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新疆石河子市第二中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题


2017 届第二次月考数学试卷
(满分 150 分,时间 120 分钟) 一、选择题 : (每小题 5 分,共 60 分)在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合 U ? ?0,1, 2, 4,8? , A ? ?1, 2,8? , B ? ?2, 4,8? ,则 CU ( A ? B) ? ( A、 ?0, 2? B、 ?4,8? )

/>2



C、 ?0,1, 4?

D、 ?1,8?

2.下列命题正确的是(

A. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件 B. 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D. 对于命题 p: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0
2 3.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(



2 2 A. x ? y ? 0或y ? 1 2 2 C. x ? y ? 0或x ? 1

B. x ? 1 D. y ? 1 )

4.曲线的极坐标方程 ? ? 4sin ? 化为直角坐标方程为( A、 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 C、 ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

B、 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 D、 ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

5.设函数 f ( x) ? A. ?

?
2

? x ,则 f ' ( ) ? ( ) 2 sin x ? B. C.1 2

D.﹣1 )

6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 (

A.4

B.5

C.6

D.7 )

7. 已知 AB 是抛物线 y 2 ? 2 x 的一条过焦点的弦, 且|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是 ( A.2 B.

1 2

C.

3 2

D.

5 2
1

8.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点到其渐近线的距离为( 2 4
(B)



(A)

3 3

2 3 3

(C)

6 3

( D)

2 6 3
)

9.椭圆 A.2

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到直线 x+2y-10=0 的距离的最小值为( 9 4

B. 5

C.2 5

D.1

x2 y 2 ? ?1 的两个焦点,P 在椭圆上且满足 10 . 已 知 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 为 椭 圆 a 2 b2

???? ???? 2 PF1 ? PF2 ? c ,则此椭圆离心率的取值范围是(
A. [



3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2


C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2
2

11.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4,

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 12.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f '( x ) ? xf '( x ) 恒成立,

a ? f (2) , b ?

1 f (3) , c ? ( 2 ? 1) f ( 2) ,则 a, b, c 的大小关系为 2
B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? b ? a





A. c ? a ? b

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.曲线 y ? 4 x ? x 3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是 14.在极坐标系中,点 P? 2,

?? ? 11? ? 到直线 ? ? sin?? ? ? ? 1 的距离等于 ________ ? 6 ? 6? ? ?

15 . 已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 , 则 以 点 M (?1, 2) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 方 程 为 16 12

__________________。 16.已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60o 的直线 l 与抛物 线 C 在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则

AF 的值等于 BF



2

三、解答题(17 题 10 分,其余各题每题 12 分,共 70 分) 17.极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 极轴 . 已 知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y? 3t ? ? 2

? sin 2 ? ? 8cos ? .
(Ⅰ)求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | . 18.已知 f ( x) ? ( x 2 ? a)e x ,若 a=3,求 f ( x) 的单调区间和极值 19. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2a cos(? ?

?
4

) (a ? 0) 。

(Ⅰ)当 a ? 2 2 时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的极坐标; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 2t ( t 为参数) ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d ,若 ? y ? 4t

d ? 2 ,求 a 的取值范围。
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 5 ,虚轴长为 4 . a 2 b2 (Ⅰ)求双曲线的标准方程;
20.已知双曲线 C : (Ⅱ)过点 ? 0,1? ,倾斜角为 450 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A 、B 两点,O 为坐标原点, 求 ?OAB 的面积. 21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)若直线 L:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 径 的圆过椭圆 C 的右顶点 D.求证:直线 L 过定点,并求处该定点的坐标。

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.
22.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? (注:可能会用到的导数公式: (e ? x ) / ? ?e ? x ; ( xe x ) / ? ( x ? 1)e x )

3

a 参考答案 2017 届第 2 次月考数学试卷答案 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 C 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。. 13. y ? x ? 2 【解析】 14. 3 ? 1 【解析】 15. 3x ? 8 y ? 19 ? 0 【解析】 试题分析:由题意该弦所在的直线斜率存在,设弦的两个点为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,∵

x12 y12 x2 y2 ? ?1 , 2 ? 2 ?1 , 两 式 相 减 得 16 12 16 12

直 线

AB

的 斜 率 为

3 y1 ? y2 12( x1 ? x2 ) 12 ? (?2) 3 ?? ?? ? ? ,∴所求直线方程为 y-2= ? ( x ? 1) ,即 8 x1 ? x2 16( y1 ? y2 ) 16 ? 4 8
3x ? 8 y ? 19 ? 0
16.3 【解析】 试题分析:设 AF =m, BF =n,则 BC=n,AD=m, AE=m-n,AF+BF=m+n. 在直角三角形 ABE 中,由于 ?BAE ? 60? , 所以 cos 60? ?

m?n m ,解得 ? 3 . m?n n

考点:抛物线的定义及抛物线与直线的综合应用. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17 题 10 分,其余每小题满分 12 分) 17.(Ⅰ) y 2 ? 8 x ; (Ⅱ) | AB |?

32 . 3

试题解析: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 8cos ? ,得 ? 2 sin 2 ? ? 8? cos ? ,即曲线 C 的直角坐标 方程为 y 2 ? 8 x . 5分 (Ⅱ)将直线 l 的方程代入 y 2 ? 8 x ,并整理得, 3t 2 ? 16t ? 64 ? 0 , t1 ? t2 ?

16 , 3

t1t2 ? ?

64 . 3

所以 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

32 . 3

10 分

4

考点:1.极坐标方程与普通方程的互化;2 .韦达定理. 18. 【解析】 (1)? a ? 3,? f ( x) ? ( x 2 ? 3)e x

f ?( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 3)e x ? 0 ? x ? ?3或1

?????1 分

当 x ? (??,?3) ? (1,??) 时 f ?( x ) ? 0, x ? ( ?3,1) 时 f ?( x) ? 0 ; [1,??) 减区间为[-3,1], ??????3 分 ? f ( x) 的增区间为 (??,?3] ,

f ( x) 的极大值为 f (?3) ? 6e ?3 ;极小值为 f (1) ? ?2e.

???????5 分

19. (Ⅰ) (4 2 , 【解析】

7? (Ⅱ) a ? 5 . ); 4

试题解析: (Ⅰ) a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 , 2 分 ∴圆心 C(2,-2) ,又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4) ,极坐标为 (4 2 , (Ⅱ) 圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?

7? ) 4

5分

2 2 2 2 直线 l 的方程为 y=2x. a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

?
所以圆心 C(

2 2 a )到直线 l 的距离为 a ,? 2 2

2 a ? 2a 2 5



8分

∴d =2 a 2 ?

9a 2 10 10 = a .所以 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 . 10 5 5

10 分

考点:极坐标与直角坐标的互化,直线与圆相交问题. 20. (Ⅰ) x 2 ? 【解析】

y2 4 ? 1 ;(Ⅱ) . 4 3

?c ?a ? 5 ? 试题解析:解:(Ⅰ)依题意可得 ? 2b ? 4 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
解得

a ? 1, b ? 2, c ? 5

2 ? 双曲线的标准方程为 x ?

y2 ? 1. 4

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 )
5

由?

? y ? x ?1 ?4 x ? y ? 4
2 2

可得 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 即 AB ? 1 ? k 2

2 5 , x1 x2 ? ? 3 3
2

? x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2 ? 2

4 20 8 2 ? ? 9 3 3

原点到直线 l 的距离为 d ?

2 2

于是

S?OAB ?

1 1 8 2 2 4 ? AB ? d ? ? ? ? 2 2 3 2 3

? ?OAB 的面积为

4 3

考点:1 双曲线的方程,简单几何性质;2 直线与双曲线的位置关系问题. 21. (1) ;(2)详见解析 ,

试题解析: (ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 由已知得:a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1, 2 2 2 ∴b =a -c =3, ∴椭圆的标准方程为 。 (ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

联立

,得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0,

2

2

2





又 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m

2

2



因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) , ∴ 整理为

7m 2 ? 16mk ? 4k 2 2 ? 0 ,得 ?2k ? m??2k ? 7m? ? 0 ,m ? ?2k ,或 m ? ? k , 2 7 3 ? 4k
? ? 2? ?2 ? 0? ? 过? , 7? ?7 ?
6

代入 y ? kx ? m 后,得到 y ? k ? x ? 2 ? 过 ?2,0 ? ,或是 y ? k ? x ?

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆相交的综合应用. 22.(1) a ? e ;(2) 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值;当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得 极小值 ln a ,无极大值;(3)1. 【解析】 试题分析: (1) 依题意, f ? ?1? ? 0 , 从而可求得 a 的值; (2) f ? ? x ? ? 1 ?

a , 分① a ? 0 ex

时、② a ? 0 讨论,可知 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增,从 而可求其极值; (3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

1 ,则直线 l : y ? kx ? 1 与 ex

曲线 y ? f ? x ? 没有公共点 ? 方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解.分 k ? 1 与 k ? 1 讨论 即可得答案. 试题解析:(1)由 f ? x ? ? x ? 1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e a ? 0 , 解得 e

又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴 , 得 f ? ?1? ? 0 , 即 1 ?

?

?

a ? e.
(2) f ? ? x ? ? 1 ?

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值. ② 当

a?0



,



f ?? x? ? 0

,



ex ? a

,

x ? ln a

.

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值;当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a , 无极大值. (3)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 , ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实 数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断 , 由零点存在定理 , 可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解 , 与 “方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 .
7

又 k ? 1 时, g ? x ? ? 解法二: (1)(2)同解法一.

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的最大值为1 . ex

(3)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 . ex

直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等 价 于 关 于 x 的 方 程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关 于 x 的方程: ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*),在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 ? xe x . k ?1
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 令 g ? x ? ? xe x ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e x . 令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况如下表:

x
g? ? x? g ? x?

? ??, ?1?
?

?1

? ?1, ?? ?
?

0

?

?

1 e

?

当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ? 围为 ? , ?? ? . ?

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , 从而 g ? x ? 的取值范 e

? 1 ? e

? ?

所以当

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, 解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? . k ?1 ? e?

综上,得 k 的最大值为 1 . 考点:1.导数的计算;2.导数与极值关系;3.导数的几何意义.

8


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