2)右 ? 左,(3)左右互相推. 例 4.已知 ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c ,求证: a ? b cos C ? c cos B . 5、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= 6、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4 31 7、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32 三、解答题
8、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B

题型 4【解三角形在实际中的应用】 仰角 俯角 方向角 方位角 视角 例 5.如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140° 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° ,航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则 货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少? 9. (本小题共 14 分) 一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追
? ?

三、巩固练习
一、选择题
1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° ( ) D.120°

? 上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦值.
?

北 C 东

B

A
2


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