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广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——概率


广东省 2009 届高三数学模拟试题分类汇总——概率
一、选择题 1、 (2009 揭阳)已知函数: f ( x ) ? x ? bx ? c ,其中:0 ? b ? 4 , 0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x )
2

满足条件: ?
1 4

? f (2) ? 12 ? f (?2) ? 4

/>
为事件为 A,则事件 A 发生的概率为(
5 8 1 2

)C
3 8
2

A.

B.

C.

D.

2 (2009 广东五校)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 A O B C 内,曲线 y ? x 和曲线
y ?

,向正方形 A O B C 内随机投一点(该点落在正方形 x 围成一个叶形图(阴影部分)

A O B C 内任何一点是等可能的) ,则所投的点落在叶形

图内部的概率是( (A) (C)
1 2 1 4

)B (B) (D)
1 3 1 6

3 、 2009 番 禺 ) 设 a , b ? (0,1) , 则 关 于 x 的 方 程 (
x ? 2 a x ? b ? 0 在 ( ? ? , ? ? ) 上有两个零点的概率为(
2

)B
1 2

A.

1 4

B.

1 3

C.

D.

2 3

4、 (2009 惠州)若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落 在圆 x ? y ? 1 6 内的概率为(
2 2

)B
1 6

A.

7 36

B.

2 9

C.

D.

1 4

二、解答题 1、 (2009 广州海珠)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为

m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是

1 2

,请问:商场应将每次中奖奖金数额 m

最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

2、 (2009 广州(一)某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落 在靶外(环数记为 0)的概率为 0.1,飞镖落在靶内的各个点是椭 机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为 30cm、20cm、 10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次 一次得到的环数这个随机变量 x,求 x 的分布列及数学期望.

0 8 9 10

3、 (2009 广东揭阳)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约, 甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签 约.设甲面试合格的概率为
1 2

, 丙面试合格的概率都是 乙、

1 3

, 且面试是否合格互不影响. 求:

(1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 ? 的分布列和数学期望.

4、 (2009 珠海期末)某俱乐部举行迎圣诞活动,每位会员交 50 元活动费,可享受 20 元的 消费,并参加一次游戏:掷两颗正方体骰子,点数之和为 12 点获一等奖,奖价值为 a 元的 奖品;点数之和为 11 或 10 点获二等奖,奖价值为 100 元的奖品;点数之和为 9 或 8 点获三 等奖,奖价值为 30 元的奖品;点数之和小于 8 点的不得奖。求: (1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率; (2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利,求 a 的值。

5、 (2009 广东六校一)在某次乒乓球比赛中,甲、乙、丙三名选手进行单循环赛(即每两 个比赛一场) ,共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中,甲胜乙的概率为 概率为
1 4 1 3

,甲胜丙的

,乙胜丙的概率为

1 3

.

(Ⅰ)求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率; (Ⅱ)若每场比赛胜者得 1 分,负者得 0 分,设在此次比赛中甲得分数为 X ,求 E X .

6、 (2009 朝阳一中)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参 加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ? ,求随 机变量 ? 的变分布列和数学期望。

7、 (2009 中山一中)交 5 元钱,可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球 10 个,其中 有 8 个标有 1 元, 2 个标有 5 元,摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球标的钱数之和 ? 。 (I)求 ? 的概率分布列; (II)求抽奖人获利的数学期望。

8、 (2009 广东深圳)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能 答对其中的 6 题, 乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试, 至少答对 2 题才算合格. (Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率; (Ⅱ)求甲答对试题数 ? 的概率分布及数学期望.

详细答案 1、解: (Ⅰ)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品一共有 C 73 种选法,. 选出的 3 种商品中没有日用商品的选法有 C 4 种, ??1 分. 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ?
C4 C
3 3 7

3

?

31 35

.??4 分

( Ⅱ )顾 客 在三 次抽 奖 中所 获 得的 奖 金总 额 是一随 机 变量 , 设为 X,其 所有 可 能值 为 0, m ,2 m ,3 m .??6 分
1 ?1? ?1? X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P ? X ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? ? , ??7 分 8 ?2? ?2?
0 3 0 3

?1? ?1? 同理可得 P ? X ? m ? ? C ? ? ? ? ? ?2? ?2?
1 3

1

2

?

3 8

, ??8 分

3 ?1? 2? 1 ? P ? X ? 2 m ? ? C 3 ? ? ? ? ? ? , ??9 分 8 ?2? ?2?
?1? 3? 1 ? P ? X ? 3m ? ? C 3 ? ? ? ? ? ?2? ?2?
3 0

2

1

?

1 8

. ??10 分

于 是 顾 客 在 三 次 抽 奖 中 所 获 得 的 奖 金 总 额 的 期 望 值 是
EX ? 0 ? 1 8 ?m? 3 8 ? 2m ? 3 8 ? 3m ? 1 8 ? 1 . 5 m .??12 分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有
1 . 5 m ? 150 ,所以 m ? 100 ,??13 分.

故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. ??14 分 2、解: 由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质 量和形状无关。 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3:2:1,面积比为 9:4:1 所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5:3:1 ???3 分 则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k,3k,k 根据离散型随机变量分布列的性质有 0.1+5k+3k+k=1 解得 k=0.1 ???6 分 得到离散型随机变量 x 的分布列为

x P

0 0.1

8 0.5

9 0.3

10 0.1

???9 分 Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ???12 分 3、解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P ( A) ?
1 2 , P ( B ) ? P (C ) ? 1 3 1 2 2 3 2 3 7 9

.------------------------------------------------------2 分

(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1 ? P ( A B C ) ? 1 ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? 1 ? ? ? ? . ----------------------4 分

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3.----------------------------------------------------------5 分 ∵ P ( ? ? 0 ) ? P ( AB C ) ? P ( A BC ) ? P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) =
1 2 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 3 ? 1 2 ? 2 3 ? 2 3 ? 4 9 . ---------------------------6 分

P ( ? ? 1 ) ? P (A B C )? P ( A B C ) ?

P A B )C (

= P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) =
1 2 ? 2 3 ? 1 3 ? 1 2 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 2 3 ? 2 3 ? 4 9 1 ? 3 1 ? 3 1 ? ---------------------8 分 . 18 1 ? ----------------------9 分 . 18 . --------------------------------7 分

P ( ? ? 2 ) ? P (A B C ) ? P ( ? ? 3 ) ? P (A B C ) ?

1 1 P ( A) P ( B ) P ( ? ) ? C 2 3 1 1 P ( A) P ( B ) P ( ? ) ? C 2 3

∴ ? 的分布列是
?
P (? )

0
4 9
4 9 4 9 1

1
4 9
1 18

2
1 18
13 18

3
1 18

--------10 分
? 的期望 E ? ? 0 ?

? 1?

? 2?

? 3?

?

. ----------------------------------------12 分

18

4、解: (1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x,y) ,其中 1 ? x , y ? 6 , 则获一等奖只有(6,6)一种可能,其概率为: ?
6 1 1 6 ? 1 36 5 36



????2 分 ;

获二等奖共有(6,5)(5,6)(4,6)(6,4)(5,5)共 5 种可能,其概率为: 、 、 、 、

????5 分 设事件 A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖” ,则有:
1 P(A)= C 3 ?

1 36

?(

5 36

) ?
2

25 15552



????6 分

(2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ 元,则ξ 的可能取值为 3 0 ? a , ? 70 ,0, 3 0 ,?7 分 其分布列为: ξ 30-a -70 0 30 p
1 36 5 36 1 4 7 12
310 ? a 36

则:Eξ = (3 0 ? a ) ?

1 36

? (?70) ?

5 36

? 0?

1 4

? 30 ?

7 12

?

; ????11 分 ????12 分

由 Eξ =0 得:a=310,即一等奖可设价值为 310 元的奖品。 5、解: (Ⅰ)设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件 A , 则 P ( A) ?
1 3 ? 1 4 ? 2 3 ? 1 18

; ··············································································· 6 分

(Ⅱ) X 可能的取值为 0 ,1, 2 .
P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 2) ?
X
p

2 3 1 3 1 3

? ? ?

3 4 3 4 1 4

? ? ?

1 2 1 4 1


2 3 ? 5 12

?



,··············································································· 12 分 0
1 2

12

1
5 12 ? 7 12

2
1 12

EX ? 0 ?

1 2

? 1?

5 12

? 2?

1 12

·································································· 14 分

2 6、解: (1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50 ? 1225 .

2 2 2 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 ? C 15 ? C 52 ? C 10 ? 350 .

故 2 人使用版本相同的概率为:
P ? 350 1225 ? 2 7 . ??????????5 分

(2)∵ P (? ? 0 ) ?

C 15 C
2 35

2

?

3 17

, P (? ? 1 ) ?

C 20 C 15 C
2 35

2

1

?

60 119

P (? ? 2 ) ?

C 20 C
2 35

2

?

38 119

?

0

1

2

∴ ? 的分布列为

P

3 17

60 119

38 119

??????10 分 ∴ E? ?
3 17 ?0? 60 119 ?1? 38 119 ?2 ? 136 119 ? 8 7

????????12 分

7、解(I) ? ? 2, 6, 1 0
C8
2

????????????????????2 分
C 8C 2 C10
2 1 1

p (? ? 2 ) ?

C10

2

?

28 45

, p (? ? 6 ) ?

?

16 45

, p (? ? 1 0 ) ?

C2

2

C10

2

?

1 45

??8 分

?

2
28 45

6
16 45

10
1 45

所以 ? 的概率分布列为:
p

?????????10 分 (II)由(I)知, E ? ? 2 ?
28 45 ? 6? 16 45 ? 10 ? 1 45 ? 18 5

?????????12 分 ?????????14 分

所以抽奖人获利的数学期望为: E ? ? 5 ? ? 1.4 元。

8、解: (Ⅰ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则 P(A)=
C6C4 ? C6
2 1 3

C

3 10

=

60 ? 20 120

?

2 3

,P(B)=

C8 C2 ? C8
2 1

3

C

3 10

?

56 ? 56 120

?

14 15

.

???3 分

因为事件 A、B 相互独立, ∴甲、乙两人考试均合格的概率为 P ? A ? B ? ? 答:甲、乙两人考试均合格的概率为
28 45
2 3 ? 14 15 ? 28 45

????????5 分



??????????6 分

(Ⅱ)依题意, ? =0,1,2,3,??????7 分
p (? ? 0 ) ? P (? ? 2 ) ? C4
3 3

?
1

1 30 ?


1 2

P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3) ?

C 6C 4 C10
3 3

1

2

? 1 6

3 10

, ???????????9 分

C10 C6 C4 C10
3 2



C6
3

?

C10

甲答对试题数ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 2 3 P
1 30
E? ? 0 ?

3 10 ? 1? 3 10

1 2 ? 2?

1 6 1 2 ? 3? 1 6 ? 9 5

甲答对试题数ξ 的数学期望
1 30

.

????????12 分


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