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2014届高考数学一轮1.3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 文


1.3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 文
一、选择题 1.-885°化成 2kπ +α (0≤α ≤2π ,k∈Z)的 形式是( 11 13 A.- 4π - π B.-6π + π 12 12 13π C.-4π + 12 11 D.-6π + π 12 )

解析:-885°=-1080°+195°. 答案:B 2π 2π 2.已知角 α

的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 α 值为( 3 3 5π A. 6 5π C. 3 2π B. 3 11π D. 6 3 1 3 ,- ),在第四象限,且 tanα =- , 2 2 3 )

解析:由题意得,角 α 的终边上的点的坐标为( 11π 故角 α 的值为 . 6 答案:D α 3.已知 α 为 第二象限角,则 所在的象限是( 2 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 解析:∵α 为第二象限角, π ∴ +2kπ <α <π +2kπ ,k∈Z. 2 π α π 即 +kπ < < +kπ ,k∈Z. 4 2 2 α 当 k=2m 时, 为第一象限角; 2 α 当 k=2m+1 时, 为第三象限角. 2 答案:C

)

α α |sin | |cos | 2 2 4.若 α 为第三象限角,则 y= + 的值为( α α sin cos 2 2 A.0 B.2 C.-2 D.2 或-2 α 解析:∵α 为第三象限角,∴ 为二、四象限角 2

)

1

α 当 为第二象限角时,y=1-1=0, 2 α 当 为第四象限角时,y=-1+1=0. 2 答案:A 2π 2 2 5.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 3 ( ) B.?- 3? ? 1 A.?- , ? 2 2 ? ? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2

? ?

3 1? ,- ? 2 2?

3 1? ? , ? ? 2 2? ? ? 2π ? ? 2π ?? 解析:根据题意得 Q?cos?- ?,sin?- ??, ? ? 3 ? ? 3 ?? 3? ? 1 即 Q?- ,- ?. 2? ? 2 D.?- 答案:C 6.已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内 α 的取值范围是( 5 ? ?π π ? ? A.? , ? B.?π , π ? 4 ? ?4 2? ? C.? )

?3π ,5π ? D.?π ,π ?∪?π ,5π ? ? ?4 2? ? 4 ? ? 4 4 ? ? ? ? ?

? ?sinα -cosα >0, 解析:由已知得? ?tanα >0. ?

5 ? ?π π ? ? 解得 α ∈? , ?∪?π , π ?. 4 2? ? 4 ? ? 答案:D 二、填空题 1 3 7.满足- ≤sinθ < 的 θ 的取 值范围是______ ____. 2 2 π 2π 3 解析:∵sin =sin = , 3 3 2 7π 1 1 3 ? π? sin =sin?- ?=- ,且- ≤sinθ < , 6 2 2 2 ? 6? 故 θ 的取值范围是 ?2kπ -π ,2kπ +π ?∪?2kπ +2π ,2kπ +7π ?(k∈Z). ? 6 3? ? 3 6 ? ? ? ? ? π π? ? 2π 7π ? ? 答案:?2kπ - ,2kπ + ?∪?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 3? ? 3 6 ? ? 8.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 2 5 且 sinθ =- ,则 y=________. 5

2

解析: (4, )是角 θ 终边上一点, P y 由三角函数的定义知 sinθ =

2 5 , sinθ =- 又 , 5 16+y
2

y



2 5 =- ,解得 y=-8. 5 16+y
2

y

答案:-8 1-cos α 9.若角 α 的终边落在直线 y=-x 上,则 + 的值等于________. 2 cosα 1-sin α sinα 3π 解析:因为角 α 的终边落在直线 y=-x 上,α =kπ + ,k∈Z,sinα ,cosα 的符号 4 3π 相反,当 α =2kπ + , 4 即角 α 的终边在第二象限时,sinα >0,cosα <0; 7π 当 α =2kπ + ,即 α 的终边在第四象限时, 4 sinα < 0,cosα >0. 1-cos α sinα |sinα | 所以有 + = + =0. 2 cosα |cosα | cosα 1-sin α sinα 答案:0 三、解答题 10.设 α 为第四象限角,其终边上的一个点是 P(x,- 5),且 cosα = tanα . 解析:∵α 为第四象限角, ∴x>0. 2 ∴r= x +5. ∴cosα = = 2 x,求 sinα 和 4
2 2

x r

x 2 = x. 2 4 x +5

∴x= 3. 2 ∴r= x +5=2 2.

y - 5 10 ∴sinα = = =- , r 2 2 4 y - 5 - 15 = . x 3 3

tanα = =

11.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120°,半径长为 6, (1)求 ? 的弧长; AB (2)求弓形 OAB 的面积.

3

2π 解析:(1)∵α =120°= ,r=6, 3 2π ∴ ? 的弧长为 l= ×6=4π . AB 3 1 1 (2)∵S 扇形 OAB= lr= ×4π ×6=12π , 2 2

S△ABO= r2·sin = ×62×

1 2

π 3

1 2

3 =9 3, 2

∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12π -9 3. 12.已知 A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限.C 是圆 O 与 x 轴正半轴 的交点,△AOB 为正三角形.记∠AOC=α .

2 sin α +sin2α ?3 4? (1)若 A 点的坐标为? , ?,求 的值; 2 cos α +cos2α ?5 5?

(2)求|BC| 的取值范围. ?3 4? 解析:(1)∵A 点坐标 为? , ?, ?5 5? 4 ∴tanα = . 3 sin α sinα 16 8 +2× + 2 2 2 2 cos α cosα 9 3 sin α +sin2α sin α +2sinα cosα tan α +2tanα ∴ = = = = = 2 2 2 2 2 cos α +cos2α 2cos α -sin α sin α 2-tan α 16 2- 2 2- cos α 9 20. (2)设 A 点的坐标为(x,y), ∵△AOB 为正三角形, π? π ?? ? ? ? ∴B 点坐标为?cos?α + ?,sin?α + ??,且 C(1,0). 3? 3 ?? ? ? ? π ? ?2 π? π? ? ? ? 2 2? ∴|BC| =?cos?α + ?-1? +sin ?α + ?=2-2cos?α + ?. 3? ? 3? 3? ? ? ? ? 而 A、B 分别在第一、二象限, ?π π ? ∴α ∈? , ?. ?6 2? π ?π 5π ? ∴α + ∈? , ?. 6 ? 3 ?2 π? ? 3 ? ? ∴cos?α + ?∈?- ,0?. 3? ? 2 ? ? ∴|BC| 的取值范围是(2,2+ 3).
2 2

2

4

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