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高中文科数学公式、解题方法、应试技巧


高中文科数学公式、解题方法、应试技巧

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一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x 2 ? [a, b], x1 ? x 2 那么

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若
f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.

2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数 ① C ' ? 0 ;② ( x n ) ' ? nx n ?1 ;③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cos x) ' ? ? sin x ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;⑦ (log a x) ' ? 5、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v ' . (2) (uv)' ? u 'v ? uv ' . u u 'v ? uv ' (3) ( )' ? (v ? 0) . v v2
1 1 ;⑧ (ln x) ' ? x ln a x

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数

y ? f ? x?

的极值的方法是:解方程

f ?? x? ? 0

.当

f ? ? x0 ? ? 0

时:

(1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
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二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos?

9、正弦、余弦的诱导公式 余弦, 等于 ? 的同名函数, 前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号; k? ? ? 的正弦、
k? ?

?
2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的

符号。 10、和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ? 11、二倍角公式

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? sin ? cos ? .

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

1 ? cos 2? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 2 cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ?

12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0, ω>0)的周期 T ?
2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A

≠0,ω>0)的周期 T ?

? . ?

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式

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y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) 其中 tan ? ? 15、正弦定理
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

b a

16、余弦定理
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

17、三角形面积公式
S? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B ) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos ?
20、平面向量的坐标运算

??? ? ??? ? ??? ? (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .
(2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x 2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? x 2 ? y 2 21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

cos ? ?

a ?b ab

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直 a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

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三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
24、等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

25、等差数列其前 n 项和公式为
sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

26、等比数列的通项公式 an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

四、不等式
28、已知 x, y 都是正数,则有
x? y ? xy 2 ,当 x ? y 时等号成立。

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;
1 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4

五、解析几何
29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P . 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ) (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式
y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 ) (P ). 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

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(4)截距式

x y ? ?1 a b ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 )

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 (1) l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; (2) l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式
d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

32、点到直线的距离
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). ? x ? a ? r cos ? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? 34、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 ? x ? a cos? c x2 y2 a2 ? c2 ? b2 , 椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 离心率 e ? ? 1 , 参数方程是 ? . a a b ? y ? b sin ?
c x2 y2 双曲线: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) , c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 a a b
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y??

b x. a

p p 抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到 2 2

准线的距离. 36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为 x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 ? 渐近线方程: ? 2 ? 0 ? y ? ? x. 2 2 2 a b a a b
b a

(2)若渐近线方程为 y ? ? x ? (3)若双曲线与

x y x2 y2 ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共渐近线,可设为 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a 2 b2 a2 b2

轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
2 37、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x0 ? 线的距离。 )
AB ? x1 ?

p . (抛物线上的点到焦点距离等于它到准 2

38、过抛物线焦点的弦长

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 .

六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等)

40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行) .... 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法

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(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交 直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂 直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 2 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r 2
1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R 2 . 3

46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算 平均数: x ? 标准差: s ?
x1 ? x 2 ? ? x n n

方差: s 2 ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] n

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] n

50、回归直线方程
n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n ? 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx n

? x y ? nx y
i i i ?1 n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

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K2 ?
51、独立性检验

n(ac ? bd ) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出 来,不重复、不遗漏)

八、复数
53、复数的除法运算 a ? bi (a ? bi )(c ? di ) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? . c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2
2 2 54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a ? b .

九、参数方程、极坐标化成直角坐标
?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? cos ? ? x ? 55、 ? ? y ? ? sin ? ? y ?tan ? ? ( x ? 0) x ?

十、解题方法
(一)总体应试策略 先易后难,一般先作选择题,再作填空题,最后作大题,选择题力保速度和准确度 为后面大题节约出时间,但准确度是前提,对于填空题,看上去没有思路或计算太复杂 可以放弃,对于大题,尽可能不留空白,把题目中的条件转化代数都有可能得分,在考 试中学会放弃,摆脱一个题目无休止的纠缠,给自己营造一个良好的心理环境,这是考 试成功的重要保证。 (二)解答选择题的特殊方法 顺推法、特征分析法、直观选择法、逆推验证法、估算法、特例法、数形结合法。 (三)答填空题时应注意什么? 特殊化、图解、等价变形。 (四)解答应用型问题时,最基本要求是什么? 审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单 位、作答学会跳步得分技巧,第一问不会,第二问也可以作,用到第一问就直接用第一
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问的结论即可,要学会用“由已知得” “由题意得” “由平面几何知识得”等语言来连接, 一旦你想来了,可在后面写上“补证”即可。

十一、应试技巧
数学考试时,有许多地方都要考生特别注意.在考试中掌握好各种做题技巧,可以 帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。考试注意: (一)考前 5 分钟很重要 在考试中,要充分利用考前5分钟的时间。考卷发下后,可浏览题目。当准备工作 (填写姓名、考号等)完成后,可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到心中有数。 (二)区别对待各档题目 考试题目分为易、中、难三种,它们的分值比约为 3:5:2。考试中大家要根据自 身状况分别对待。 1.做容易题时,要争取一次做完,不要中间拉空。这类题要 100%的拿分。 2.做中等题时,要静下心来,尽量保证拿分,起码有 80%的完成度。 3.做难题时,大家通常会感觉无从下手。这时要做到: (1)多读题目,仔细审题。 (2)在草稿上简单感觉一下。 (3)不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题,不多做考虑,就彻底投降。解 答题多为小步设问,许多小问题同学们都是可以解决的,因此,每一个题、每一个问, 考生都要认真对待。 (三)时间分配要合理 1.考试时主要是在选择题上抢时间。 2.做题时要边做边检查,充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检 查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。 3.在交卷前 30 分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。

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