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《2014数学高考》2014


2014 年高考备战一轮复习数学专题同步练习

1-1 集 【基础巩固强化】



1 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y= x,x∈A},则 A∩B=( 2 A.{1,2,3,4} C.{1,3} [答案] [解析] B B.{1,2} D.{2,4}

)

B={y|y= x,x∈A}={ ,1, ,2},
2 2 2

1

1

3

∴A∩B={1,2}. 2.(2011·成都五校联考)设集合 M={y|y=2x,x<0},N={x|y= ∈M”是“x∈N”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1-x },则“x

x

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A

M=(0,1),N=(0,1],∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件,故选 A.

3.(文)(2011·湖北文,1)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5}, 则?U(A∪B)=( A.{6,8} C.{4,6,7} [答案] [解析] A ∵ A = {1,3,5,7} , B = {2,4,5} , ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5,7} , 又 U =
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) B.{5,7} D.{1,3,5,6,8}

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{1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴?U(A∪B)={6,8}. (理)(2011·北京宣武模拟)设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集 合?U(A∩B)的元素个数为( A.1 个 C.3 个 [答案] [解析] C ) B.2 个 D.4 个

U=A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},

∴?U(A∩B)={1,2,5},故选 C. 4.(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合 P={正奇数}和集合

M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若 M?P,则 M 中的运算“⊕”是(
A.加法 C.乘法 [答案] [解析] C B.除法 D.减法

)

因为 M?P,所以只有奇数乘以奇数还是奇数,所以集合 M 中的运

算⊕为通常的乘法运算,选 C. 5. (文)设集合 A={a, }, b 则满足 A∪B={a, , , }的所有集合 B 的个数是( b c d A.1 [答案] [解析] B 集合 B 中必有元素 c、d,由含元素 a、b 的个数知,这样的集合 B B.4 C.8 D.16 )

共有 22=4 个. (理)已知集合 P∩Q={a,b},P∪Q={a、b、c,d},则符合条件的不同集合 P,
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Q 有(

) B.4 对 B 根据交集、并集的概念知,集合 P,Q 中都必有元素 a,b,然后逐 C.5 对 D.6 对

A.3 对 [答案] [解析]

一选择元素 c,d 与元素 a,b 构成不同的集合 P,Q. 集合 P,Q 分别为:①{a,b}和{a、b、c,d};②{a、b、c}和{a,b,d}; ③{a,b,d}和{a、b、c};④{a、b、c,d}和{a,b},共 4 对.故选 B. [点评] 同的. 6.集合 A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则 A∩B=( A.{0} C.{0,1} [答案] [解析] B ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B={1,cos1}, B.{1} D.{-1,0,1} )

P={a,b},Q={a、b、c,d}与 P={a、b、c,d},Q={a,b}是不

∴A∩B={1}. 7. 已知集合 M={(x, )|x+y=2}, ={(x, )|x-y=4}, y N y 则集合 M∩N=________. [答案] {(3,-1)} ?x+y=2, ? 由于 M∩N 中元素既属于 M 又属于 N,故其满足? ?x-y=4, ?

[解析]

解之

得 x=3,y=-1. 8.(文)已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是

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________. [答案] [解析] 所以 a≤1.

a≤1
因为 A∪B=R,画数轴可知,实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边,

1 (理)已知集合 A={x|log x≥3}, ={x|x≥a}, A?B, B 若 则实数 a 的取值范围是(- 2 ∞,c],其中的 c=______. [答案] [解析] 0

A={x|0<x≤ },∵A?B,
8

1

∴a≤0,∴c=0. 9.(2011·台州模拟)设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2}, 则 A∪B=________. [答案] [解析] {1,2,5} ∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2,

∴a=1,∴b=2,∴B={1,2}, ∴A∪B={1,2,5}. 10.(文)已知全集 U=R,集合 A={x|log2(3-x)≤2},集合 B={x| (1)求 A、B; (2)求(?UA)∩B.
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5

x+2

≥1}.

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[解析]

(1)由已知得 log2(3-x)≤log24,

?3-x≤4, ? ∴? ?3-x>0, ?

解得-1≤x<3,

∴A={x|-1≤x<3}. 由 5 ≥1,得(x+2)(x-3)≤0,且 x+2≠0,

x+2

解得-2<x≤3. ∴B={x|-2<x≤3}. (2)由(1)可得?UA={x|x<-1 或 x≥3}. 故(?UA)∩B={x|-2<x<-1 或 x=3}. (理)设集合 A={(x, )|y=2x-1, ∈N*}, ={(x, )|y=ax2-ax+a, ∈N*}, y x B y x 问是否存在非零整数 a,使 A∩B≠??若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理 由. [解析] 假设 A∩B≠?,则方程组

?y=2x-1, ? ? 2 ? ?y=ax -ax+a,

有正整数解,消去 y 得,

ax2-(a+2)x+a+1=0(*)
由Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0, 解得- 2 3 3 2 ≤a≤ 3 3 .

因 a 为非零整数,∴a=±1,

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当 a=-1 时,代入(*),解得 x=0 或 x=-1, 而 x∈N*.故 a≠-1. 当 a=1 时,代入(*),解得 x=1 或 x=2,符合题意. 故存在 a=1,使得 A∩B≠?, 此时 A∩B={(1,1),(2,3)}. 【能力拓展提升】 11.(文)定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中 x1∈A,x2∈B},若

A={1,2,3},B={1,2},则 A*B 中所有元素之和为(
A.9 [答案] [解析] B B.14 C.18 D.21

)

A*B 中所有元素为 2,3,4,5.∴和为 14.

(理)设 A,B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈(A∪B)且 x?(A∩B)},已知 A={x|0≤x≤ 2},B={y|y≥0},则 A×B 等于( A.(2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) [答案] [解析] A 由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2]. ) B.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)

所以 A×B=(2,+∞). 12.(文)(2011·北京理,1)已知集合 P={x|x2≤1},M={a},若 P∪M=P,则 a 的 取值范围是( ) B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
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A.(-∞,-1] C.[-1,1]

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[答案] [解析] ≤1,故选 C.

C

P={x|-1≤x≤1},∵P∪M=P,∴M?P,即 a∈{x|-1≤x≤1},∴-1≤a

(理)已知集合 S={3,a},T={x|x2-3x<0,x∈Z},S∩T={1},P=S∪T,那么集 合 P 的子集个数是( A.32 C.8 [答案] [解析] C 因为 T={x|0<x<3,x∈Z}={1,2},又 S∩T={1},所以 a=1, ) B.16 D.4

∴S={1,3},则 P=S∪T={1,2,3}, ∴集合 P 的子集有 23=8 个,故选 C. 1 13.(文)集合 A={x|log2(x+ )<0},函数 y=x-2 的单调递增区间是集合 B,则在 2 集合 A 中任取一个元素 x,x∈B 的概率是________. [答案] 1 2

[解析]

A={x|log2(x+ )<0}={x|- <x< }, 因为函数 y=x-2 的单调递增区
2 2 2

1

1

1

1 间是集合 B,所以 B={x|x<0},所以 A∩B=(- ,0). 2 0-? 在集合 A 中任取一个元素 x, x∈B, x∈(A∩B), 若 则 故所求概率 P= 1 -? 2 1 - ? 2 1 - ? 2

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1 = . 2 1 (理)在集合 M={0, ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该集合恰满足条 2 1 件“对?x∈A,有 ∈A”的概率是________.

x

[答案]

3 31 1 集合 M 的非空子集有 25-1=31 个, 而满足条件“对?x∈A, ∈A” 有

[解析]

x

1 1 的集合 A 中的元素为 1 或 、2,且 、2 要同时出现,故这样的集合有 3 个:{1}, 2 2 1 1 3 { ,2},{1, ,2}.因此,所求的概率为 . 2 2 31 14.已知集合 A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合 B 满足条件:A∩B={1,2},A ∩(?UB)={3},U=R,则 a+b 等于________. [答案] [解析] 根, 所以 2+3=-a,2×3=b, ∴a=-5,b=6. ∴a+b=1. 15.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围;
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1 依题意得 1∈A,2∈A,3∈A, 因此, 和 3 是方程 x2+ax+b=0 的两个 2

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(2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. [解析] 集合 A 是方程 ax2-3x+2=0 在实数范围内的解组成的集合.

?a≠0, ? (1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解,得? ?Δ=? -3? ? 9 8

2-8a<0,



a> ,
9 即实数 a 的取值范围是( ,+∞). 8 2 (2)当 a=0 时,方程只有一解,方程的解为 x= ; 3 当 a≠0 时,应有Δ=0, 9 4 ∴a= ,此时方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素 , 8 3 9 2 4 ∴当 a=0 或 a= 时,A 中只有一个元素,分别是 和 . 8 3 3 (3)A 中至多有一个元素,包括 A 是空集和 A 中只有一个元素两种情况,根 9 9 据(1),(2)的结果,得 a=0 或 a≥ ,即 a 的取值范围是{a|a=0 或 a≥ }. 8 8 16.已知集合 A={x||x-a|=4},集合 B={1,2,b}. (1)问是否存在实数 a,使得对于任意实数 b 都有 A 是 B 的子集?若存在, 求 a;若不存在,说明理由; (2)若 A 是 B 的子集成立,求出对应的实数对(a,b)?
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[解析]

(1)A={4+a,a-4},要使得对任意实数 b,都有 A?B,只能是

A?{1,2}, A 中两元素之差(4+a)-(a-4)=8≠2-1, 但 故这样的实数 a 不存在.
(2)若 A 是 B 的子集成立, 则必有|b-1|=8 或|b-2|=8, 解得 b=-7,9,-6,10. 当 b=-7 时,a=-3; 当 b=9 时,a=5; 当 b=-6 时,a=-2; 当 b=10 时,a=6. 即对应的实数对(a,b)为(-3,-7),(5,9),(-2,-6),(6,10). 【思维拓展】 1.全集 U={1,2,3,4},集合 M={1,2},N={2,4},则下面结论错误的是( A.M∩N={2} C.M∪N={1,2,4} [答案] [解析] D ∵?UN={1,3},∴M∩?UN={1},故 D 错,由交、并、补运算的定义知 B.?UM={3,4} D.M∩?UN={1,2,3} )

A、B、C 均正确. 2.(2011·马鞍山期末)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 M={2,3,5},N={4,5}, 则?U(M∪N)等于( A.{1,3,5} C.{1,5} [答案] D
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) B.{2,4,6} D.{1,6}

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[解析]

由已知得 M∪N={2,3,4,5},则?U(M∪N)={1,6}.故选 D.

3. (2011·山东文, 1)设集合 M={x|(x+3)(x-2)<0}, ={x|1≤x≤3}, M∩N = N 则 ( ) A.[1,2) C.(2,3] [答案] [解析] A 由(x+3)(x-2)<0 知-3<x<2,所以 M∩N=[1,2),解答此题要特别 B.[1,2] D.[2,3]

注意区间端点能否取到. 4.已知集合 M={y|y=x2},N={y|y2=x,x≥0},则 M∩N=( A.{(0,0),(1,1)} C.[0,+∞) [答案] [解析] [点评] C B.{0,1} D.[0,1] )

M={y|y≥0},N=R,则 M∩N=[0,+∞),选 C.
本题极易出现的错误是:误以为 M∩N 中的元素是两抛物线 y2=x

与 y=x2 的交点,错选 A.避免此类错误的关键是,先看集合 M,N 的代表元素是 什么,以确定集合 M∩N 中元素的属性.若代表元素为(x,y),则应选 A. 5.设集合 A={x|y= A.[0,3] C.[3,+∞) [答案] [解析] B 由 3x-x2≥0 得,0≤x≤3, 3x-x2},B={y|y=2x,x>1},则 A∩B 为( B.(2,3] D.[1,3] )

∴A=[0,3],
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∵x>1,∴y=2x>2,∴B=(2,+∞), ∴A∩B=(2,3]. 6.已知集合 M={(x,y)|y-1=k(x-1),x,y∈R},集合 N={(x,y)|x2+y2-2y =0,x,y∈R},那么 M∩N 中( A.有两个元素 B.有一个元素 C.一个元素也没有 D.必含无数个元素 [答案] [解析] A )

y-1=k(x-1)表示经过定点(1,1), 斜率为 k 的直线, 不包括通过(1,1)

与 x 轴垂直的直线即 x=1.

x2+y2-2y=0,可化为 x2+(y-1)2=1,表示圆心在(0,1)半径等于 1 的圆,
又(1,1)是圆上的点, ∴直线与圆有两个交点,故选 A. 7.已知集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4},则实数 a 的值为 ________. [答案] [解析] ∪B, ∴a2=4,∴a=±2,又-2?A∪B,∴a=2. 考虑到教师工作繁忙, 备课批改作业辅导学生占用大量时间,为节省教师找 题选题的时间, 也考虑到不同地区用题难易的差别,本书教师用书中提供了部分
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2 ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4 或 a2=4,若 a=4,则 a2=16,但 16?A

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备选题,供教师在备课时,根据自己所教班的实际情况选用. 【2013 年高考试题选】
1 . 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 ( (理) (含答案) 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? , 试题 )

3? 2? 集合 A= ?1, , B = ?2, ,则 ? ? A ? B ? = ( U 3, A. ?1,4?
【答案】D

)

4? B. ?3,

C.

?3?

D.

?4?

2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 已知集合 )

A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ?

1? A. ? 0,
【答案】D

2 B. ? 0,?

C. ?1, 2 ?

2 D. ?1,?

3 (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 . (理) (含答案)已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, 试题 )

A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ?
(A) (??,2] (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]
【答案】D 4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 S,T,是 R 的 )

两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x ) 满足: (i )T ? { f ( x) | x ? S };(ii ) 对 任意 x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对 不是“保序同构”的是( A. A ? N , B ? N
*

) B. A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?8或0 ? x ? 10} D. A ? Z , B ? Q

C. A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R
【答案】D 5 . ( 2013

年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 设 常 数
第 13 页

a?R , 集 合

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A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ? 1} ,若 A ? B ? R ,则 a 的取 值范围为(
(A) (??, 2)
【答案】B.

)

(B) (??, 2]

(C) (2, ??)

(D) [2, ??)

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答 案) 已 知集合 A ={0,1,2}, )

则集合 B ? x ? y x ? A, y ? A 中元素的个数是 (A) 1
【答案】C 7 . (2013 年高考陕西卷(理) 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为 )

?

?

(B) 3

(C)5

(D)9

(A) [-1,1]

(B) (-1,1)

(C) (??, ?1] ? [1, ??) (D) (??, ?1) ? (1, ??)
【答案】D 8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 设集 )

合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?4,5? , M ? ? x | x ? a ? b, a ? A, b ? B? , 则 M 中的元素个数为 (A)3
【答案】B 9 . (2013 年高考四川卷(理) 设集合 A ? { x | x ? 2 ? 0},集合 B ? { x | x ? 4 ? 0},则 )
2

(B)4

(C)5

(D)6

A? B ? (
(A) {?2}
【答案】A

) (B) {2} (C) {?2, 2} (D) ?

10. (2013 年高考新课标 1(理) 已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x | ? 5 ? x ? )
2

?

?

?

5 ,

?



(

) B.A∪B=R C.B?A
第 14 页

A.A∩B=?

D.A?B

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【答案】B. 11 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 )) 已 知 全 集 为

R , 集 合

? ? 1 ?x ? ? ? A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A ? CR B ? ( ? ?2? ? ? ?
A. ? x | x ? 0? C. B. ? x | 2 ? x ? 4? D. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

)

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

【答案】C 12. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知集 )

合 M ? x | ( x ? 1) 2 ? 4, x ? R , N ? ??1, 0,1, 2,3? ,则 M ? N ? (A) ?0,1,2?
【答案】A 13 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 W ORD 版) 设集合 )

?

?

(B) ?? 1,0,1,2?

(C) ?? 1,0,2,3?

(D) ?0,1,2,3?

M ? ? x | x2 ? 2 x ? 0, x ?R? , N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R? ,则 M ? N ? (
A.

)

?0?

B.

?0, 2?

C.

??2, 0?

D.

??2, 0, 2?

【答案】D 14. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设集合 )

S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则 (CR S ) ?T ?
A. (?2,1]
【答案】C 15. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 设整数 n ? 4 , )

B. (??,?4]

C.

(??,1]

D. [1,??)

集合 X ? ?1, 2,3,? , n? .令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立?

, 若

? x, y, z ? 和 ? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是(
A.

)

? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S

B. ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S
第 15 页

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C.

? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S

D.

? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S

(一)必做题(9~13 题)
【答案】B 16. (2013 年高考北京卷(理) 已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤ x<1},则 A∩B= )

(

)

A.{0}
【答案】B

B.{-1,0}

C.{0,1} D.{-1,0,1}

17. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))设全集 U

? R ,下列集合运算结果为 R 的是

(

) (C) 痧 u ? ) u( (D) ?u {0}

(A) Z ? ?u N (B) N ? ?u N
【答案】A 二、填空题

18. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加 题) 集合 {?1,0,1} 共有___________个子集. ) 【答案】8

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