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等比数列的前n项和 教学设计


课题:等比数列的前 n 项和
一、教学目标:
? 知识与技能:理解等比数列前 n 项和公式的推导方法; 掌握比数列前 n 项和 公式并会用公式解决一些问题. ? 过程与方法:通过比数列前 n 项和公式公式的推导过程,体会错位相减法以 及分类讨论的思想方法. ? 情感、态度与价值观:通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓 励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创

新,磨练思维品质,并从中获得成功的 体验.

二、重点难点分析
? 教学重点:学生掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法,公式的特点及运 用.

?

教学难点:错位相减法的理解,等比数列的前 n 项和公式灵活运用.

三、教学方法
? 教法分析: 本节课的设计流程为”实际问题—回顾、对比—探索推导— 记忆—应用” 首先通过实际问题来激发同学们探究知识的兴趣; 然后提出问题, 通过对等差数 列前 n 项和公式推导的过程引导对等比数列的前 n 项和公式的推导, 启发他们提 出计算方法, 老师黑板上板书结合多媒体展示,推导出公式. 用点拨的方式启发 引导到他们完成公式的推导; 最后在记忆公式结构的基础上, 通过例题掌握公式 的简单运用. ? 学法分析: 以实际例子引入课题,这样有利于数学与实际问题的联系,增强学生的应用 意识,激发学生学习的积极性.

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通过对等比数列前 n 项和公式的探索推导,让同学们体会利用已知的知识来 类比探索新的方法的过程. 在公式的应用过程中,体会公式的结构形式,并学会对比相关联的的知识, 灵活运用新旧知识.

四、教学工具
多媒体课件、黑板,粉笔.

五、教学过程
一、走入生活 情境导入 引入: 同学们, 话说唐僧师徒四人取得真经, 修成正果之后, 生活实例

猪八戒回到他朝思暮想的高老庄, 大力发展畜牧养殖业, 从给高 引入,体现数 老爷做工的农民工, 逐步发展成一个规模不小的养殖场老板. 可 学与实际生活 是上网和同门师兄一沟通, 各个资产过亿, 于是他也想扩大生产 的联系,增强 规模, 办一个集养殖、 加工为一体的高科技生产企业—高老庄集 学生的应用意 团,可是资金不够,于是他想到了在海南搞房地产的大师兄. 猪八戒:猴哥,能不能帮帮我· · · · · · 识,激发学生 的学习热情,

孙悟空:No problem!我每天给你投资 100 万元,连续一个 同时也让学生 月(30 天) ,但有一个条件:第一天返还 1 元,第二天返还 2 元, 体会数学知识 第三天返还 4 元, · · · · · ·后一天是前一天的 2 倍,30 天后互不 的产生、发展 相欠. 猪八戒:第一天出 1 元入 100 万,第二天出 2 元入 100 万, 第三天出 4 元入 100 万, · · · · · · ,哇,发了· · · · · · (想:这猴子 是不是又在耍我) 让我们帮猪八戒算一算, 这笔交易, 是他占大便宜了吗?还 是孙悟空有谋略,在欺负他呢? 我们知道:猪八戒收到的资金: 100 ? 30 ? 3000 (万元) 需返还孙悟空的资金: 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 229 ? ? 很明显,上式中,各加数可构成一个等比数列,这就是一个 过程.

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等比数列求和的问题,这也就是我们今天要学习的新知识.

二、复习回顾 1、等差数列通项公式及前 n 项和公式; 通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 前 n 项和的公式: S n ?
n(a1 ? an ) n( n ? 1) d 或 S n ? na1 ? 2 2
n ?1

同学们回 想本章学过的 知识,回答相 关问题 . 通过 复习本章学过 的内容,加强

2、等比数列的通项公式: an ? a1q 3、等比数列的各项有什么特点?

( a1 , q ? 0 )

从第二项开始,每一项与他的前一项的比是一个常数 q,或:从 对旧知识的理 第二项开始,每一项是他前一项的 q 倍. 解,并为本节 新课做铺垫. 三、用错位相减法推导等比数列前 n 项和的公式 1、简要回顾等差数列前n项和的推导方法——倒序相加法; 同学回答 等差数列前 n 项求和的方 法 . 引导学生 结合等差数列 前 n 项求和的 方法——倒序 相加法,让学 生思考、 讨论, 利用数学中重 要的转化思想 来类比、探索 求等比数列的 前 n 项和 S n 的 方法.

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? (a1 ? (n ? 2)d ) ? (a1 ? (n ?1)d ) Sn ? (a1 ? (n ?1)d ) ? (a1 ? (n ? 2)d ) ? ? ? (a1 ? d ) ? a1
将(1)式和(2)式相加:
2S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an ) ?????? ? ??????? ?
n个

(1) (2)

? n(a1 ? an )

即化为:

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

将 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入上式得:
n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2

2、等比数列前 n 项和公式推导; 等比数列的前 n 项和:

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an
由于 an ? a1q n?1 ( a1 , q ? 0 ) ,故有

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S n ? a1 ? a1q ? a1 q 2 ? ? ? a1q n ?3 ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1

(3)

将(3)式两边同时乘以公比 q,得:

qSn ?

a1q ? a1q2 ? a1q3 ??? a1qn?2 ? a1qn?1 ? a1qn

(4)

老师结合 黑板和多媒体 进行讲解,突

将(3)式减(4)式得:
(1 ? q) S n ? a1 ? (a1q ? a1q) ? (a1q ? a1q ) ? ? ? (a1q
2 2 n ?1

? a1q ) ? a1q

n ?1

n

出强调,加深 印象.

化简得:

(1 ? q)Sn ? a1 (1 ? q n )
当 q ? 1 时,化简得:
Sn ? a1 (1 ? q n ) 1? q

当 q ? 1 时,此时

S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? a1 ??? ? ???? ?
n个

? na1
综上所述:我们得到等比数列的前 n 项和的公式:
?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ? q ? 1; q ? 1.

总结推导 过程,强调难 点和易错点, 特别是化简 时,学生很容 易忘了对 q 的 讨论,让学生 掌握分类讨论

强调:
① 、对公式中的五个量进行讲解; ② 、做题时特别注意考虑 q ? 1 的情形; ③ 、当 q ? 1 时,该求和公式中的 5 个量,知任意 3 个通过解

方程(组)都可以求另外 2 个的方程思想.

3、解决猪八戒的思考;

法.

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S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 29 ? ? a1 (1 ? q n ) 1? q

回到课堂 开始时的情 景,解决实际 问题 . 体会等 比数列前 n 项 和公式的用 途.

1(1 ? 230 ) 1? 2 30 ? 2 ?1 ? 1073 741823 ? 10.7亿 ?? 3000 万元

结论:猪八戒那是吃大亏了!又被猴子耍了! 例 1,例 2 四、知识运用 例 1:求下列等比数列前 8 项的和.
1 1 1 1 ?; (1) , , , , 2 4 8 16 1 , q ? 0. (2) a1 ? 27 , a9 ? 243

为基础题,学 生体会公式的 结构,并掌握 解题的方法和 格式,初步了 解“知三求 二”.

例 2:已知等比数列 ?an ?的前n项和为 S n ? 2an ? 1 , 求 an .

小试牛刀: 3、求下列数列前 n 项的和:
3 1 11 17 ,1 ,1 , 2 ,? 4 8 16 32 1 1 1 1 (2) 1 , 3 , 5 , 7 , ? 2 4 8 16 (1)

第 3 题难 度增加,巩固 新知识理解, 加强新旧知识 的联系.使学 生从直观的角

五、 回顾总结 等差、等比数列对比表:

度加强对等 差、等比数列 的灵活运用.

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数列 通项公式

等差数列

等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
Sn ? n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2

an ? a1q n?1 ( a1 , q ? 0 )
?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ? q ? 1; q ? 1.

总结一节课 的知识内容, 加深理解.

前 n 项和 公式

推导方法 倒序相加法 应用 会知三求二;

错位相减法

实际生活中,等差数列、等比数列是日常经济 生活中的重要数学模型. 例如:存款、贷款、购物 分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 六、作业:

作业中第 1 题是思考题, 是对等差和等 比数列的综合 运用,为后面 深入的题目讲 解做准备 ; 第 2 题是巩固本 节课所学的知 识.

?an ?的前n项和为S n , 1、等比数列 已知S1 ,S3 ,S 2成等差数列,
( 1) 求?an ?公比q; (2) 若a1 ? a3 ? 3 , 求S n . 2、P61 :第1和5题.

五、板书设计 I(黑板左边)
an ? a1q n?1
( a1 , q ? 0 )
(黑板中间) (黑板右边)

等比数列的前 n 项和
?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ? q ? 1; q ? 1.

等差数列
an ? a1 ? (n ? 1)d
Sn ? n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2

前 n 项和的公式推导: 书写前 n 项和公式的 推导过程 · · · · · ·

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II

等比数列的前 n 项和
?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ? q ? 1; q ? 1.

书写例题及练习题的解题过程

六、教学后记
本节课的情境设计贴近生活又有趣,调动了学生学习的积极性,但引入和讲 述过程较快,自己又有点笑场,导致效果变差,并且在后面的教学中未很好的结 合此例展开教学; 对于重点之一等比数列的前 n 项和公式的推导,讲述还是比较 清楚的, 但是初上讲台, 由于紧张对于推导时在公式两边同时乘以 q 的讲述不是 特清楚,另外板书上,次重点比较明确的,只是粉笔字写得不好,一行字写过去 左低右高,对于一些字母的下标没有写清楚,而且书写的速度较快; 对于例题的 设计从简到难比较合理, 遗憾的是在作业设计时却将思考题写在了前面,巩固题 写在了后面,不符合学生的心理,设计不合理. 在整个教学中,由于自己平常就 是个爱笑的人,所以一节课几乎都是微笑的,好的是学生感觉很亲切,但是数学 毕竟是一门比较严谨的学科,做一个“儒雅”的老师更加合适; 讲课的过程,首 先缺乏抑扬顿挫的语调,要注意语速有快有慢,让学生的听课效果更佳,然后要 注意观察学生的表情, 动作等, 从中知道学生的听课情况, 随时调整自己的讲课. 总的来说,对于初上讲台的这节课还是不错的,但是缺点也是很多的,在以后的 学习、 生活中要注意去练习自己的基本功——专业知识、 粉笔字、 语言表达能力、 应变能力等,让教学越来越好!

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