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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.2.2 第一课时 椭圆的简单几何性质


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2.2
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2.2. 2

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2.2.2

椭圆的简单几何性质

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x2 y2 图中椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 问题 1:椭圆具有对称性吗?

提示:有.椭圆是以原点为对称中心 的中心对称图形,也是以x轴,y轴为对称 轴的轴对称图形.

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问题2:可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗?
提示:可以,令y=0得x=±a,故A1(-a,0),A2(a,0), 同理可得B1(0,-b),B2(0,b). 问题3:椭圆方程中x,y的取值范围是什么? 提示:x∈[-a,a],y∈[-b,b].

问题4:当a的值不变,b逐渐变小时,椭圆的形状有
何变化? 提示:b越小,椭圆越扁.
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(1)椭圆的简单几何性质: 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准

方程

y2 x2 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0)

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焦点的位置 范围

焦点在x轴上 -a≤x≤a且 - b≤y≤b A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

焦点在y轴上 -b≤x≤b且 - a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0), B2(b,0)

顶点 轴长 焦点 焦距

短轴长= 2b ,长轴长= 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1|F2|= 2C
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焦点的
位置 对称性 离心率

焦点在x轴上

焦点在y轴上

x轴和y轴 ,对称中心 (0,0) 对称轴
c a(0<e<1) e=

(2)当椭圆的离心率越 接近于1 ,则椭圆越扁;当
椭圆的离心率越 接近于0 ,则椭圆越接近于圆.

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1.椭圆的范围从图形上看非常直观,就是椭圆上点的横 坐标、纵坐标的取值范围.利用椭圆的范围可解决有关求范 x2 y2 围或最值问题.设 P(x,y)为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一 a b 点,由图形易知当 x=0 时,|OP|取得最小值 b,此时 P 位于 椭圆短轴端点处;当 x=± 时,|OP|取得最大值 a,这时 P a 位于长轴端点处.

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2.椭圆的顶点是它与坐标轴的交点,所以必有两个顶
点与焦点在同一条直线上,且这两个顶点对应的线段为椭 圆的长轴,因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上. 3.椭圆中的基本关系:①焦点、中心和短轴端点连线 构成直角三角形,三边满足a2=b2+c2;②焦点到长轴邻

近顶点的距离为a-c(又称近地距离),到长轴另一顶点的
距离为a+c(常称为远地距离).

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第一课时

椭圆的简单几何性质

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[例1]

求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐

标、顶点坐标和离心率. [思路点拨] 化为标准方程,确定焦点的位置及a,b,
x2 y2 将椭圆方程变形为 9 + 4 =1,

c的值,再研究相应几何性质.
[精解详析]

∴a=3,b=2, ∴c= a2-b2= 9-4= 5.

∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0),
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顶点坐标为 A1(-3,0), 2(3,0), 1(0, A B -2), 2(0,2), B c 5 离心率 e=a= 3 .

[一点通]

已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方

程化成标准形式,不确定的要分类讨论,找准a与b,才能 正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.

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x2 2 1.若椭圆a2+y =1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 两倍,则椭圆的离心率为 3 A. 2 1 B.2 ( )

2 5 C. 2 D. 2 解析:由椭圆方程知长轴长为 2a,短轴长为 2,
∴2a=2?2=4,∴a=2,∴c= c 3 ∴e=a= . 2 22-12= 3,

答案:A

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3 2.已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 2 ,求
2 2

m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
x2 y2 解:椭圆方程可化为 m+ m =1. m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> , m+3 m+3 m+3 m 即 a =m,b = ,c= m+3
2 2

a -b =

2

2

m?m+2? . m+3
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3 由 e= 得 2

m+2 3 = ,∴m=1. m+3 2

y2 ∴椭圆的标准方程为 x2+ =1. 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1; 3 3 两焦点分别为 F1(- ,0),F2( ,0); 2 2 四个顶点分别为 1 1 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2
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[例 2]

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

4 (1)长轴长是 10,离心率是5; (2)在 x 轴上的一个焦点, 与短轴两个端点的连线互相垂 直,且焦距为 6.

[思路点拨]

解答本题可先由已知信息判断焦点所

在坐标轴并设出标准方程,再利用待定系数法求参数a,

b,c.

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[精解详析] (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a2 b2 a b c 4 由已知得 2a=10,a=5.e=a= ,∴c=4. 5 ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25

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x2 y2 (2)依题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高),且|OF|=c, |A1A2|=2b,∴c=b=3, ∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9

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[一点通]

利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待

定系数法.其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式

并列出关于参数的关系式,利用解方程(组)求得参数.

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3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 1 12,离心率为3,则椭圆的方程是 x2 y2 A.144+128=1 x2 y2 C.32+36=1 x2 y2 B.36+20=1 ( )

x2 y 2 D.36+32=1 c 1 解析:由题意 2a=12,∴a=6.又 e=a= , 3
x2 y2 ∴c=2,∴b2=62-22=32,∴椭圆方程是 + =1. 36 32 答案:D
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4.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 5 (1)与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦距,且离心率为 5 ;
2 2

(2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-4). x2 y2 解:(1)将方程 4x2+9y2=36 化为 + =1,可得椭圆焦距为 9 4
5 5 5 2c=2 5.又因为离心率 e= ,即 = a ,所以 a=5,从而 5 5 b2=a2-c2=25-5=20. x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,则其标准方程为 + =1; 25 20 y2 x2 若椭圆焦点在 y 轴上,则其标准方程为 + =1. 25 20

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(2)依题意 2a=2· 2b,即 a=2b. x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ?a=2b, ?a2=68, ? ? 则有? 4 16 解得? 2 ?b =17, ? ?a2+ b2 =1. ? x2 y2 所以标准方程为 + =1. 68 17 y2 x2 若椭圆焦点在 y 轴上,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

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?a=2b, ?a2=32, ? ? 则有?16 4 解得? 2 ?b =8. ? ? a2 +b2=1, ? x2 y2 所以标准方程为 + =1. 8 32

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[例3]

如图所示,F1,F2分别为

椭圆的左、右焦点,M为椭圆上一点,
且MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30°.试求 椭圆的离心率. [思路点拨] 通过已知条件MF2⊥F1F2,∠MF1F2=

30°,得到Rt△MF1F2中边的关系,结合椭圆的定义建立 参数a,b,c之间的关系,进而求出椭圆的离心率.

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[精解详析] 设椭圆的半长轴、 半短轴、 半焦距分别为 a, b,c.因为 MF2⊥F1F2,所以△MF1F2 为直角三角形. 3 又∠MF1F2=30° 所以|MF1|=2|MF2|, 1F2|= |MF1|. , |F 2 而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a, 4a 2a 因此|MF1|= ,|MF2|= , 3 3 3 4a c 3 ∴2c= ? ,即a= , 2 3 3 3 即椭圆的离心率是 . 3
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[一点通]

求离心率的值或取值范围是一类重要问题,

解决这类问题通常有两种办法: c (1)直接求出 a 和 c 的值,套用公式 e=a求得离心率; (2)根据题目条件提供的几何关系,建立参数 a,b,c 之 间的关系式,结合椭圆定义以及 a2=b2+c2 等,消去 b,得 到 a 和 c 之间的关系,从而求得离心率的值或范围.

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x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A, a b 点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P. ??? ? ??? ? 若 AP =2 PB , 则椭圆的离心率是 ( ) 3 A. 2 1 C. 3 2 B. 2 1 D. 2

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:∵ AP =2 PB ,∴| AP |=2| PB |.
|PA| |AO| 2 又∵PO∥BF,∴ = = , |AB| |AF| 3 a 2 c 1 即 = ,∴e=a= . 2 a+c 3

答案:D

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6.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的

垂线与椭圆相交,其中的一个交点为P.若△F1PF2为
等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.
解析:由题意知 PF2⊥F1F2,且△F1PF2 为等腰直角三角形, 所以|PF2|=|F1F2|=2c, 1|= 2?2c, |PF 从而 2a=|PF1|+|PF2| 2c 1 =2c( 2+1),所以 e= = = 2-1. 2a 2+1
答案: 2-1
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1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式, 应先化成标准形式.

2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,
其基本思路是“先定型,再定量”,常用的方法是待定系 数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶 点,而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、 焦距.

3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形
结合思想的应用.
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