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初高中数学衔接---二次函数


初高中数学衔接------二次函数部分
知识梳理
知识点 1 二次函数的图象和性质

1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0) ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 点评:.求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或零点式中的一 种来求. ①已知三个点的坐标时,宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2.二次函数的图象和性质 图象 a>0 定义域 函数性质 x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a>0 值域 4ac-b2 y∈[ ,+∞) 4a a<0 4ac-b2 y∈(-∞, ] 4a

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数

a<0 单调性

b x∈(-∞,- ]时递减, 2a b x∈[- ,+∞)时递增 2a

b x∈(-∞,- ] 2a 时递增, b x∈[- ,+∞) 2a 时递减

图象特点

b ①对称轴:x=- ; 2a
2 b 4ac-b ②顶点:(- , ) 2a 4a

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2| =|x1-x2|= Δ . |a|

知识点 2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系
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当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴无交点 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 无实根

? ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 ? 或者是 R;
当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴相切 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个相等的实根

? ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 ? 或者是 R;
当 ? ? 0 ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个不等的实根 ?

ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? ( ? , ??) 。
(初中没有的)知识点 3 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 实根分布的充要条件 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
2 令 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) (同理讨论 a ? 0 的结论)

?? ? 0 ? (1) x1<α, x2<α ,则 ? ?b /(2a ) ? ? ; ? f (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2) x1>α, x2>α,则 ? ?b /(2a ) ? ? ? f (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? (3) α<x1<?, α<x2<?,则 ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? ?b /(2a) ? ?

(4) x1<α,

x2>? (α<?),则 ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

(5)若 f(x)=0 在区间( α ,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 点评: (1)讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑: ①判别式; ②区间端点的函数值的符号; ③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中,注意应用数形结合的思想. (初中没有的)知识点 4 二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 在闭区间 ? p, q ? 上的最值
2 2

二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 在闭区间 ? p, q ? 上的最值一般分为三种情况讨论:

(1)若对称轴 x ? ?

b 在区间左边,则函数在此区间上具有单调性,只需比较 f ( p), f (q) 的大小即可决定函数 2a b 在区间右边,则函数在此区间上具有单调性,只需比较 f ( p), f (q) 的大小即可决定函数 2a

的最大(小)值; (或利用函数的单调性直接决定函数的最大(小)值) (2)若对称轴 x ? ? 的最大(小)值; (3)若对称轴 x ? ?

b b 在区间内,则 f ( ? ) 是函数的最小值( a ? 0 )或最大值( a ? 0 ) ,再比较 f ( p), f (q) 的 2a 2a

大小决定函数的最大(小)值。 点评: (1)两个重要的结论:连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值;单调连续函数在闭区间的两个端点处 取得最值。
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(2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 在闭区间 ? p, q ? 上的最值的讨论的基点是对称轴 x ? ?

b 与区间 ? p, q ? 2a

的相对位置的讨论,尤其当顶点横坐标是字母时,则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数 a 的符号 对抛物线开口及结论的影响。 题型一 求二次函数的解析式 例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数. 解 方法一 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 依题意有? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解之,得?b=4, ? ?c=7,

∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7. 方法二 设 f(x)=a(x-m)2+n,a≠0. ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= . 2

1?2 又根据题意函数有最大值为 n=8,∴y=f(x)=a? ?x-2? +8. 1?2 ∵f(2)=-1,∴a? ?2-2? +8=-1, 解之,得 a=-4. 1?2 2 ∴f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 方法三 依题意知:f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 4a?-2a-1?-a2 =8, 4a

解之,得 a=-4 或 a=0(舍去).∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 探究提高 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 题型二 二次函数的单调性 例 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或 -a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3,∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
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2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6] 且 f(x)=? 2 , ?x -2x+3,x∈[-6,0] ?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 变式训练 2:(1).已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围为_____ (- ∞,-2_]_____ 题型三 二次函数在闭区间上的最值

例 3(1)设函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为 g(t),求 g(t)的解析式。 解: (1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,顶点坐标为(1,1). 当 t+1<1,即 t<0 时, g (t )=f (t +1)=t 2 +1 当 t <1 ? t +1 即 0≤t<1 时,g(t)=f(1)=1; 当 t≥1,函数在[t,t+1]上为增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2,

?t 2 ? 1 ? ∴g(t)= ?1 ?t 2 ? 2t ? 2 ?
探究提高

(t ? 0), (0 ? t ? 1), (t ? 1).

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论

哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨 论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 变式训练 3:(1)已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有一个 最大值-5,求 a 的值. 解 a?2 a ?a ? f(x)=-4? ?x-2? -4a,对称轴为 x=2,顶点为?2,-4a?.

a ①当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上递减,此时 f(x)max=f(0)=-4a-a2. 2 令-4a-a2=-5,即 a2+4a-5=0,∴a=-5 或 a=1(舍去). a? a 5 ②当 0< <1,即 0<a<2 时,ymax=f? =-4a,令-4a=-5,∴a= ∈(0,2). 2 ? ? 2 4 a ③当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)在区间[0,1]上递增.∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5, 2 ∴a=± 1<2(舍去). 5 综上所述,a= 或 a=-5. 4 (2)已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为________. 解析:通过画二次函数图象知 m∈[1,2].答案: [1,2] 题型四 二次函数中的恒成立的问题 例 4 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)由 f(0)=1 得,c=1. 又 f(x+1) ? f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1 ? (ax2+bx+1)=2x,即 2ax+a+b=2x,
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∴f(x)=ax2+bx+1.

? ? ?2a=2, ?a=1 ∴? ∴? 因此,f(x)=x2 ? x+1. ?a+b=0, ?b=-1. ? ?

(2)f(x)>2x+m 等价于 x2 ? x+1>2x+m, 即 x2 ? 3x+1 ? m>0,要使此不等式在[ ? 1,1]上恒成立, 只需使函数 g(x)=x2 ? 3x+1 ? m 在[ ? 1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2 ? 3x+1 ? m 在[ ? 1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)= ? m ? 1,由 ? m ? 1>0 得,m< ? 1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是( ? ∞, ? 1). 题型五 二次函数与不等式 例 8 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.
2

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 2 即? 解: (1)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则 ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? ? 2
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上, ∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x 。
2 2 2

(2)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x ? x ?1 ? 0 。
2
2 2 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,
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解得 ?1 ? x ?

1 ? 1? ∴原不等式的解集为 ? ?1, ? 2 ? 2?
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(3) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 ,① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,? ? ? ?1 ② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 综上,? ? 0. 1? ? 探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数又是“三个二
次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思 路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法. 在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时,讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围,易出错;二是求函数最值时,分类讨论的结果不能 写在一起,不能得出最后的结论. 除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成失分:
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1.含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较出大小关系; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻. 方法与技巧 1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系, 又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等. 3.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法 x1+x2 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(x1)=f(x2), 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立, 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(x+2a)=f(x), 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x)是等价的. b (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)对称轴方程为 x=- ; 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方程 f(x)=0 的两根为 x1、x2,那么函数 y=f(x)图象 的对称轴方程为 x= 失误与防范 1.求二次函数的单调区间时要经过配方法,要熟练准确利用配方法. 2.对于函数 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必须认定 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a =0 和 a≠0 两种情况. 4ac-b2 3.对于二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)给定了定义域为一个区间[k1,k2]时,利用配方法求函数的最值 是 4a
2

x1+x2 . 2

极其危险的,一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况,有时要讨论下列四种情况: k1+k2 b b k1+k2 b b ①- <k1;②k1≤- < ;③ ≤- <k2;④- ≥k2. 2a 2a 2 2 2a 2a 4.注意判别式作用,正确利用判别式.

强化训练(一)
一、选择题 1.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是 ( D )

2.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1

( A

)

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3.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是 ( D ) A.(-∞,0] B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]

4.已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实 数 m 的取值范围是 A.(0,2) 二、填空题 7.若二次函数 f(x)=ax2+bx+2 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=___2___. 8.若函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=___6___. 9.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为__ y= 10.若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是__ 0 ? m ? B.(0,8) ( B ) C.(2,8) D.(-∞,0)

1 (x ? 2) 2 ?1 ______. 2 1 _______. 4

强化训练(二)
1. 下图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|·|OB|等于( )

A.

c a

B.-

c a

C.±

c a

D.无法确定

c c |=- (∵a<0,c>0).答案:B a a x ? x2 2 2. 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,则 f ( 1 ) 等于( D ) 2 b b 4ac ? b 2 A. ? B. ? C. c D. 2a a 4a
解析:|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=| 3.若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是(B 5? A.? ?-∞,-2? 5 ? B. ? ?2,+∞? C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) 5 ? D.? ?-2,+∞?

4.函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=____4______. 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下方的图象翻转到 x 轴的上方,如图,y=a 过抛物线顶点时恰有 三个交点,故得 a 的值为 4 5.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x y -3 6
2

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax +bx+c>0 的解集是__{x|x>3 或 x<-2}____________. 解析:由表知 y=a(x+2) (x-3) ,又 x=0,y=-6,代入知 a=1.∴y=(x+2) (x-3).

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