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3.2.1--复数代数形式的加减运算及其几何意义


3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

我们知道实数有加、减、乘等运算,且有运算律: a?b ?b?a ab ? ba (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (ab)c ? a(bc) a(b ? c) ? ab ? ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢?你认为应怎 样定义复数的加、减、乘运算呢?运算律仍成立吗?

注意到 i 2 ? ?1 ,虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立,所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着, 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了!

1.复数加、减法的运算法则:
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是实数)

(1)加法法则:z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算; ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈C,有

z1+z2=z2+z1,

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.

(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

例1.计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

解:

(5 ? 6 i ) ? (?2 ? i ) ? (3 ? 4 i ) ? (5 ? 2 ? 3) ? (?6 ? 1 ? 4) i ? ?11i

练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i)
(2) (1-3i )+(2+5i) +(-4+9i)

(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
求实数a、b的值。

我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复 数可以表示平面上的向量,那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢?

1.复数加法运算的几何意义?

z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义? 复数z2-z1
符合向量 减法的三 角形法则.

向量Z1Z2
Z2(c,d)

y

Z1(a,b)

o
|z1-z2|表示什么?

x

表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.

(1)|z-(1+2i)|

点A到点(1,2)的距离

(2)|z+(1+2i)|
点A到点(-1, -2)的距离

(3)|z-1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, -2)的距离

练习:已知复数m=2-3i,若复数z
满足不等式|z-m|=1,则z所对应 的点的集合是什么图形?

以点(2, -3)为圆心,

1为半径的圆上

3、复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1

C

z1+z2

B

2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2|
平行四边形OABC是 矩形

o

z1 A

3、 |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2|

平行四边形OABC是 正方形

练习:

设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1

|z2+z1|=

2,

求|z2-z1|

答案 : 2


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