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数系的扩充与复数的概念


知识回顾

自然数

数 系 的 扩 充

3?5 ? ?
整数

用图形表示数集包含关 系:

2?3 ? ?
有理数
Q R

N Z

x ? 2, 则 x ? ?
2



数系是怎样一步一步扩充的?

知识引入

我们已经知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,并且规定: (1)i2??1;

(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运
算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结

合律和分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母 C表示 .

讲解新课

1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部
练一 练

虚部

其中

i 称为虚数单位。

说出下列复数的实部和虚部

1 2 -2+ i , 2 ? i , , ? 3i , i, 0 3 2

2.复数的分类:
?实数b ? 0 ? 复数z ? a ? bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 (a, b ? R) ? ?

讨论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

? R? C

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数.

2 ? 7 , 0.618,

i ,

2

i 1? 3 ,

?

?

2 i, 0 7

3 ? 9 2i, 5i ? 8

例题讲解

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?

练习1:
当m为何实数时,复数
Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

3.规定:如果两个复数的实部和虚部分
别相等,那么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d
a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0
2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相
等,而不能比较大小了.

注:1)

例题讲解

例2: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i 其中 x, y ? R, 求



x与y.

练习: 当x是实数时,若 (2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0,求x的值.

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 实数、虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

效果反馈

复数z ? (m ? 2m ? m i) ? [(m ? 6)i ? 8]
2 2

1.指出复数z的实部和虚部(m为实数);
2.实数m为何值时, (1)实数? (2)零? (3)负数? (4)虚数? (5)纯虚数?

测试
? 据说这是测出一个人有没有商业头脑的数 学题:王师傅是卖鞋的,一双鞋进价20元卖 30元,顾客来买鞋给了张50,王师傅没零 钱,于是找邻居换了50元。事后邻居发现 钱是假的,王师傅又赔了邻居50。请问王 师傅一共亏了多少?请留言…(这道题目不 简单,100个人有99人会算错)到底亏了多 少?看看大家有没有商业头脑!明天揭晓 答案。


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