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感悟三次函数的中心对称性


?36?

中学数学月刊

2010年第8期

感悟三次函数的中心对称性
钱鹏(江苏省如东县马塘中学226401)

一兀三次函数/。(z)=a217 3+bx2+“+d(a ≠o)的最值、极值、单调性讨论较多,但对于三 次函数的图象的中心对称性则少有涉及.本文通 过研究三次函数的图象的中心

对称性,揭开其面 纱,利用这个性质,很多问题可以简单求解.


筹+等。+2缸:+纰3一等一篑z。--bx3+
姿+旺。一0,
0a

所以2,(一麦)一执一,(一五2b—z。),
即点(一磊2bmX0

三次函数的中心对称性 定理1 函数,(z)=a.,173+bx2+cz+d(a

2厂(一麦)一弘)在,(z)=

≠o)是中心对称图形,其对称中心是(一箬,

盯3+缸2+衄+d(a≠0)的图象上.
由点(z。,y。)的任意性,得函数厂(z)=∞3

厂(一蠡)).
证明

+如2+凹+d(口≠O)的对称中心是(一_b,

设函数,(z)一凹3+缸2+口+d(口

≠O)的图象上任一点(zo,Y。),

厂(一麦)).
定理2 若函数,(z)一ax3+如2+“+d(口 ≠o)有极值,则它的对称中心是两个极值点的 中点. 证明 由/一3ax 2+2bx+c—o(△=4(62 —3ac)>O)的两根为zl,z2,得
Xl十z2 2一=一’
6a

则Yo一甜3+缸5+凹。+d.

(Xo,yo)关于点(一五b,厂(一麦))对称的点
为(一瓦2b--Xo

2,(一麦)一弘),而

2俨麦卜y。一舻凳~)
一2[口(一袅)。+6(一尝)z+f(一妻)+d]一
Ja J口 6a

2b



ZlZ2

2=一.
J口

而厂(z)的两极值点为A(xl,厂(z。)),B(x。, f(x2)),则

缸3一妇5一凹。一d--a(~f2b—z。)3—6(一孕一
z。)2一c(一_2b—z。)一d

f(x1)+f(x2)=∞{+k}+“l+d+a.Tci
+如;+o 2+d =a(xl+z2)[(z1+z2)2—3xlz2]+6[(zl +z2)2—2xlz2]+c(xl+z2)+2d

-●———卜斗?+-■—?■—-—■——+——■—-—卜——卜——●”-+-?——-—卜——+——+—-●—-—-?—卜—-●———卜——卜-—+—-●—-—卜——■——+—-●--——?■-—■—-■—-■-?————卜—-+—-■—?—●——●—?■--—●——+—-■—-■—-—卜--●一
当以≥5时,A={1,a,口2,a3,…,口州}(口> 1)(上面已证). 当咒=2,3时,易证.下仅对挖=4时作简单 证明: 设A={1,a2,a3,a‘)(1<a2<a3<a4), 此外,我们也可以运用推广后的一般结论,再 去证明本题的第(2)问. 咒=2或n=4时,易证. 咒=3或恕≥5时,由上知a1,a2,…,a。成等 比数列,故口:1’..?,口i1,口_1也成等比数列,且公比 均为a2. 所 1<a_L<丝<n4,
口3 口2

=一一十一一nr:一nt:一,.f.十
:一兰堡+磐一丝一叮3一如3一组:+27
a2。9a2

3a

~o

~o

。4

o。

则口。口。;口。n。>口.,所以堕∈A,堕
口3 口2

∈A且



——-----—----——-—?----——?—------—------—---—?-一:=

a1+a2+…+a。

口-1+口i1+…+口:1 1?(1一an。)

所以生=口2,坠一n3,故国一口2口3,即A一
口3 口£

a1+a2+…+a。 口了1+…+口i1+口i.1

1一a2 口i1(1一a;)

=a。,即证.

{1,口2,a3,a2a3).

1一a2

万方数据

2010年第8期

中学数学月刊
1)z,

?37?

Zf(半)=2厂(-圭)
=2
6a 5口

=口c一差,c筹一詈,+6c筹二篓,一尝+弘 一 黑-"1I"-丝+竺一丝一丝+2d 一丽4b3一尝+2d,

:=…—+?一一一?+-,,,
7a2’3a。9a2 3a 3a’“”
5口

故/(z)=z2+2ax+2a一1一(z+1)(z
+2口一1).

①当a>1时,1—2口<一1,由/(z)>0,
解得X>一1或X<1—2a;

②由a=1时,1—2口一一l,则厂(z)一(z
+1)2≥0;

a(--三)a+2b(--尝)2+2c(一尝)斗2d

③当a<1时,1—2a>一1,由/(z)>0,
解得z>l一2口或z<一1. 综上: 当a>1时,函数,(z)的单调增区间为 (一∞,1—2a)和(一1,+co),单调减区间为(1—
2口,一1);

所以,(∞)+,(z。)一2,(华)一2,(一袅).
即函数厂(z)=船3+如2+口+d(a≠o)若
有极值,则它的对称中心是两个极值点的中点. 定理3

=筹一百2bc+2d.

当a=1时,函数,(z)的单调增区间为R; 当a<1时,函数,(z)的单调增区间为 (一∞,一1)和(1—2口,+co),单调减区间为
(一1,1—2a).

函数,(z)=凹3+如2+凹+d(a

≠o)的对称中心,在其导函数/=3ax2+2bx+
c的对称轴上. 证明略.


(Ⅲ)当口一一1时,b一一3,得,(z)一÷z3
一z2—3x.

应用 例1 (2009年高考湖南卷)已知函数厂(z)

=z3+bac 2+CX的导函数的图象关于直线z一2

由厂(z)一z2—2z一3—0,得Xl=一1,z2
=3.

对称,求b的值. 分析 解 ,(z)的导函数是二次函数,可用二 次函数的对称轴的性质或定理3. 由于厂(z)=z3+妇2+凹的对称中心

故M(--1,芸),N(3,一9),则MN中点为(1,

一争
所以,(z)=÷z3一z2—3x的对称中心为

在其导函数的对称轴z2
b=一6.

2上,则一F毛2 2,故

评注

根据题目分析,用数形结合的数学

(1,一婴).
所以线段MN与曲线厂(z)有异于M,N的公

思想得出解题方法. 例2(2009年高考福建卷)已知函数,(z)

共点,即对称中心(1,一婴).
评注 (Ⅲ)问用对称中心的性质解题就非 常简洁.掌握了三次函数的中心对称的性质,有助 于我们提高对知识系统性的理解水平. 新一轮数学课程改革从理念、内容到实施,都 有较大变化,要实现数学课程改革的目标,教师是 关键.教师在教学中应转变观念,充分认识数学课 程改革的理念和目标,帮助学生养成良好的习惯, 形成积极探索的态度,强化勤奋好学、勇于克服困 难和不断进取的学风,为学生未来发展和进一步 学习打下坚实基础.

=÷z3+船2+如,且/(一1)一0,
(I)试用含a的代数式表示b; (Ⅱ)求,(z)的单调区间;. (Ⅲ)令a一一1,设函数,(z)在zl,z2(z1< z2)处取得极值,记点M(x。,f(x。)),N(x。, f(x。)),证明:线段MN与曲线,(z)存在异于 M,N的公共点; 分析 解 (I)(Ⅱ)两问比较简单,(Ⅲ)问要 用对称中心的性质解决.

(I)依题意,得/(z)一z2+2∞+b.

故/(一1)一1—2口十b=0,得b=2a一1. (Ⅱ)由(I)得厂(z)=÷z3+aT.2+(2a—

万方数据

感悟三次函数的中心对称性
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 钱鹏 江苏省如东县马塘中学,226401 中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2010(8)

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