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高一数学必修1同步练习函数及其表示


第二节函数及其表示
一、学习目标:
1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 2、会根据需要选择恰当的方法表示函数。 3、了解分段函数,并能简单应用。

二、重点、难点:
重点是会求一些简单函数的定义域和值域,会根据需要选择恰当的方法表示函数。 难点是函数的值域和分段函数的应用。 知识梳理 1、函数的概念: 一般地, 设 A、 B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f , 使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记 作: y ? f ( x) , x ∈A,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,y 叫函数值,y 的取值范围 C= {f(x)|x∈A}叫做函数的值域,且 C ? B。 说明:①函数首先是两个数集之间建立的对应关系 ②对于 x 的每一个值,按照某种确定的对应关系 f,都有唯一的 y 值与它对应,这种对应应为数与数 之间的“一一”对应或“多一”对应 ③认真理解 y ? f ( x) 的含义: y ? f ( x) 是一个整体, f ( x) 并不表示 f 与 x 的乘积,它是一种符号, 可以是解析式,也可以是图象,还可以是表格; y ? f ( x) 如同一个加工厂,把输入的数 x,按照某种加工 过程(如解析式、图象或表格) ,加工成另外一个数值 y。 ④要强调定义域,值域都是一个集合,且值域是集合 B 的子集。 2、函数的三要素:定义域,值域和对应法则。 3、区间的概念: 闭区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[ a , b ]; 开区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a , b ) ; 半开半闭区间: 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[ a ,

b ) , ( a , b ]。
4、函数的表示方法: 解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 5、映射: 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元 素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射(mapping) ,记作“f:A ? B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的。其中 f 表示具体的对应法则, 可以用汉字表示出来。 (2) “都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。

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典型例题 知识点一:函数的概念 【例 1】已知 (1)求 f(2) ,g(2)的值; (2)求 f[ g( 2 )] 的值; (3)求 f[ g( x )] 和 g[ f ( x )] 的解析式。 思路分析: 1)题意分析:本题给出了两个函数解析式,第一问是给出了自变量,求函数值;第二问是把 g (2) 作 为“ f ”的自变量,第三问是把 g ( x) 和 f ( x) 分别作为“ f ”和“ g ”的自变量。 2)解题思路:按自变量的取值代入函数式求之即可。

f (x) ?

1 (x ? R 2 ? ?1 ), g(x ) ? x ? 2 ( x ? R ) 。 1? x 且x ?

解题后的思考:求函数值时,要正确理解对应法则“f”和“g”的含义;求 f[g(x)]时,应先求 g (x) ,然后将 f(x)解析式中的 x 换为 g(x) ,同时要注意函数的定义域。 【例 2】 已知 y ? f ( x ) 的定义域为 [ ?1,1 ] ,求下列函数的定义域:

1 y? f( ) x ; (1)
思路分析:

(2)y= f ( x ) 。

2

1) 题意分析: 区间 [ ?1,1 ] 是函数 y ? f ( x ) 中的 x 的取值范围, 函数

y ? f(

1 1 ) y ? f( ) x 的定义域是 x

1 中的 x 的取值范围,它由 x 的取值范围来确定,第二问可同理解决。 1 2 2)解题思路:解决本题关键在于理解“ x ”和“ x ”的取值范围就是 [ ?1,1 ] 。

解题后的思考:

y ? f(

1 ) 2 x 的对应法则不是 “f” , 而是由 “f” 和 “取倒数” 复合而成的, 函数 y= f ( x )
2

的对应法则是由 “f”和“平方”复合而成的. 另外在解 x ? 1 时要注意,不要出错,应该是 |x| ? 1 ,而不是

x ? 1。
知识点二:函数的表示方法 【例 3】 若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) 。 思路分析:
2

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1)题意分析:已知 f ( x ? 1) ,求 f ( x) 2)解题思路:换元法

解题后的思考:凡是已知 f [ g ( x)] ,求 f ( x) 的题型,均可用换元法求解,在换元的过程中要注意新 元的取值范围。 【例 4】 若 2 f ( x) ? f (? x) ? x ? 1 ,求 f ( x) 。 思路分析: 1)题意分析:已知 f ( x) 和 f (? x) 的关系式,求 f ( x) ,相当于有两个未知数,但只有一个方程,显 然解不出来。所以解此题的关键在于再找到一个 f ( x) 和 f (? x) 的关系式。 2)解题思路:用 ?x 去替换已知式中的 x ,可以再造一个 f ( x) 和 f (? x) 的关系式,然后解方程组求 解。

解题后的思考:若已知 f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 是未知量外,还出现其他未知量(如

?1? f? ? f (? x) , ? x ? 等) ,可以利用相互代换得到方程组,消去 f (? x) 或
知识点三:求函数的值域

?1? f? ? ? x ? ,进而得到 f ( x) 的解析式。

? ? 的值域。 【例 5】 求函数 思路分析: 1)题意分析:求二次函数在指定区间上的值域 2)解题思路:配方,画图,找区间
y ? x 2 ? 4 x ? 6( x ? 1 , 5)
2

? ? ,结合图象,知函数的值域是 ? 解答过程:配方,得 y ? ( x ? 2) ? 2 ,又 解题后的思考: “配方,画图,找区间”适用于解析式为二次函数的题目。
x? 1 , 5
y? 2 x2 ?1 x 2 ? 1 的值域。

2, 11? 。

【例 6】求函数 思路分析: 1)题意分析:这是求分式型函数的值域,而且分子、分母是同次幂。 2)解题思路:分离出常数,使问题简化。

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【例 7】 求函数 y ? x ? 2 x ? 1 的值域。 思路分析:抓住换元思想,并注意在换元的过程中新元的取值范围 1)题意分析:这个函数是由一个有理式和一个无理式构成。 2)解题思路:将无理式转化成有理式。

解题后的思考:对形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数,可通过换元法将其转化为有理函数再求解。在 用换元法转化的过程中要注意新元的取值范围。 知识点四:分段函数

? x 2 ? 4 x, ( x ? ?2) ? ?x ? , ( x ? ?2) 【例 8】 求函数 f ( x) = ? 2 的值域。
思路分析: 1)题意分析:求分段函数的值域 2)解题思路:先分别求出各段函数的值域,再求并集即可。

解题后的思考:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是各 段函数取值集合的并集。

? x ? 1, ( x ? 0) ? ?? , ( x ? 0) ?0.( x ? 0) 例 9. 已知 f ( x) = ? 求 f ( f ( f (?3))) 的值。

解题后的思考:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所处的范围,然后按相应的对 应关系求值。

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高一函数同步练习
一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( (1) )

y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) x?3 , y2 ? x ? 5 ; (2) y1 ? x ? 1 x ? 1 , y 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ;

(3) f ( x) ? x , g ( x) ? A. (1) 、 (2) A. 1 3. 已知集合 A. 2,3

3 4 3 3 x2 ; (4) f ( x) ? x ? x , F ( x) ? x x ? 1 ; 2 (5) f1 ( x) ? ( 2 x ? 5 ) , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。

B. (2) 、 (3) B. 0

C. (4) C. 0 或 1

D. (3) 、 (5) )
*

2. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点的数目是(

A ? ?1, 2,3, k ? , B ? ?4, 7, a 4 , a 2 ? 3a?
B. 3,4 ) C. 3,5

D. 1 或 2 , 且 a ? N , x ? A, y ? B , 若使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 D. 2,5

A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为(

? x ? 2 ( x ? ?1) ? f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ?2 x ( x ? 2) ? 4. 已知 ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ) 3 3 A. 1 B. 1 或 2 C. 1 , 2 或 ? 3 D. 3 5. 为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是(
A. 沿 x 轴向右平移 1 个单位 C. 沿 x 轴向左平移 1 个单位



1 B. 沿 x 轴向右平移 2 个单位 1 D. 沿 x 轴向左平移 2 个单位
) D. 13

( x ? 10 ) ?x ? 2, f (x) ? ? ?f [f ( x ? 6)], ( x ? 10 ) 则 f (5) 的值为( 6. 设 A. 10 B. 11 C. 12
二、填空题

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 f ( x) ? ? 若f (a) ? a. ?1 ( x ? 0). ? ?x 7. 设函数 则实数 a 的取值范围是 x?2 y? 2 x ? 4 的定义域为 8. 函数 。
2



9. 若二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2,0), B(4,0) ,且函数的最大值为 9 ,则这个二次 函数的表达式是 。

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y?
10. 函数

( x ? 1) 0 x ?x
2

的定义域是_____________________。

11. 函数 f ( x) ? x ? x ? 1的最小值是_________________。 三、解答题

f ( x) ?
12. 求函数

3

x ?1 x ? 1 的定义域。

13. 求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域。

2 2 2 14. x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x1 ? x2 ,求

y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域。

15. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 上有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。
2

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一、选择题 1. C (1)定义域不同; (2)定义域不同; (3)对应法则不同; (4)定义域相同,且对应法则相同; (5)定义域不同。 2. C 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x ? 1 仅有一个函数值 3. D 按照对应法则 y ? 3x ? 1 ,
* 4 2

B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? ?4, 7, a 4 , a 2 ? 3a?
4

而 a ? N , a ? 10 ,∴ a ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a ? 16, k ? 5 4. D 该分段函数的三段各自的值域为 ?

??,1? , ? 0, 4 ? , ? 4, ?? ? ,而 3 ? ? 0, 4 ?

2 ∴ f ( x) ? x ? 3, x ? ? 3, 而 ? 1 ? x ? 2, ∴ x ? 3

1 1 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ” 5. D 平移前的为“ ,平移后的为“ ?2 x ” , 1 1 1 1 x? x? ? ? x 2 2 2” 用“ x ”代替了“ ,即 ,左移 2 个单位
6. B 二、填空题 7.

f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ? 11 。
a ? 0时, f (a) ? 1 a ? 1 ? a, a ? ?2 2 ,这是矛盾的;

? ??, ?1?




a ? 0时, f (a) ?

8.

?x | x ? ?2, 且x ? 2?
当 x ? 1 时,

1 ? a, a ? ?1 a ;
x2 ? 4 ? 0 设 y ? a( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 ,

9. y ? ?( x ? 2)( x ? 4)

ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1
? ?x ?1 ? 0 5 ,x ?0 ? ? x ? x ? 0 ? ? 4 11.

??, 0 ? 10. ?
三、解答题 12. 解:∵

1 5 5 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? 2 4 4。

x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ?1

,∴定义域为 ?

x | x ? ?1?

? 3 ? 3 1 3 3 , ?? ? ? x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? , y ? ? ? 2 ,∴值域为 ? 2 2 4 4 ∴ 13. 解: ∵ 2 2 2 2 14. 解: ? ? 4(m ? 1) ? 4( m ? 1) ? 0, 得m ? 3或m ? 0 , y ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2

? 4(m ? 1) 2 ? 2( m ? 1) ? 4m 2 ? 10m ? 2

?1, 3? 是 f ( x) ∴ f (m) ? 4m ? 10m ? 2,{m | m ? 3或m ? 0} 。 15. 解: 对称轴 x ? 1 ,
2

的递增区间, f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5

f ( x)min ? f (1) ? 2,即 ? a ? b ? 3 ? 2,

?3a ? b ? 2 3 1 得a ? , b ? ? ?a ? b ? ?1 4 4。 ∴?

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