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排列组合、二项式定理、概率知识回顾


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排列组合、二项式定理、概率知识回顾
一、 排列组合 1.分类计数原理和分步计数原理 (1)分类计数原理(加法原理): 做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类 办法中有 m2 种不

同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共 有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (2) 分步计数原理(乘法原理): 做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有 N=m1× m2×…×mn 种不同的方法。

2.排列的定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 3.排列数定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示.
n An n! . 4.排列数公式: A ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? n? m ? An? m (n ? m)! m n

m

5.全排列:n 个不同元素全部取出的排列。 6.阶乘:从自然数 1 到 n 的连乘积,记为
n An ? n!

,规定:0!=1

7.组合的定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 8.组合与排列的区别:组合无序,排列有序。 9.组合数:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有组合的个数叫做从 n 个元 素中取出 m 元素的组合数,用符号 C n 表示. 10.组合数公式:
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) n! ? ? . m Am m! m!(n ? m)!

m

?n, m ? N , m ? n?
?

11.两个性质, Cn ? Cn
m

n ?m

m m m ; Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 . 规定: Cn

0

? 1.

12.几个常用公式:⑴ n ? n!? (n ? 1)!?n! ⑶ Cm ? Cm?1 ? ? ? Cn ? Cn?1
m m m m?1



n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

m m m ⑷ Am ? Am?1 ? ? ? An ?

m m m m Am (Cm ? Cm?1 ? ? ? Cnm ) ? Am ? Cnm??11

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二、 1.二项式定理: (a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n r 2.二项展开式通项公式: Tr ?1 ? Cn a 1 n?1 n n ?r r

二项式定理
2 r n b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n

b (r=0,1,2,?,n)

3.二项式系数的性质:

(a ? b) n 的展开式的二项式系数有如下性质:

(1)在二项展开式中,与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。 (2)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。
0 1 2 n n n (3) Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ?2 ? Cn ?1 ? Cn ? 2n 0 2 4 1 3 5 (4) Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? 2n?1

4.二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,?,an 的性质:f(x)= a0+a1x+a2x +a3x ??+anx n ⑴ a0+a1+a2+a3??+an=f(1) ⑵ a0-a1+a2-a3??+(-1) an=f(-1) ⑶ a0+a2+a4+a6??= f (1) ? f (?1)
2

2

3

n

⑷ a1+a3+a5+a7??= f (1) ? f (?1)
2

⑸ a0=f(0) ⑹ |a0|+|a1|+|a2|+|a3|??+|an|=? 5. 注意(1)奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。 (2) “某项”“某项的二项式系数”“某项的系数”之间的区别。 、 、 三、 概率 (一)概念: 1 事件的定义: 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.随机事件的概率:定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) .

m 总 n

3.互斥事件的概念:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 4.对立事件的概念:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件. 5.相互独立事件的定义:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这 样的两个事件叫做相互独立事件。 (二) 概率公式: (1)P(A)= n ; (2)互斥事件分别发生的概率公式为:
m

P(A+B)=P(A)+P(B); (3)相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)=P(A)P(B); (4)
k 独立重复试验概率公式 Pn(k)= Cn ? p k (1 ? p) n?k ; (5)如果事件 A、B 互斥,那么事件 A

与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件; (6)如果事件 A、B 相互独立,那么事 件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P(AB)=1-P(A)P(B); (6)如果事件 A、B
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相互独立, 那么事件 A、 至少有一个发生的概率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B ); B

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