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全国物理竞赛厦门大学力学集训


一. 质点运动学 二. 牛顿运动定律

三. 动量定理 动量守恒定律
四. 动能定理 机械能守恒定律 五. 质心运动定律 六. 角动量定理 角动量守恒定律 七. 刚体的平衡 八. 万有引力与天体运动 九. 简谐振动

1.质点运动的一般描述
1.1 运动方程与轨道方程 运动方程
y P(x,y)

/>
? ? ? ? r ? r (t ) ? x(t )i ? y(t ) j

y

? x ? x(t ) ? ? y ? y (t )
轨道方程

r
O x x

? x ? x(t ) 消去t ??? f ( x, y ) ? 0 ? ? ? y ? y (t )

1.2 速度
反映质点运动的快慢和方向的物理量

? ? ?r v? ?t

y A ?r rA rB O x B

? ? ?r dr ? v ? lim ? dt ?t ?0 ?t

dx ? ?v x ? dt ? ? ?v ? dy ? y dt ?

? 瞬时速度沿轨道切线方向

1.3 加速度
反映速度(大小和方向) 变化快慢的物理量 ? ? ?v a? ?t ? ? ?

z A rA rB O

vA

B
vB

?v dv d r ? a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dt
2

y

x (a)

dv x d x ? ? 2 ?a x ? ? dt dt ? dv y d 2 y ?a ? ? 2 y ? dt dt ?
2

vA
?v vB (b)

? 加速度与速度的方向一般不同。

2. 抛体运动
速度:
y

?vx ? v0 cos ? ? ? ?v y ? v0 sin ? ? gt ?
运动方程:
? x ? v0 cos ? t ? ? 1 2 ? y ? v0 sin ? t ? 2 gt ?
g O

v0

?
x

轨道方程:
g y ? x tan ? ? 2 x2 2v0 cos 2 ?

y

推论
1)飞行时间:

v0

2v0 sin ? T? g
2)上升高度:

g O

?
x

H ? ymax
3)射程:
2 0

2 v0 sin 2 ? ? 2g

v sin 2? s? g

思考 甲、乙两小孩在做游戏,甲在树上,乙在地上 用枪描准甲,乙一开枪,甲就从树上跳下(初速度为 零) 。问:甲是否被击中?若被击中,求出被击中的 时间和地点。


? v0

h



?

s

3. 圆周运动
3.1 圆周运动的加速度

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0 dv ? a? ? ? ? dt ? 2 ?a ? v ? n R ?
?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

?0
v

a?
a an
?

P s

O
n0

R

P0

x

3.2 圆周运动的角量描述 角位置:?=?(t)

?? d? ? 角速度: ? ? lim dt ?t ?0 ?t ?? d? 角加速度: ? ? lim ? dt ?t ?0 ?t
3.3 角量和线量的关系

P

?
O R

s

P0

x

v ? R?

?an ? R? 2 ? ? ?a? ? R ? ?

4.相对运动
4.1 运动描述与参照系:对物体运动的描述与参照系 有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换

? ? ? v ? v0 ? v?

? ? ? r ? r0 ? r ?

y S

y?
S?
P

O?
r0 O r

r?
x?

? ? ? a ? a0 ? a ?

x

1.一般曲线运动
1.1 一般曲线运动中的加速度

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0

dv ? ?a? ? dt : 切向加速度 ? ? v2 ?an ? : 法向加速度 ? ? ?

?
an
a

a?

?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

1.2 曲率半径的物理求法

v2 an ? ? ? ? ? an
椭圆的曲率半径:

v2

y B b O

x2 y 2 轨道方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ?t 对应运动方程:? ? y ? b sin ?t

a

A

x

A点:v ? v y ,max ? b? , an ? ax ,max ? a?

2

v b ?A ? ? an a

2

2

a2 同理:? B ? b

抛物线的曲率半径:

y ? Ax 2 轨道方程:
? x ? v0t ? 对应运动方程: ? 1 2 ? y ? 2 at ? a 其中: 2 ? A 2v0

y

vy
?

v
vx

a
an ?
x

a?

O

av0 ?vx ? v0 ? 2 2 2 2 a ? a cos ? ? ? v ? v0 ? a t n ? 2 2 2 v y ? at v0 ? a t ? ?
2 2 v 2 (v0 ? a 2t 2 )3/ 2 v0 a 2 x 2 3/ 2 (1 ? 4 A2 x 2 )3/ 2 ?? ? ? ? (1 ? 4 ) ? an av0 a v0 2A

2. 连体运动问题
解题方法一:运动的分解 情形1:两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连, 他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。
?
v1 v1 cos ? ? v2 cos ? v2

?

例 1.1 如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上 升的速度。

解:v ? v||

? v0 cos ?

h

v0

?

?
v||

v0

情形2:两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。
v1

?

?
v2

v1 cos ? ? v2 cos ?

例1.2 如图示,一半径为R的半圆柱体沿水平方向

以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度。 解: v0 sin ? ? vP cos ?

vP

vP ? v0 tan ?
O

?
P

v0

? R

练习:顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由

凸轮M推动,凸轮绕过O点的水平轴以角速度 ?转
动。在图示的瞬时,OA=r,凸轮轮缘与A接触处 法线n与OA夹角为?,试求此瞬时顶杆AB的速度。
B K

参考答案: A ? r? tan ? v
A
r?

? O n M

情形3:两直线相交点的运动等于各直线沿对方 直线方向运动的合运动:

v2

? ? v P ? v1 ? v2

? v2
? v1
v1

P

例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度。

v0 解:vM ? v1 ? sin ?

v2

M

?
v0 O

R v0 v1

v0

练习:如图,一平面内有两根夹角为? 细杆l1和l2,

两细杆各自以垂直于自己的速度v1 和v2 在该平面内
运动,试求两细杆交点P的速率。
v1
P

?

v2

解:
v1 v2 ? ? v1 ? , v2 ? , sin ? sin ?
? v1 v? 2

v1

v1

P
v2

? ? ? ? vP ? v1 2 ? v22 ? 2v1 v2 cos ?
1 2 ? v12 ? v2 ? 2v1 v2 cos ? sin ?
v2

?

解题方法二:运动的合成(相对运动) 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换:

? ? ? B对地:rB、vB、aB ? ? ? ? ? ? ? ? ? A对地:rA ? rAB ? rB、vA ? vAB ? vB、aA ? aAB ? aAB

? ? ? A对B:rAB、vAB、aAB

例1.4 如图,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光

滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳,当绳与竖直方向
夹角为 ?时,求线轴中心O的运动速度v。设线轴的 外半径为R,内半径为r,线轴沿水平面作无滑动滚

动。
?
R r O B C

A

v

情况1:线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为??。 解: B点相对O的速度大小: B ? r? v?

? B点相对于地面的速度: B ? vB ? vO v
vB沿绳子方向的分量与v相等: ? ? vO sin ? ? v …….(1) r 线轴与地面无滑动: ? R? ……………………..….(2) v
O

Rv ……..…..….(3) 联立(1)、(2)得: vO ? r ? R sin ? 由式(3)可知,情况1出现的条件为: r ? R sin ?
A

?
vO
R r O B C

? vB

v

? / 2 ??

情况2:线轴座顺时针方向转动。同理可得:

Rv vO ? R sin ? ? r 出现情况2的条件为: ? R sin ? r
A

r R O ? vB B C

? / 2 ??
vO

?
v

例1.5 续例11,求重物上升的加速度。
O

h

B

? a A|| ? A

v?

?
v||

v0

解: 以O点为参照系,绳子末端A作圆周运动,其加 速度沿绳子方向的分量,即向心加速度大小为

v sin ? ? aA|| ? h
2 0 3

以地面为参照系,A的加速度

? ? ? ? aA ? aO ? aA ? ? ? ? aA|| ? aO|| ? aA||
v sin ? 0 ? ?aB ? h 2 v0 sin 3 ? aB ? h
2 0 3

O

h

B

? aA||

v?

?
A

?
v||

v0

例1.6 续例12,求竖直杆运动的加速度。

以圆心O为参照系,P点作圆周运动,
其速度大小为:

向心加速度:

v0 v? ? cos ?

v?

?

vP P

2 ?2 v0 v ? an ? ? 2 R R cos ?

R

?

a? n

at? v 0

O

aP

P点相当于地面的加速度:

? ? ? ? ? ? ? aP ? a? ? a0 ? a? ? at? ? an 2 ? an v0 aP ? ? ?? cos ? R cos3 ?

解题方法三:微积分
关键:找出各物体间位移间的关系,进而得到速 度、加速度之间的关系。
?f dx1 ?f dx2 f ( x1 , x2 ) ? 0 ? ? ?0 ?x1 dt ?x2 dt ?f ?f v1 ? v2 ? 0 ?x1 ?x2 dv2 ?v2 dv1 ?v2 dx1 ?v2 dx2 v2 ? v2 (v1 , x1 , x2 ) ? a2 ? ? ? ? dt ?v1 dt ?x1 dt ?x2 dt ?v2 ?v2 ? a1 ? v1 ? v2 ?x1 ?x2

例 1.7

如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度

v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上

升的速度和加速度。

h y x

v0

?

解:

(1) y ? h ? x 2 ? h 2 ? L
x2 ? h2 2 2 2 v0 h v0 dv dv dx dv a? ? ? v0 ? 2 ? sin 3 ? (2) dt dx dt dx ( x ? h 2 )3/ 2 h dy dy dx dy v? ? ? v0 ? dt dx dt dx v0 x ? v0 cos ?

h y x

v0

?

例1.8 如图示,一半径为R的半圆柱体沿水平方向

以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度和加速度。

vP P

?
O

R
y x A

v0

解:y ? R 2 ? x 2 x dy dy dx dy ? v0 tan ? ? v0 vP ? ? ? ?v0 dt dx dt dx R2 ? x2 2 2 R v0 dvP dvP dx dvP aP ? ? ? ?v0 ? ? 2 2 3/ 2 dt dx dt dx (R ? x ) 2 v0 ?? R cos3 ?
vP P

?
O

R y x A

v0

例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度和加速度。
x y? v0 O R M

v0

解: ? R 2 ? y 2 x
dx dx dy dx vMx ? ? ? ?v0 dt dy dt dy y ? v0 ? v0 cot ? v0 2 2 R ?y
x y? O R M v0

vMy ? v0

vM ? v
aMx

2 Mx

?v

2 My

v0 ? sin ?

2 2 dvMx dvMx dy dvMx R 2v0 v0 ? ? ? ?v0 ?? 2 ?? 2 3/ 2 dt dy dt dy (R ? y ) R cos3 ?

aMy ?

dvMy dt

?0

1.牛顿运动定律 第一定律:定性反映了物体的运动与其受力之间 的关系,引入惯性参照系的概念。 第二定律:定量性反映了物体的运动规律与其受 力之间的关系:

? ? F ? ma

第三定律:反映了力的来源:力来自物体间的相
互作用。 ——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状 态不断发生改变,使得自然界不断地变化发展。

2.自然界中的力
2.1 万有引力

任何物体之间都存在的相互吸引力:
M
r

m F

? mM ? F ? ?G 2 er r
G ? 6.6726 ?10 N ? m ? kg
2 ?11 -2

2.2 重力:使物体产生重力加速度的力。 ? 重力来源于地球对物体的引力,若忽略地球的 惯性离心力,则

mM P ? G 2 ? mg R
M g ?G 2 R
——重力加速度与物体质量无关

比萨铁塔落体实验

逻辑推理

slow fast

?

2.3 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产 生的作用力。 弹簧:F

? ?kx (在弹性范围内)

2.4 摩擦力:相互接触的物体间产生的一对阻止相

对运动或相对运动趋势的力。
滑动摩擦力: f k

? ?N

? 摩擦力总是阻止相对运动。

摩擦力总是阻止相对运动

一人被困在冰面上(冰面水平光滑)无法离开。
请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。

自行车在粗糙的水平面上起动时,前轮

和后轮所受的摩擦力方向如何?

1.关于弹力
1.1 弹力的大小

N ? N ( x) ? ?k1 x ? k2 x ? ? ???? k1 x ??
2

微小形变

——微小振动为简谐振动 1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反. 接触面:沿法线方向 绳子:沿绳子方向 杆:较复杂
N
T F Fn F?

1.3 弹簧的串联与并联
k1
k2 F k1 F k2

1 1 1 ? ? k k1 k2

k ? k1 ? k2

2.关于摩擦力
2.1 摩擦力的大小 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力:

? ? ? ? ? ? f s ? F其他 =ma ? f s ? ma ? F其他

有滑动:f k ? ? N ? 两接触物体相对滑动的条件:fs=?N 2.2 摩擦力的方向 f 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力: N

? ? ? f s ? ma ? F其他
有滑动:与相对运动速度方向相反。

例 2.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?=300,一质 量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上, 它与斜面之间的摩擦系 数为 ?=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边 缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问:F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

解: F 2 ? (mg sin ? )2 ? f max ? mg ? cos ?
Fmin ? mg ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ?

F

?
f

? 2.40( N )
mg sin ? tan ? sin ? ? ? ? 0.722 ? ? 46.20 f max ?

?

F

mg sin ?

例 2.2 如图所示,有一质量为 m=20kg 的钢件,架在两根 相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在 同一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m,钢件与圆柱间的 动摩擦因数?=0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转 动,角速度?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢 件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动, 推力为多大?设钢件左 右受光滑导槽限制(图中未画出),不发生横向运动。

解:f ? 1 ? mg

F
v0 ? v?

2 F ? 2 f cos ?

2 ? ? v0 ? r 2? 2 v v0 cos ? ? 2 v0 ? r 2? 2

r?

?
f f

?

F?

? mgv0
2 v0 ? r 2? 2

? 2.0(N)

2.3 摩擦力的作用时间

?t f ? t N ? 可能有两种情况: ? ?t f ? t N ?
m

v0=0

h

V0

?

v M V0

例2.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运
动。质量为m的小球从h处落下,与平板发生碰撞 后弹起,已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小 与碰撞前速度大小之比为e,球与平板间的摩擦系 数为?。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。
m h v M V0

?

解:
情况1:?tf= ?tN

m h v y v ? vx M

v0 y ? ? 2 gh v y ? ?ev0 y ? e 2 gh

V

f ?t f ? ? N ?t f ? mvx ? ? ? N ?t N ? m(e ? 1) 2 gh ? ? vx ? ? (e ? 1) 2 gh ? ?t N ? ?t f ? ? vy e tan ? ? ? vx ? (e ? 1) m m MV0 ? MV ? mvx ? V ? V0 ? vx ? V0 ? ? (e ? 1) 2 gh M M ?tf = ?tN的条件:vx?V,即

h?

? MV0 1 ? 2 g ? ( M ? m) ? (e ? 1) ? ? ?

2

情况2:?tf < ?tN
v y ? e 2 gh
?v x ? V ? ? ? MV0 ? MV ? mvx MV0 vx ? V ? m?M vy e m tan ? ? ? ( ? 1) 2 gh vx V0 M
?tf < ?tN的条件:
? MV0 1 ? h? 2 g ? ( M ? m) ? (e ? 1) ? ? ?
2

m h v y v ? vx M

V

3.四种基本力

?万有引力 ? ?电磁力 ? ?强力 ?弱力 ?
? 宏观世界里除了重力来源于万有引力外,其它的 力几乎都源于电磁力

4. 非惯性参照系的动力学问题 4.1 惯性参照系与非惯性参照系
惯性系: 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作 匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性 系内牛顿定律不成立。

4.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律

? ? ? F ? FI ? ma '
其中

? ? FI ? ?ma0

为惯性力

例 2.4 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相 对于斜面 M 的加速度和斜面 M 相对于地面的加速度。

m M

?

解1:
?mg sin ? ? ma x ? ? N 1 ? mg cos ? ? ma y ? ? N 1 sin ? ? Ma 0

N1

a?

y O x

?a x ? ?a 0 cos ? ? a' ? ? ? a ? a0 ? a ' ? ? ?a y ? ?a 0 sin ? ?mg sin ? ? m( ? a 0 cos ? ? a ' ) ? ? N 1 ? mg cos ? ? ? ma 0 sin ? ? N sin ? ? Ma 0 ? 1
( M ? m) g sin ? ? ?a ' ? M ? m sin 2 ? ? ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 0 M ? m sin 2 ? ?

mg
N2
a0

?

? N1

Mg

解1:

?mg sin ? ? ma 0 cos ? ? ma' ? ? N 1 ? mg cos ? ? ma 0 sin ? ? 0 ? N sin ? ? Ma 0 ? 1
( M ? m) g sin ? ? ?a ' ? M ? m sin 2 ? ? ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 0 M ? m sin 2 ? ?
a0
? N1

Y

y N1
?

N2
X
a?

? ma0
x

Mg

mg

例2.5 在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C,车 上有质量为4m和m的立方块A和B,它们与小车表面 之间的摩擦系数?=0.5。今用一恒力F 沿水平方向作

用在滑轮上。求A、B、C的加速度。
4m B C

m

m A

F

解:第一种情况:A、B与小车间均无相对滑动。
F aA ? aB ? aC ? fA 6m F 1 ? f A ? maA ? f A ? F 2 3 fB F 1 ? f B ? 4maB ? f B ? ? F 2 6 A、B与小车间无相对滑动的条件:
1 ? 3 ? f A ? ? mg ? mg 2 ? F ? mg ? 2 ? f B ? 4? mg ? 2mg ?
4m m C B m A F

A B

F/2

F/2

第二种情况:F 大于 3mg/2,使得 A 相对于小车滑动,但 B 与小车间无相对滑动。
F / 2 ? ? mg F 1 fB aA ? ? ? g m 2m 2 F / 2 ? ? mg F 1 aB ? aC ? ? ? g 5m 10m 10 F 1 2 ? f B ? 4maB ? f B ? F ? mg 2 10 5
B F/2

B 与小车间无相对滑动的条件
f B ? 4 ? mg ? 2mg ? F ? 24mg
4m
m C B

m A

F

第三种情况:F 大于 24mg,A、B 与小车间均相对滑动。
F / 2 ? ? mg F 1 aA ? ? ? g m 2m 2

F / 2 ? 4? mg F 1 aB ? ? ? g 4m 8m 2 4? mg ? ? mg 5 aC ? ? g m 2
4m m

B C

m A

F

结论:
F 3 ? ?aA ? aB ? aC ? 6m ( F ? 2 mg ) ? F 1 F 1 3 ? ? g , aB ? aC ? ? g ( mg ? F ? 24mg ) ?aA ? 2m 2 10m 10 2 ? F 1 F 1 5 ? ?aA ? 2m ? 2 g , aB ? 8m ? 2 g , aC ? 2 g ( F ? 24mg ) ?

例 2.6 一小环 A 套在半径为 a 的竖直大圆环上, 小环与大环之间的摩擦系数为?,证明:当大环 以匀角速? 绕它自己水平轴 O 转动时,如果

? ? ( g / a)

1/ 2

(1 ? 1 / ? )

2 1/ 4

则小环与大环之间无相对运动。
A O a

?

解:
? N ? mg cos ? ? ma? 2 ? ? f ? mg sin ? ? 0 ? N ? m(a? ? g cos ? ) ? ? f ? mg sin ?
2

? f
? N

a
? mg

?
O

?

无滑动条件:f<?N
mg sin ? ? ? (ma? 2 ? mg cos ? )
? g sin ? ? ??? ( ? cos ? ) ? ?a ? ?
1/ 2


f (? ) ? sin ?

?

? cos ? ? 1 ?

1

?

2

cos(? ? ? )

为使大、小环间始终无滑动,以上不等式对任意

? 都要成立。因此

g 1/ 2 1 1/ 4 ? ? ( ) (1 ? 2 ) a ?

例 2.7 如图所示,A、B、C 为三个质点,A 的质量远远大于 B、 C 的质量,B 和 C 的质量相等。已知 A、B 之间、A、C 之间存 在相互吸引力, f AB ? k AB , f AC ? k AC , 且 其中 k 为比例系数; B、C 之间存在相互排斥力。三个质点在相互间引力或斥力的作 用下运动。试问 ? 的值在什么范围,系统存在如下形式的运动: A、B、C 的相对位置固定, 它们构成一个平面,三个质点绕 着位于这个平面内的某条轴匀速 转动;因为质点 A 的质量远大于 B、C 的质量,可认为该转轴过质 点 A 且固定不动;连线 AB 与转 轴的夹角 ?1 与连线 AC 与转轴的 夹角 ? 2 不相等,且 0 ? ?1 ? ? / 2 ,
0 ? ?2 ? ? 2 。
C A B
? ?

?1
?2

解:
根据牛顿第二定律可得: ??? ? ? ? ? 2 f AB ? T ? m? BE ? FC1 ??? ? ? ? ? 2 f AC ? T ? m? CF ? FC 2 有三角形相似可知:
? ? ? ? ? ? ? F f AB T ? C1 ? AB AD BD f AC FC 2 T ? ? AC AD CD
F A

T
E

FC1

B

?1
?2
f AC FC 2

f AB
D

两式相除:
f AC AB FC1 CD ? ? f AB AC FC 2 BD

C

T

依题意:
AB ? f AB ?( ) f AC AC
T
E

AB sin ?1 FC1 EB ? ? FC 2 FC AC sin ?2 CD BD ? AF AE ? AC cos ?2 AB cos ?1

FC1

B

?1
A

f AB
D

?2
f AC
F

由此可得:
( AB AC )? ?1 ? AB sin ?1 AC sin ?2 ? AC cos ?2 AB cos ?1

FC 2

C

T

sin? ?1 cos? ?2 ?1 ? sin? ?2 cos? ?2 ?2

分析:为实现题中所述运动,要求存在 ? 2 ? (0, ? / 2) , 使得关于 ?1 的方程:

sin? ?1 cos? ?2 ?1 ? sin? ?2 cos? ?2 ?2 ? C

? 除了存在 ?1 ? ?2 的解外,还存在不等于 ? 2 的解 ?1 ? ? 2 .
这一条件要求函数

f (?1 ) ? sin? ?1 cos? ?2 ?1
在 (0, ? / 2) 中为非单调函数.

f (?1 )

C O ?2
? ?2

由此可得 ? 的取值范围为

?1

? ?0



? ?2

例2.8 如图所示,长为2l的轻绳,两端各系一个质 量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球

均静止于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,
三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量,使 它获得水平速度v0,v0的方向与绳垂直。求: (1)M刚受冲量时绳上的张力; (2)在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。
v0
m m

M

解:
(1)以M为参照系,m绕M作以

v0 m T1 M T1

速度v0作圆周运动。M刚受冲量时, m 绳子对M的作用合力为零,M为 惯性参照系,因此
2 mv0 T1 ? l

V

(2)

M

? Mv0 ? ( M ? 2m)V ? M 1 1 2 ? v? ? v ?1 2 2 0 ? Mv0 ? MV ? 2 ? mv M ? 2m 2 2 ?2 ?v ? v ?2 ? V 2 ?

V

m v?

V m v?

以M为参照系,m绕M以速度
v? 作圆周运动。此时M有加 速度aM,为非惯性参照系。

M
V
aM
T2 T2

M

?2T2 ? MaM ? ? v? 2 ? ?T2 ? maM ? mam ? m l ?

? am T2 maM V

M mv T2 ? ( M ? 2m) 2 l

2

2 0

v?

m v?

V m v?

1.质点的动量定理 1.1 牛顿第二定律的普遍形式

? ? ? ?p dp F? ? ?t dt
? ? dp ? ? ? F ? ma 与 F ? : dt ? ? F ? ma :适用条件: m ? 恒量 ? ? dp F? :普遍成立 dt

1.2 质点的动量定理

? ? ? ? I ? F (t ? t ) ? t Fdt ? 0 ?t0 ?? ? ? ? ? p0 ? mv0 , p ? mv ?
? 动量定理反映了力对时间的积累效应

? ? ? I ? p ? p0

2.质点系的动量定理

? ? ? ? I ? ? p ? ? p0
? ? ? ? I ? F (t ? t ) ? t ( F )dt ? i 0 ?t0 ? i ?? i i ? ? ? ? ? ?? p0 ? ? mi v0i , ? p ? ? mi vi i i ?
? 内力只是使系统内各质点产生动量的交换,
但不改变质点系的总动量

3.动量守恒定律

? ? ? p ? ? p0

? (? I ? 0)

?? px ? ? p x 0 (? I x ? 0) ? ? ?? p y ? ? p y 0 (? I y ? 0) ?
? 若系统在某一方向所受的合力的冲量为零,则 该方向动量守恒

1.变力的冲量
F ? F (t )
ti ? ti ? ?ti : t0 ? t : I ? ? Fi ?ti
i ?ti ? 0 i

?I i ? Fi ?ti

F

I ? lim ? Fi ?ti ? ?S

?S
O t0

I ? ? Fdt ? F ?t
t0

t

ti ti+? ti

t

t

2.动量定理、定理守恒定律与参照系 动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。

在非惯性参照系中使用动量定理,需计入惯性力
的冲量;在非惯性参照系中,动量守恒定律的适 用条件为外力与惯性力的合力为零。

3.碰撞问题
3.1 碰撞的物理过程

3.2 一般碰撞
动量守恒: m1 v10 ? m 2 v 20 ? m1 v1 ? m 2 v 2 v 2 ? v1 恢复系数: e ? v10 ? v 20
(1 ? e)m 2 (v10 ? v 20 ) ? ?v1 ? v10 ? m1 ? m 2 ? ? ?v ? v ? (1 ? e)m1 (v 20 ? v10 ) 20 ? 2 m 2 ? m1 ?

1 1 1 1 2 2 2 2 ?E k ? ( m1 v10 ? m2 v 20 ) ? ( m1 v1 ? m2 v 2 ) 2 2 2 2 m1 m2 1 2 ? (1 ? e ) (v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m2

3.3 完全弹性碰撞 e ?1 (m1 ? m 2 )v10 ? 2m 2 v 20 ? ?v1 ? m1 ? m 2 ? ? ?v ? (m 2 ? m1 )v 20 ? 2m1 v10 ? 2 m 2 ? m1 ?

?Ek ? 0
特别地:

?v1 ? v 20 1) m1 ? m 2 ? ? ?v 2 ? v10
2) m1 ?? m 2 且v 20 3) m1 ?? m 2 且v 20

?v1 ? ?v10 ?0? ? ?v 2 ? 0
?v1 ? v10 ?0? ? ?v 2 ? 2v10

3.4

完全非弹性碰撞

e?0
m1 v10 ? m 2 v 20 v1 ? v 2 ? m1 ? m 2 1 m1 m 2 ?E k ? ? ? (v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m 2

例3.1 一机枪质量为M,放置于光滑水平面上,内 装有n颗质量为m的子弹,当它在水平方向射出子 弹时,子弹的出口相对速度为u,假定在 1min内

连续发射了这n颗子弹,试求:
(1)发射结束后机枪的后退速度; (2)如果nm<<M,试讨论上述结果的近似值。

解: (1) ?[M ? (n ? k )m]vk ? m(u ? vk ) ? ?[M ? (n ? k ? 1)m]vk ?1
mu vk ? vk ?1 ? M ? (n ? k ? 1)m v0 ? 0 mu v1 ? M ? nm

?vk ?1 M ? (n ? k ? 1)m

?vk

M ? (n ? k )m

m u ? vk

v2 ?

mu mu ? M ? nm M ? (n ? 1)m

mu mu mu vn ? ? ??? M ? nm M ? (n ? 1)m M ?m
mu ?? k ?1 M ? ( n ? k ? 1) m
n

??

(2) vn ?
?

mu mu mu ? ??? M ? nm M ? (n ? 1)m M ?m mu 1 1 1 [ ? ??? ] M 1 ? nm / M 1 ? (n ? 1)m / M 1? m / M

mu nm (n ? 1)m m ? {(1 ? ) ? [1 ? ] ? ? ? (1 ? )} M M M M mu m ? [n ? (1 ? 2 ? ? ? n)] M M nmu m n ?1 ? (1 ? ) M M 2

例3.2 如图所示,有一列N节(含机车)的火车, 车厢之间由完全非弹性的车钩相连接,机车与每 节车厢的质量均为m,机车与每节车厢所受的阻

力均为自身重量的 ? 倍,火车以恒定牵引力启动。
(1)若启动时各节间的车钩已拉紧,求启动火 车所需的最小牵引力。 (2)若启动前每一车钩间隙等于L,则启动火车 所需的最小牵引力为多少?
F

N

N-1

……

2

1

vk N …… k+1 k …… 1 F

(a)

? vk
N (b)

……

k+1

k

……

1

F

vk+1 N
(c) ……

k+2

k+1

……

1

F

解: (1) Fmin ? n? mg

(2)ak ? F ? k ? mg ? F ? ? g
km

km 2 FL ?2 ? vk2 ? 2ak L ? vk ? 2? gL km

? kmvk ? (k ? 1)mvk ?1
v
2 k ?1

k 2 2 k 2 FL k 2 ?( ) vk ? ? 2( ) ? gL 2 k ?1 (k ? 1) m k ?1
2 2

2kFL [(k ? 1)vk ?1 ] ? (kvk ) ? ? 2k 2 ? gL m

2kFL [(k ? 1)vk ?1 ] ? (kvk ) ? ? 2k 2 ? gL m
2 2

v12 ? 0
FL ( NvN ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? N ? 1) ? 2[12 ? 22 ? ? ? ( N ? 1) 2 ]? gL m
2

? FL 2 N ? 1 ? ? N ( N ? 1) ? ? ? gL ? 3 ?m ?
2 vN ? 0 ? F ?

2N ?1 ? mg 3

2N ?1 ? Fmin ? ? mg ? Fmin 3

1 ? k ? 6 N ( N ? 1)(2 N ? 1) k ?1
2

N ?1

例3.3 如图所示,四个相等质量的质点由三根不 可伸长的绳子依次连接,置于光滑水平面上,三

根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量
作用在质点A,并使这个质点速度变为u,方向沿 绳向外,试求此瞬间质点D的速度
B C

A u

D

u1 B u I1 600 600 C I2 I2 I3 I3 D u2

I1
A I0

u:A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量 u1:B或C的速度在C、B连线方向的分量

u2:D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量

解: B球: I1 ? I 2 cos 600 ? mu
I1 cos 60 ? I 2 ? mu1
0

u1 B u I1 A I0 600 600 C I2 I 2 I3 I3 D u2

C球: I 2 ? I3 cos 600 ? mu1
I 2 cos 600 ? I 3 ? mu2

I1

D球: I3 ? mu2 联立以上各式,解得:
1 u2 ? u 13

例 3.4 足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射 在横梁上的位置有别,其落地点也是不同的。已知球 门的横梁为圆柱形, 设足球以水平方向的速度沿垂直 于横梁的方向射到横梁上, 球与横梁间的滑动摩擦系 数 ? ? 0.70 , 球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。 试 问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门 线内(含球门上)? 足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁 轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角

? (小于 90? )来表示。不计空气及重力的影响。

y
f
O1 v0
O2

B
? ?

x

N

O

?

? ??
O2

A

v

解:
f ?t ? ?mv sin(? ? ? ) ? mv0 sin ?
y

(1)
O1 v0

B

? N ?t ? ?mv cos(? ? ? ) ? mv0 cos ? (2)

x

?

?

f ? ?N v cos(? ? ? ) e? v0 cos ?
若足球被球门横梁反弹后落在球 门线内, 则应有 ? ? 90? ; 若足球被 反弹后刚好落在球门线上,则

(3)
(4)

O

?

? ??
O2

A

v

f

N

O2

? ? 90?

(5)

根据(1)—(5)可得

tan 2 ? ? ? ?1 ? e ? tan ? ? e ? 0
tan ? ?

? ?1 ? e ? ? ? ?1 ? e ? ? 4e
2 2

2

? 1.6

? ? 580

球要落在球门线内,要求 ? ? 58

?

例 3.5 图为一种名为 astroblaster 的玩具, 它由 4 个大小不同的弹性小球构成,其中 最下方的球上面固定有 1 根光滑的细杆。 其余 3 个小球的中心都钻有一个圆孔,孔 的直径略大于细杆的直径。将 3 个带孔的 小球穿进细杆,用手抓住杆的上端,将体 系移至特定的高度,然后松手使它竖直下 落。当落到平整的硬地上后,可以发现最 上面的小球高高弹起,远超过初始下落的 位置。下表为一组实测数据,其中 m1、m1、m1 和 m4 为从下到上 4 个小球的质量,h0 为初始下落的高度,h 为最上面的小球弹起后达 到的最大高度。 m1(g) 62.7 m1(g) 28.7 m1(g) 10.9 m1(g) 3.8 h/h0 10.4

若忽略空气阻力以及小球与杆的摩擦力。请解答以下问题: (1) 假设小球与地面以及小球之间的碰撞为的恢复系数都等 于 e 。根据实测数据计算恢复系数 e 。 (2)如果恢复系数 e 取第(1)问的数值,在 m4 与 m1 保持不 变的条件下,调节 m2 与 m3 到何值时 h / h0 能够达到最大?最 大值是多少?

解:(1)
系统落地时的速度:

v0 ? 2 gh
在以速度 v0 向下运动的参考系中观测, 碰撞前四个小球都处于静止状态, 而地球(设质量为 m0)以速度 v0 向上与最下面的小球碰撞,然后依次引 起小球之间的 3 次碰撞。

先考虑一类特殊的两体碰撞:质量分别为 M 和 m 的两物体发生对心碰 撞,碰撞前 M 的速度为 V,m 的速度为零,碰撞后 M 和 m 的速度分别 为 U 和 u,碰撞中的恢复系数为 e,则
? MV ? MU ? mu (1 ? e) M ? ?u ? V ? u ?U M ?m ?e ? V ? 依上式可得最上面的小球(m4)的碰撞后的速度为

(1 ? e)4 m0 m1m2 m3 u? 2 gh0 (m0 ? m1 )(m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )

考虑到 m0 ?? m1 ,有

(1 ? e)4 m1m2 m3 u? 2 gh0 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )
m 4 相对于地面的速度

? ? (1 ? e)4 m1m2 m3 v ? u ? v0 ? ? ? 1? 2 gh0 ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?

m4 上升的高度
? ? (1 ? e) 4 m1m2 m3 v h? ?? ? 1? h0 2 g ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?
2 2

由此可得

? h 1/ 2 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ? e ? ?[( ) ? 1] ? h0 m1m2 m3 ? ?

1/ 4

? 1 ? 0.84

(2) ?(m2 , m3 ) ?

m1m2 m3 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )
?1

? m3 m2 m4 ? ? ?(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? m1 m2 m3 ? ? ?1 ? m2 m3 m4 m1 m1 m2 m3 m4 ? ?? ? ? ? ( ? ? )? ? 1? m1 ? ? m1 m2 m3 m4 m2 m3 m4 m2 m3 m4 ? (m2 , m3 ) 有极大值的条件为: ? ? ,即 m1 m2 m3
2 m2 ? (m12 m4 )1/ 3 ? 24.6(g) , m3 ? (m1m4 )1/ 3 ? 9.7(g)

对应的极大值

? m4 1/ 3 ? ? max ? ?( ) ? 1? ? m1 ? 2 ?3 ? ? ? h ? ? 4 ? m4 1/ 3 ( )max ? ?(1 ? e) ?( ) ? 1? ? 1? ? 10.5 h0 ? m1 ? ? ? ? ?

?3

1.质点的动能定理

W ? Ek ? Ek 0
? ? ? r ? ? ?W ? F ? ?r ? F ? dr ?r?0 ? ? 1 2 1 ? Ek 0 ? mv0 , Ek ? mv 2 ? 2 2

? 动能定理反映了力对空间的积累效应

2.质点系的动能定理

? A ? ?E ??E
k

k0

??W ? ? A外 ? ? A内 ? ? 1 1 2 2 Ek ? ? mi vi , ? Ek 0 ? ? mi v0i ?? i 2 i 2 ?
? 内力所做的总功一般不为零,即内力一般要改 变系统的总动能

例: mv 0 mv 0 ? (m ? M )V ? V ? m?M ?p ? 0 1 1 1 M 2 2 2 ?E k ? (m ? M )V ? mv 0 ? ? mv 0 2 2 2 m?M
? v0

? V0 ? 0

? V

m

M

m+M

内力可以改变系统的总动能

3.势能 3.1 保守力:做功只与物体的始、末位置有关,而 与物体的运动路径无关的力。

? 3.2 势能:若质点从空间某一点 r0 沿任一路径移动 ? 到 r ,保守力对质点所做的功可表为 ? ? W保= ? [ E p (r ) ? E p (r0 )]


? E p=E p (r ) ? 称为质点在 r 处的势能。

? 系统共有:某一质点的势能为该质点与对该质点 施加保守力的其它质点构成的质点系所共有。 ? 相对值: E p 的值与零势能参考点的选择有关 ? ? 位置的函数: E p ? E p (r )

几种常见保守力的势能: 重力势能:

E p ? mgh

弹力势能:

1 2 E p ? kx 2
万有引力势能:

mM E p ? ?G r

4.功能原理
4.1 功能原理

机械能守恒定律

?W ? ?W


非保内

? ? E ? ? E0

? ? ?? W外 : 所有外力对系统做功的和 ? ?? W非保内 : 所有非保守内力对系统做功的和 ? ? ? E ? E ? E ? Ek : 系统总动能 ? k ? p ? E : 系统的势能 ?? ? p ? ?

4.2 机械能守恒定律

?封闭 : ?W外 ? 0 ? 封闭保守系统: ? ?保守 : ?W非保内 ? 0 ?

?E ? ?E

0

1.变力做功
F ? F ( x)

xi ? xi ? ?xi :

x0 ? x : W ? ? Fi ?xi W ? lim
x
?xi ? 0

?Wi ? Fi ?xi

F

? F ?x
i i

i

i

? ?S
O x0

?S
xi xi+?xi x t

W ? ? Fdx
x0

2.功、能与参照系
? 动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非 惯性参照系中使用动能定理,需计入惯性力所做的功;在 非惯性参照系中,机械能守恒定律的适用条件为外力、非 保守内力及惯性力所做的总功为零。 ? 力做功一般与参照系(即使是惯性系)有关,但成对相互

作用力做功与参照系无关(例4.6)。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? P ? f12 ? v1 ? f 21 ? v2 ? f12 ? (v1 ? v2 ) ? f12 ? v12

? ? ? ? ? ?W ? f12 ? (?r1 ? ?r2 ) ? f12 ? ?r12

f 21 1 2 f12

v1 v2

? 在某一过程中,动能的增量一般与参照系(即使是惯性系) 有关,但势能的增量(与成对保守力做功相联系)与参照系 无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒,但对另一 参照系却可能不守恒。

一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组 成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧的另一端与 固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问:若视

弹簧和物体m为一个体系,则在一沿此弹簧长度方
向以速度u作匀速运动的参考系里观察,此体系的 机械能是否守恒,并说明理由。
k O m x u x

例 4.1 如图所示,一根长为 3L 的轻绳绕过定滑轮,一端 拴在放于光滑水平面上质量为 M 的物体 A 上; 另一端拴在 质量为 m 的物体 B 上,滑轮距地面的高度为 L。开始时, 将 B 移至非常靠近滑轮的位置处,且滑轮与 A 之间的那段 轻绳已被拉直。将 B 由静止释放,试求: (1)B 刚要着地的时的速度; (2)此时绳子的拉力。

3L L B A

解:
(1)
1 2 1 2 mgL ? mvB ? MvA ? L B 2 2 ? vB ? vA cos ? ?? ? 0 ? ? ? 30
8mgL vA ? 3m ? 4M 6mgL vB ? 3m ? 4M
3L A

2L
L

?
B

A

(2)先计算A、B加速度之间的关系: 以O点为参照系,A作圆周运动,其加速度沿绳 子方向的分量,即向心加速度大小为
2 v0 sin 3 ? ? aA|| ? h

O 2L vA||

以地面为参照系, L A的加速度 aB

2 v0 sin 3 ? aA cos ? ? aB ? h

? ? ? ? aA ? aO ? aA ? ? ? ? aA|| ? aO|| ? aA||

vA
B

? aA|| aA ?

A

vA?

再求绳子中的张力:

mg ? T ? maB T cos ? ? MaA
v sin ? aA cos ? ? aB ? h (vA sin ? )2 M T? [mg ? m ] 2 M ? m cos ? 2L 16mM ( M ? m) g ? 2L (4M ? 3m) 2
2 0 3

L

?
B

A

练习 如图所示,质量为m、半径为R,表明光滑的圆柱体B放 在光滑的水平桌面上。有一质量也等于m的细长直杆A,被 固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动.初始 时,杆的下端正好与圆柱体顶点接触,系统保持静止状态。 因受一微小扰动,使A、B从静止开始运动。求: (1)当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为 ? 时, 杆A的速度; (2)此时杆A与圆柱体将的相互作用力。 A C C A

B O

R

B

? R
O

参考答案: v ? 2 gR(1 ? cos ? ) sin ? (1)
(2) N ? mg (2 ? cos ? )

例 4.2 一质量为 M 的圆环用线悬挂着,两质量为 m 的有孔小珠套在此环上,小珠可在环上无摩擦滑动, 如图所示。今将两小珠从环的顶部释放,使之沿相反 方向自由滑下。

(1)证明:为使小珠下滑过程 中大环能升起,m 和 M 必须满

3 足: m ? M ; 2
(2)在满足上述条件下,求大 环开始升起时小珠与环中心连 线与竖直线的夹角。

m N mg

m

?
O M

解:
1 2 ? (1) ?mgR(1 ? cos ? ) ? mv ? 2 ? N ? mg (2 ? 3cos ? ) ? 2 ?mg cos ? ? N ? mv ? ? R 上升条件: 2 N cos ? ? Mg ,即

2mg (2 ? 3cos ? ) cos ? ? Mg
2 M cos ? ? cos ? ? ?0 3 6m
2

m N mg

m

?
O M

以上不等式有解:

4 4M 3 ?? ? ?0?m? M 9 6m 2

3 (2) 当m ? M 时,以上不等式的解为: 2
1 3M 1 3M (1 ? 1 ? ) ? cos? ? (1 ? 1 ? ) 3 2m 3 2m
即开始上升时,

?1 3M ? ? ? cos? ? (1 ? 1 ? )? 2m ? ?3
?1

m N mg

m

?
O M

例 4.3 如图所示,半径为 R、质量为 M、表面光滑 的半球放在光滑的水平面上,在其正上方置一质量 为 m 的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后, 在图示的? 角位置处开始脱离半球,已知 cos? = 0.7,求 M/m。
m

V

M

?

R

v?

解:

?mvx ? MV ? 0 ? ?1 1 2 2 2 MV ? m(vx ? v y ) ? mgR(1 ? cos ? ) ?2 ? 2

m

? ? ? ? ? ?vx ? v 'cos ? ? V V v ?V ?v ' ? M ? R ?v y ? v 'sin ? ? ?m(v 'cos ? ? V ) ? MV ? 0 ? ?1 1 2 MV ? m[(v 'cos ? ? V ) 2 ? v '2 sin 2 ? ] ? mgR(1 ? cos ? ) ?2 ? 2
? 2( M ? m) gR(1 ? cos ? ) v' ? ? M ? m sin 2 ? ? ? m 2 gR(1 ? cos ? ) cos ? ?V ? ? ( M ? m)( M ? m sin 2 ? ) ?

v?

脱离球面的条件:N=0,则

?2 2( M ? m)mg (1 ? cos ? ) v mg cos ? ? m ? R M ? m sin 2 ? M cos3 ? ? 3cos ? ? 2 ? ? 2.43 m 3cos ? ? 2
m V

M

?

R

v?

例 4.4 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来,一起放在地面上,弹簧的质量可不计,而 m2>m1 , 对上面的木块必须施加多大的压力F, 问: 以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
F

m1

m2

m1

F

x2 x1 x=0

m2

解:

F ? m1 g ? kx1
m2刚好能被提起的条件:

(1)

m2 g ? kx2
机械能守恒:

(2)

1 2 1 2 kx1 ? m1 gx1 ? kx2 ? m1 gx2 (3) 2 2
根据(1)~(3)可得

F ? (m1 ? m2 ) g

例 4.5 如图所示,有一劲度系数 k=18.0N/m 的弹簧,其一 端固定,另一端连着一质量 m=0.5kg 的物体,该物体置于 水平面上,物体与水平面之间的摩擦系数为?=0.1。起初 弹簧无形变,物体保持静止。今用一大小为 12.0N,方向 水平向右的恒力 F 作用在物体上。问 (1)物体最终停止在什么位置? (2)物体从开始运动到最终停止所经历的路程是多少? (3)物体从开始运动到最终停止所经历的时间是多少?
k m F

解:
? (1)考察物体第n次来回运动: n ? xn ? xn?1 x 1 1 2 ? ? xn ) ? kxn2 ? kxn ? ( F ? ? mg )( xn 2 2 1 2 1 2 ? ? ?( F ? ? mg )( xn ? xn ?1 ) ? kxn ?1 ? kxn 2 2

2( F ? ? mg ) k 2( F ? ? mg ) ? xn ? xn ?1 ? m k k 4? mg xn ?1 ? xn ? k O xn xn ?1 x1 ? 0 4(n ? 1) ? mg 2[ F ? (2n ? 1) ? mg ] ? xn ? xn ? k k ? xn ? xn ?

? xn

物体停止在位置x?n的条件:

? kxn ? F ? ? mg
1 F n? ( ? 1) ? 6.25 4 ? mg nmax ? 7
物体最终停止的位置为:
k m

O

xn xn ?1

? xn

2( F ? 13? mg ) ? x7 ? ? 0.61(m) k

(2)根据功能原理: 1 2 k ? ? Fx7 ? ? mgs ? kx7 2 ? ? Fx7 ? kx72 / 2 s? ? 7.94(m) ? mg (3)物体来回一次的时间:

m

O

xn xn ?1

? xn

m ? T ? 2? ? (s) k 3
因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间:

1 13 ?t ? 6 ? T ? T ? ? ? 6.81(s) 2 6

例 4.6 图示为一利用 传输带输送货物的装 置. 物块(视为质点) 自平台经斜面滑到一
h

V

以恒定速度 V 运动的 水平长传输带上,再 由传输带输送到远处

?
L d

目的地. 已知斜面高 h=2.0m, 水平边长 L=4.0m, 传输带宽 d =2.0m, 传输带的运动速度 V=3.0m/s,物块与斜面间的摩擦系数?1=0.30, 物块自斜面顶端下滑的初速度为零,沿斜面下滑的速度方向与传输 带运动方向垂直. 设物块通过斜面与传输带交界处时无动能损失. 重力加速度 g=10m/s2.

(1)为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱 离,物块与传输带之间的摩擦系数?2 至少为多少? (2) 当货物的平均流量 (单位时间里输送的货物质量) 稳定在?=40kg/s 时,求单位时间里物块对传送带所做 的功以及传送带对物块所做的功。
V

h

?
L

d

解:
(1) 物块在斜面上滑动的加速度:

mg sin ? ? ?1mg cos ? a? ? g (sin ? ? ?1 cos ? ) m
物块滑到斜面底端的速度:

v0 ? 2ah / sin ? ? 2 gh(1 ? ?1 cot ? ) ? 4.0m/s
a h

?

v0

以传输带为参照系,物块滑到传输带的初速度大小:

v? ? v0 2 ? V 2 ? 5.0m/s 0
运动方向与传输带边缘的夹角? 满足: 4 tan ? ? 3 物块在传输带上作减速运动,加速度大小: ?2 mg a? ? ? ?2 g
m
? v0
v0

V ?

d

当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离: v?2 v?2 s? ? 0 ? 0 2a? 2?2 g 物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数?2 应满足:
v? 2 sin ? s? sin ? ? 0 ?d 2?2 g

? v02 sin ? ?2 ? ? 0.5 2gd

(2)
传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:

m? ? ? ?

? v? ? v0 0 ? ?2 g ?2 g

物块对传输带的摩擦力大小:

V ?

? v0
v0

? F ? ?2 ? m?g ? ? v0
单位时间内物块对传输带所做的功:

d

? W ? FV cos(? ? ? ) ? ?? v? cos ?V ? ??V 2 ? ?360(J/s) 0
单位时间内传输带对物块所做的功:



1 2 ? 1 W ? ? ?V 2 ? ? v0 ? ?140(J/s) 2 2 ? ? W ? ? ?( 1 ?V 2 ? 1 ? v 2 ) ? ?500(W) W ? 0 2 2 ? ? W ? ? ? Fv? ? ? 1 Fv? ? ? 1 ? v?2 ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) ? ?500(W) W ? 0 0 0 2 2 2

? 力做功一般与参照系(即使是惯性
系)有关,但成对相互作用力做功与 参照系无关。
V ?

? v0
v0

d
以地面为参照系,单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:

? W ? FV cos(? ? ? ) ? ??V 2 1 2 ? ? W ? W ? ? ? ? (V 2 ? v0 ) 2

? ? ? 1 ?V 2 ? 1 ? v 2 W 0 2 2

以传送带为参照系,单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:

? W ?0

? ? ? ? 1 ? v?2 ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) W 0 0 2 2 ? ? W ? ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) W ? 0 2

1. 质心

? 由下式决定的位置矢量 rC [位置坐标 C, yC) (x 所对应
的点 C,称为质点系的质心:

? rC ?

? ? mi ri M

y

? ? mi xi ? ? xdm ? xC ? ? M M ? ? ? mi yi ? ? ydm ? yC ? ? M M

C

? rC
O x

2.质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比,与系统的总质量成反比,加速度的方向沿 合外力的方向。

? ? F ? MaC

? 内力不影响系统质心的运动。

1.柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动 能之和。此结论称为柯尼希定理。

1 1 1 2 2 ?2 Ek ? ? mi vi ? Mvc ? ? mi vi 2 i 2 i 2
特别地:两质点构成的质点系统的总动能为

推论:质心参照系中两质点构成的质点系统的总 动能为

1 1 2 m1m2 2 ) Ek ? Mvc ? ? vr ( ? ? m1 ? m2 2 2 1 2 ? Ek ? ? vr 2

2.质心参照系 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系

或质心系。
? 在讨论孤立质点系的运动时,采用质心系是方 便的。在质心系里,体系的动量恒为零,且孤立 体系的质心系是惯性系,功能定理和机械能守恒 定律都能适用。 ? 即使讨论非孤立体系的运动,采用质心系也是 方便的,可以证明,当质心系为非惯性参考系时, 功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。(这是 因为在质心参照系中,作用在各质点上的惯性力 所做的总功为零。)

例5.1 解:

如图,求当人从小车的一端走到另一端时,
y M x l y x

小车相对与地面移动的距离。
m

ml ? Ml / 2 xC1 ? m?M xC 2 ms ? M ( s ? l / 2) ? m?M
2

由 xC1 ? x C 得:

ml s? m?M

s

l

例 5.2 如图所示,半径为 R、质量为 M、表面光滑 的半球放在光滑的水平面上,在其顶部有一质量为 m 的小滑块,从静止开始沿球面下滑。试求:小滑 块脱离球面之前的轨迹。
m M

R
O

解: xC 0 ? 0
mx ? M (? s) xC ? m?M 由 x C1 ? x C 得:
2

y m s M O'
2 2 2

x R y O x

m s? x M
根据 ( s ? x) ? y ? R 可得

x y ? 2 ?1 M R 2 ( R) m?M

2

2

例 5.3 如图,长为 2L,质量可忽略的杆的 两端固定有两质量均为 m 的小球 A、B。开 始时系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统 受外界微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与 水平面夹角为? 时,A、B 两球的速度。
A m L

L
m

C

?

B

解: 1 1 2 2 mg ? 2 L ? 2 ? mv? ? (2m)vC ? mg ? 2 L sin ? 2 2 ? ? ? vB ? vC ? v? ? vC ? v? cos ?
? 2 gl (1 ? sin ? ) ?v? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ?v ? cos ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? C 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? vA ? v? ? vC A ? ? ? v? sin ? i ? (vC ? v? cos ? ) j

m A m

L
C vC m

?

v'

L
vC ? v' ? vB B

? ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? (sin ? i ? 2cos ? j ) 2 1 ? cos ? ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? vB ? ?v? sin ? ? ? sin ? i 2 1 ? cos ?

例5.4 一轮船质量为 M,以速度 V0行驶,船上一人

以相对轮船的速度v?向前投掷一质量m的球。问需
做功多少(图a)?若向后投掷情况又如何(图b)?

v? V 0

?v?

V0

(a)

(b)

解1: 向前抛:
?( M ? m)V0 ? MV ? mv ? ? v ? V ? v? m M V ? V0 ? v?, v ? V ? v? ? V0 ? v? M ?m M ?m 1 1 2 1 1 Mm 2 2 2 A ? MV ? mv ? ( M ? m)V0 ? v? 2 2 2 2 M ?m

向后抛:
?( M ? m)V0 ? MV ? mv ? ?v ? V ? v? m M V ? V0 ? v?, v ? V ? v? ? V0 ? v? M ?m M ?m 1 1 2 1 1 Mm 2 2 2 A ? MV ? mv ? ( M ? m)V0 ? v? 2 2 2 2 M ?m

解2: 不管向前或先后抛:

1 Mm 2 1 1 2 ? ? ( M ? m)VC ? ( M ? m)VC2 A? v 2 M ?m 2 2 1 Mm 2 ? v? 2 M ?m
解3: 以质心为参照系:

1 Mm 2 1 Mm 2 A? ? v? ? 0 ? v? 2 M ?m 2 M ?m 1 Mm 2 A ? A? ? v? 2 M ?m ? 成对相互作用例所做的总功与参照系无关。

1.力矩
? 力 F 对参考点 O 的力矩定义为:

? ? ? M ? r ?F

?大小:M ? Fr sin ? ? Fd ? ? ? 沿 ?方向: r ? F 方向
M

O d

r P ?

F

2.质点的角动量
质点对参考点O的角动量定义为:

? ? ? ? ? L ? r ? p ? r ? mv

?大小 : L ? rp sin ? ? pd ? mvd ? ? ? ?方向 : 沿r ? p方向
L

O

r
m ?

d

v

3.质点的角动量定理和角动量守恒定律

? 若M ?0?

? ? ? ?L dL M? ? ?t dt ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? L ? L0 ? ? Mdt ? L ? L0
t0

? ? L ? L0 ——质点的角动量守恒

? 角动量守恒,动量未必守恒

4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律 ? ? ? ?? L d? L ? M ? ?t ? dt ? ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? ? L ? ? L0 ? ? ? Mdt ? ? L ? ? L0

? 若?M ? 0 ? ? ? ? L ? ? L0 ——质点系的角动量守恒
? 内力不改变系统的总角动量

t0

例 6.1 如图,质量为 m 的小球,拴于不可伸长的 轻绳上,在光滑水平桌面上作匀速圆周运动,其 半径为 R,角速度为?,绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住,如把绳向下拉 R/2 时角速度 ? ? 为 多少?

m

R

F

解:

L ? mvR ? mR ?
2

R 1 2 L' ? mv' ? mR ? ' 2 4

L ? L' ?
? '? 4?
m

R

F

例6.2 如图所示,质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内,现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球

A,开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧,试求B球开始运 动时速度vB的大小。
B
vB

l/2

l
vAy 300 A A vA vAx

解:

mv0 ? mvB ? mvAx

mv0l / 2 ? mvAxl sin 300 ? mvAyl cos300 vB cos300 ? vAx cos300 ? mvAy sin 300 3 vB ? v0 7
B vB l vAy 300 A A vA vAx

l/2

解: (1) 机械能守恒: 1 1 2 ? 2 ?0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ? (2m)v1 ? mv 2 2 2 ? ?v1 ? v 2 ? l? B ?
2 g sin ? ?? 3l
2 B m O 1

角动量定理:

l

l

?L ? ?2mgl cos ? ? mgl cos ? ? ?t ? ? L = 2mlv1 ? mlv 2 = 3ml 2? ? ? ?L ?? ? ? 3ml 2 ? 3ml 2 ? ? ?t ?t ?
g cos ? ?? 3l

?

A 2m

A

对小球1:

?2mg cos ? ? N1 ? 2ma1t ? 2ml ? ? ? f1 ? 2mg sin ? ? 2ma1n ? 2ml? 2 ? ?
4 ? N1 ? mg cos ? ? ? 3 ? ? f ? 10 mg sin ? ? 1 3 ?
f2 2 l
.

N2

mg

O

同理对小球2:

?
f1 l 1 N1

4 ? ? N 2 ? 3 mg cos ? ? ? ? f ? 1 mg sin ? ? 2 3 ?

2mg

小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力, 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时,细杆与水平线夹角为 ?1 ,则

f1 (?1 ) ? ? N1 (?1 )
10 4 mg sin ?1 ? ? mg cos ?1 3 3

f2

N2

2
l mg O

?
f1 l 1 2mg N1

?1 ?

?
6

.

由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端,因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为

?1 ?

?
6

因轻杆没有质量,球 1 一旦脱离轻杆,球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失,此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动,其初速度:
3gl 2 g sin ?1 v0 ? l ? 3l 3
y v0 B2 A

?0

初速度的方向与水平线的夹角:
?0 ? ?
2 ? ?1 ?

?
3

mg

l O

?2 ?1

x

得任意 t 时刻球2的位置坐标:
? 3gl 3 2 x ? ?l cos ?1 ? v 0 cos ? 0t ? l? t ? B ? 2 6 ? gl 1 2 1 1 ? y ? l sin ?1 ? v 0 sin ? 0t ? gt ? l ? t ? gt 2 ? ? 2 2 2 2
A

球2脱离细杆时,

l 2 ? x2 ? y 2
v0

y A

t 2 (t 2 ? 2

l 2 l t? )?0 g 3g

B2

?0

15 l t ? (1 ? ) 3 g
? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 ? ? y ? ? 2 ? 15 l ? 6 ?

mg

l O

?2 ?1

x

A 2 B

2 3? 5 cos ? 2 ? ? l 6 x

? 2 ? 78.2?

解:(1)
tan ? ?

m

?R 1 ? 2? R 2

h

v?

5 2 5 sin ? ? , cos ? ? 5 5 v0 ? R? 螺旋环的角动量:

?

L ? ? ?mi v0 R ? mv0 R ? mR 2?
i

角动量守恒:
0 ? mv|| R ? mR2? ? ? ? v ? v? ? v0 ? v|| ? v? cos ? ? ? R
v? v? ?? cos ? , ? ? cos ? 2R 2R

v??t s h h ?0 ? ??t ? cos ? ? cos ? ? cot ? ? 2R 2R 2R R

(2)根据角动量守恒和机械能守恒定律
1 2 1 ? mgh ? mv ? mR 2? 2 ? 2 2 ? ?0 ? mv|| R ? mR 2? ?
m
h

v?

?v|| ? v? cos ? ? ? R ? ? ? v ? v? ? v0 ? ? v0 ? R? ? sin ? ?v? ? v 1 1 1 ? mgh ? m(v? cos ? ? ? R)2 ? mv?2 sin 2 ? ? mR 2? 2 ? 2 2 2 ? ?0 ? m(v? cos ? ? ? R) ? mR? ?

?

解得: ? gh 10 gh ??2 ? ?v 2 1 ? sin ? 3 ? ? 1 gh cos 2 ? 1 2 gh ? ?? ? R 1 ? sin 2 ? ? R 3 ?

另解: (1)

? ( M ? m) g sin ? 5 ? g ?a ' ? 2 ? M ? m sin ? 3 ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 1 g ? 0 M ? m sin 2 ? 3 ?

m
h

M

a?? v
?

1 2 ? h ? sin ? ? 2 a?t h a0 h ? ? ?? ? ? ? R sin ? a? R ? R?? ? 1 a t 2 0 ? ? 2

a v0 ? 0R?

h 10 gh ? (2) v? ? 2a? sin ? 3 v0 1 1 2 ?? ? 2a0 R?? ? gh R R R 3
m
h
v0 ? R?

v?

?

1.刚体平衡条件
1)物体受力的矢量和为零:

? ? Fi ? 0
2)对矩心的合力矩为零
i

? ? ? ? M i ? ? ri ? Fi ? 0
i i

重要推论:
刚体受三个非平行力作用而平衡时,此三个力的 合力为零,而且这三个力的力线(含延长线)相 交于一点。

2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体,若受到扰动,便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置,则称为稳 定平衡;若它会更远离平衡位置,则称为不稳定

平衡;若平衡位置的周围仍是平衡位置,则称为
随遇平衡。

稳定平衡

不稳定平衡

随遇平衡

例7.1 匀质杆OA重P1 ,长为l1 ,能在竖直平面内 绕固定铰链O转动,此杆的A端用铰链连另一重

为P2、长为l2的均匀杆AB,在AB杆的B端加一水
平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度?与

?的大小,以及OA与AB间的作用力。
O

?
?
B P2

P1

A

F

解:
(1) 以AB为研究对象,有
l2 Fl2 sin ? ? P2 cos ? 2 P tan ? ? 2 2F

O

? ?
B P2

P1

A

F

以OA+AB为研究对象,有

l1 l2 P cos ? ? P2 ( Fl1 cos ? ? ) ? F (l1 sin ? ? l2 sin ? ) 1 2 2 P ? 2 P2 tan ? ? 1 2F

(2) 以AB为研究对象,其所受的合力为零,因此
N ? F 2 ? P22

N A

N 的方向与水平线的夹角?满足:
P2 tan ? ? F

?B
P2

F

例 7.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiBi (i=l, 2…,6) ,其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上,使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中,由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点, 这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另 一薄片的小突起 A1 所施的)压力。

解: 设任一小突起Ai对其的压力为Pi,则

Pi ? 2 Pi(i=2 … 6) ?1 P2 ? 2 P 1
P3 ? 2 P2 ? 22 P 1
Bi-1

Pi-1 Ai Pi
P6 Ai-1

??
P6 ? 25 P ? 32 P 1 1
考虑薄片A6B6,根据力矩平衡条件可得
l 3 P ? mg l ? P6l ? 0 1 2 4

B6

A1 C P1

A6

P6 ? 32 P 代入可解得: 1
1 P? mg 1 42

mg

例7.3

用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,

在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,如图
所示。已知每一积木块的长度为l,横截面是边长 为h=l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度(即桥 孔底宽)。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l

h

H

L

解:
x1 ? l 2 l mx1 ? m( x1 ? l / 2) l x2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? 4 2m 4 m( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ? l / 2) l x1 ? x2 ? x3 ? ? x1 ? x2 ? 2m 6

x3 ?

??

l 6

l xn ? 2n

l
1

L 10 l 10 1 ? ? xn ? ? 2 n ?1 2 n ?1 n
9 H ? 9h ? l 4
L ? H

1 L ? l? n ?1 n

10

2 3

x2 x3

x1

4
……

?

10

n ?1

1/ n

9/4

? 1.258

10

例7.4 有一半径为R的圆柱A,静止

在水平地面上,并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同,半径 为r的较细圆柱B,用手扶着圆柱A, 将B放在A的上面,并使之与墙面 相接触,如图所示,然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20,两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后,两圆柱体能保持 图示的平衡,问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件?

B

r

A

R

解: 对A球:
mg ? N1 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0(1) (2) F1 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F1R ? F3 R (3)

B

? N2

? F2

对B球: mg ? F2 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0 (4)
N2 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F3r ? F2 r

? ? ? N ? mg 3 F3? ? ? F3 N3

(5) (6) A

?
? ? mg N1
? F1

联立(1)~(6)解得:
N1 ? 2 ? cos ? ? 2sin ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

cos ? N 2 ? F1 ? F2 ? F3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? N3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

圆柱B与墙面的接触点不发生滑动:

F2 ? ?2 N2 ? ?2 ? 1
圆柱A在地面上不发生滑动:

F1 cos ? F1 ? ?1 N1 ? ?1 ? ? N1 2 ? cos ? ? 2sin ? R?r 2 Rr cos ? ? , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? R?r R?r
两圆柱的接触点不发生滑动:

1 r? R 9

2 F3 cos ? ?7? ? F3 ? ?3 N3 ? ?3 ? ? r ? ? ? R ? 0.29 R N3 1 ? sin ? ? 13 ?

综合上述结果,可得到r满足的条件:

R ? r ? 0.29R

1.开普勒三定律
第一定律:行星围绕太阳运动的轨道为椭圆,太

阳在椭圆轨道的一个焦点上。
第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫

过相等的面积:

?S 1 2 ?? ? r ? 常量 ?t 2 ?t ?t ?0 第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道 半长轴立方之比值相等:

T2 ? 常量 3 a

2.万有引力与引力势能
2.1 万有引力

? mM ? 0 F ? ?G 2 r r
2.2 引力势能

mM E p ? ?G r

3.解题技巧
? 开普勒定律 ? 角动量守恒

? 机械能守恒

例 8.1

利用角动量守恒证明开普勒定律(Ⅱ) :从太阳

到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。

? 解:M ? r ? F ? 0 ?

?

?

? L ? 常量
? ? ? ? ? ?r L ? r ? mv ? m(r ? ) (?t ? 0) ?t ? ? r ? ?r ?S L?m ? 2m ?t ?t ?S L ? ? 常量 ?t 2m

?S r

?r

例8.2

地球和太阳的质量分别为m和M ,地球绕太

阳作椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短轴为b ,如
图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动 速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。
C m b A a O M A

解: A、B两点:
1 2 GmM 1 2 GmM mvA ? ? mvB ? 2 a?c 2 a?c
m

vC
b B vB a O

C
a M c

vA A

mvA (a ? c) ? mvB (a ? c)

? a ? c GM ?v A ? b a ? (c ? a 2 ? b 2 ) ? ?v ? a ? c GM ? B b a ? 2 vA GmM b2 m ? ? ?A ? 2 ? A (a ? c) a

GmM b2 m ? ? ?B ? 2 ? B (a ? c) a

2 vB

A、C两点:

vC
m b B a O

C

1 2 GmM 1 2 GmM mvA ? ? mvC ? 2 a?c 2 a
GM vC ? a
2 vC

?
c

vA a M

A

vB

GmM GmM b a2 m ? cos ? ? ? ?C ? 2 2 ?C a a a b

例8.3

质量为M的宇航站和对接上的质量为m的

飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其轨道半径是地

球半径的n倍(n=1.25)。某一瞬时,飞船从宇
航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动,其最 远点到地心的距离为8nR,求质量m/M为何值时, 飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇?
m
M+m M M0

解:
(m ? M ) M 0 GM 0 u2 M+m: G ? (m ? M ) ?u ? 2 (nR) nR nR
mM 0 1 mM 0 ?1 2 2 ? ? mv1 ? G 4 GM 0 ? mv1 ? G m: 2 nR 2 8nR ? v1 ? ? 3 nR ?mv1 ? nR ? mv1 ? 8nR ? ?
m M+m u nR v1

M0

nR

8nR

? v1

3M ? m GM 0 (m ? M )u ? mv1 ? Mv2 ? v2 ? 3M nR
设M的最近点到地心的距离为x,则 M:

u

v2 v1

m?M M m

mM 0 1 mM 0 ?1 2 2 ? ? mv2 ? G ? mv2 ? G nR 2 x ?2 ?mv2 ? nR ? mv2 x ? ? 3M 2 x ? nR[2( ) ? 1]?1 3M ? m

v2

M

nR M0

x

? v1

T1 a1 3/ 2 (nR ? 8nR) / 2 3/ 2 1 m 2 3/ 2 ? ( ) ?[ ] ? 27[1 ? (1 ? ) ] ?K T2 a2 (nR ? x) / 2 2 3M

m ? 3 ? [2(9 ? K 2 / 3 )]1/ 2 M m 2 1/ 2 9n 3/ 2 R ? x ? nR ? ? 3[1 ? ( ) ]? K ? ( ) ? 11.18 M n ?1 n ?1 m 27 2 ?0?K ? ? 9.546 m M 4

K ? 10、 11
m ? 3 ? [2(9 ? 102 / 3 )]1/ 2 M ? 0.048、 ? [2(9 ? 112 / 3 )]1/ 2 3 ? 0.153

M nR x

8nR

M0

例 8.4 距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M,观测发现其 位置呈周期性摆动, 周期为 T, 摆动范围的最大张角为 ?? . 假 设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行 星引起的. (1)试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程. (2) L ? 10 光年, ? 11.86 年,?? ? 3.229 毫角秒,M ? M S 若 T ( M S 为太阳质量) ,则此行星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少?分别用太阳质量 M S 和国际单位 AU(平均日地距 离, 1AU ? 1.50 ? 109 km )作为单位,并保留两位有效数字.

解: (1)
L?? Md ML?? R? ,r? ? 2 m 2m
G Mm

m

C r R

M

?R ? r?

2

? 2π ? 2 ? MR? ? MR ? ? ?T ?

2

?m M ?

3 2

?1 ? m M ?

?

L?? ? π 2 ?
3

??

2GMT 2

(2)若M=MS,则

?m MS ?

3 2

?1 ? m M S ?

?

? L?? ? ? 2
3

2GM S T 2

设地球绕太阳作圆周运动,则

? 2? ? mE M S 2 3 ? 2π ? G ? mE rE rE ? mE rE ? ? ? GM S ? rE ? ? 2 rE ? TE ? ? TE ?

2

2

?m MS ?

3 2

?1 ? m M S ?

? L?? ? ?? ? ? 2rE ?

3

? TE ? ? 8.555 ?10?13 ? ? ?T ?

2

m ? (8.555 ?10?13 )1/ 3 M s ? 9.5 ?10?5 M s

M s L?? r? ? 5.2AU m 2

1.简谐振动的基本概念 1.1 简谐振动的定义

物体在运动过程中所受的合力与离开平衡位置的位
移成正比而方向相反,即

F ? ?kx (k ? 0)
则物体所作的运动为简谐振动。

1.2 简谐振动的运动方程
x 运动方程: ? A cos(?t ? ? )

速度方程:v ? vm cos(?t ? ? ? 其中: ? k / m ?

?

2 2 加速度方程:a ? am cos(?t ? ? ? ? ) (am ? A? )

)

(vm ? A? )

1.3 简谐振动的特征量

x ? A cos(?t ? ? )
周期和频率:

振幅:A

1 ? T? ,?? ? ? T 2?

2?

位相与初相: t 时刻的位相: ?t+? 初相: ? ? 位相是描述物体振动状态的物理量

? 周期和频率:由振动系统的固有性质决定:

m ? 1 T? ? 2? ?? ? ? k 2? 2?
? 振幅和初相:由初始条件决定:
2 ? v0 2 ? x t ?0 ? x0 ? A ? x0 ? 2 ? ? ? ?? ? ?v t ?0 ? v0 ?tan ? ? ? v0 ? ? ?x0 ?

2?

k m

1.4 简谐振动的旋转矢量表示

振幅:旋转矢量的模A

圆频率:旋转矢量的角速度?
位相:旋转矢量与Ox轴的夹角?t+?
y

?
M M0 x

A

?t ? P
x

O

2.简谐振动的判别
2.1 简谐振动的判据

F ? ? kx 2 a ? ?? x
2.2 两种常见的简谐振动

m 1)弹簧振子:T ? 2? k

l 2)单摆:T ? 2? g

3.简谐振动的能量

1 2 2 Ek ? kA sin (?t ? ? ) 2 1 2 E p ? kA cos 2 (?t ? ? ) 2 1 2 E ? Ek ? E p ? kA 2 1 2 E p ? Ek ? kA 4
谐振子的动能和势能都随时间而变化,振动过程 中两者相互转换,但系统的总能保持不变。谐振 子系统是一个封闭保守系统。

x

O

t

1 2 E ? kA 2 Ek

O

Ep

t

4.简谐振动的合成
4.1 同频率同方向的简谐振动的合成 1)两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分 振动同频率的简谐振动。 2)合振动的振幅

A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )
2 1 2 2

?? ? 2k? , A ? A1 ? A2 ?? ? (2k ? 1)? , A ? A1 ? A2

链接

4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成:形成拍

4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成:椭圆轨道

链接

4.4 相互垂直的同频率的简谐振动的合成:李萨如图

链接

例 9.1 如图,一正方体木块浮在水面,因外界扰动而沿 竖直方向上下振动,设木块的边长为 l,密度为 ? ,水的 密度为 ? 0 ( ? 0 ? ? ) 。 (1)证明木块作简谐振动,并求其振动周期; (2)若已知 t ? 0 时木块经过平衡位置以速度 v 0 向下运 动,试求出物体的振动方程(取平衡位置为坐标原点, 向下为坐标轴正方向) 。

mg ? ?0 gl 2 x0 (1) F ? mg ? ?0 gl 2 ( x ? x0 ) ? ? ?0 gl 2 x ? ?kx
?0 gl 2 k ?? ? ? 3 m ?l ?0 g ?l
x0 x

解:

O

?l T? ? 2? ? ?0 g
(2) x ? A cos(?t ? ? )

2?

x

? v ?l A ? 0 ? v0 ? ? x t ?0 ? 0 ? A cos ? ? 0 ? ? ? ?0 g ?? ?? ? ?? A? sin ? ? v0 ? ?v t ?0 ? v0 ? ? ? ?? ? ? 2 ?0 g ? ?l x ? v0 cos( t? ) ?0 g ?l 2

例 9.2 如图,两个半径不同的圆柱分别绕平行的水平轴 反向转动,它们转动的角速度均为?,两轴之间的水平距 离为 L。在 t=0 时刻,把一匀质木板垂直于轴放在两圆 柱上,木板处于水平位置且同时与两个转动面接触,其 质心位于小圆柱轴的正上方。设木板与圆柱面之间的摩 擦系数为?,试求木板的质心的位置与时间的关系。

解: 平衡位置: F ? f1 ? f 2 ? ? N1 ? ? N 2 ? 0

? N1 ? N 2
因此木板处于平衡位置时,其质心到 N1 和 N2 作用线的垂直距离均为 L/2。

离开平衡位置x:

1 x ? L ? ? N1 ? mg ( 2 ? L ) ?mg ( ? x) ? N 2 L ? 0 ? 2 ?? ? ? N1 ? N 2 ? mg ? N ? mg ( 1 ? x ) ? ? 2 ? 2 L 2? mg F ? f1 ? f 2 ? ? N1 ? ? N 2 ? ? x L 因此木板的质心作简谐转动。

k 2? g ?? ? m L 2? g x ? A cos( t ? ?) L
L ? A cos ? ? L ? L ? ? x t ?0 ? ? ? ?A ? 2 2 ?? ?? 2 ? ?v ? 0 ?? A 2? g sin ? ? 0 ?? ? 0 ? ? t ?0 ? ? L

L 2? g x ? cos( t) 2 L

例 9.3 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来,一起放在地面上,弹簧的质量可不计,而 m2>m1 , 对上面的木块必须施加多大的压力F, 问: 以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
F

m1

m2

解:F 撤去后, m1 围绕其平衡位置 O 作简谐振动。

m1 在平衡位置时,弹簧的压缩量:

x
xm x0

x0 ? m1 g / k
m1 作简谐振动的振幅:

A O
A

A? F /k
m1 上升到最大高度时,弹簧的伸长量:
m1

F

xm ? A ? x0 ? ( F ? m1 g ) / k
m2 刚好能被提起的条件:

m2 g ? kxm ? F ? m1 g
由此可得: F ? ( m1 ? m2 ) g

m2

例 9.4 如图所示,在一个劲度系数为 k
的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质量为 2m 的小球 B.A 用 细线拴住悬挂起来, 系统处于静止状态, 此时弹簧长度为 l。 现将细线烧断, 并以 此时为计时零点, 取一相对地面静止的、 竖直向下为正方向的坐标轴 Ox, 原点 O 与此时 A 球的位置重合(如图) 。试求 任意时刻两球的坐标。

A k B

O

l

x

解:

在质心坐标系 O?x? 中,A、B 球作简谐振动。

2mg 2mg ? k (l ? l0 ) ? k ? l ? l0

2 1 AC ? l , BC ? l 3 3 ?1 1 1 ?k ? k ? k 3 ? 1 2 ? k1 ? k , k2 ? 3k ? 2 ? k1 ? 1 ? k2 2 ?
两球相对于质心的位移:

k1 k2

2 ? ? ? x1 ? ? 3 l0 ? A1 cos(?1t ? ?1 ) ? ? ? x? ? ? 2 l ? A cos(? t ? ? ) 0 1 1 1 ? 2 3 ?

2 ? ? 2 ? x1 t ?0 ? ? l ? A1 ? (l ? l0 ) ? 3 ?? 3 ? ?v1 ? 0 ??1 ? ? ? ? ? t ?0 1 ? ? 1 ? x2 t ?0 ? l ? A2 ? (l ? l0 ) ? 3 ?? 3 ? ?v2 ? 0 ??2 ? 0 ? t ?0 ? ?
k1 k2

2 2 3g ? ? ? l0 ? (l ? l0 ) cos( x1 t ??) 3 3 l ? l0 1 1 3g ? x2 ? l0 ? (l ? l0 ) cos( t) 3 3 l ? l0

在坐标系Ox中,任意t时刻质心的位置坐标:

2 1 2 xC ? l ? gt 3 2
由此可得在坐标系Ox中,任意t时刻A、B 球的位置坐标:

? 1 2 2 3g ? ? x1 ? xC ? x1 ? gt ? (l ? l0 ) ?1 ? cos( t )? 2 3 l ? l0 ? ? ? 1 2 1 3g ? ? x2 ? xC ? x2 ? l ? gt ? (l ? l0 ) ?1 ? cos( t )? 2 3 l ? l0 ? ?

解:第一阶段:自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 ? k ?T ? mg ? ma1 ? N ? mg ? 2T ? ma ? 1 ? ? N ? ma1 ? mg ? ma? ? N ? k ( x0 ? x?) ?
4k k a? ? ? x?, a1 ? ? x? 3m 3m 4k x? ? A cos( t ? ?) 3m
T
a1 2 mg N ma T
1

2T

a?
1 mg 3

a1 a1 mg

N
x

mg

2mg ? ? 2mg ? ? x t ?0 ? ?(l0 ? x0 ) ? ? ?A ? k ?? k ? ? v? ? 0 ? ?? ? ? ? t ?0

O E

x0 -x' l0

x? ?

2mg 4k cos( t ?? ) k 3m
? 4k 1 mg cos( t1 ? ? ) ? ? ? x0 ? 3m 2 ? k ?? ?v? ? ?2 g 4m sin( 4k t ? ? ) ? 0 ?0 1 ? 3k 3m ?

设t=t1时,砝码1与弹簧分离,则

? ? ? x t ?t1 ? ? v? ? t ?t1

? m ?t1 ? ? 3k ? ? ?v? ? 2 g m ? k ?

第二阶段:自砝码1脱离弹簧至至再次接触弹簧。

?T ? mg ? ma1 4 ? ? N ? mg ? 2T ? ma1 ? a? ? ? g 3 ?ma ? mg ? ma? ? 1

2v? m t2 ? ?3 a? k

3? m t ? t1 ? t2 ? (3 ? ) 3 k


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