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2第一章 初等函数


初等函数
一、基本初等函数
1.幂函数 y ? x ?
y
y ? x2
1
(1,1)

(?是常数)
y? x
y? x

o
1 y? x

1

x

x 2.指数函数 y ? a<

br />
(a ? 0, a ? 1)

y ? ex

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)
(0,1)

3.对数函数 y ? log a x

(a ? 0, a ? 1)

y ? ln x

y ? log a x
(1,0)

(a ? 1)

y ? log 1 x
a

4.三角函数 正弦函数 y ? sin x
y ? sin x

余弦函数

y ? cos x
y ? cos x

正切函数

y ? tan x
y ? tan x

余切函数

y ? cot x

y ? cot x

正割函数

y ? sec x
y ? sec x

余割函数

y ? csc x
y ? csc x

5.反三角函数

反正弦函数 y ? arcsin x
y ? arcsin x

反余弦函数 y ? arccos x
y ? arccos x

反正切函数 y ? arctan x
y ? arctan x

反余切函数 y ? arccot x
y ? arccot x

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.

二、复合函数 初等函数
1.复合函数
在实际问题中,有很多比较复杂的函数是由几个 比较 简单的函数“叠置”而成的,如在简谐振动中 位移y与时间 t 的函数关系
y ? sin(?t ? ? )

就是由三角函数 y ? sin u 和线性函数 u ? ?t ? ? “叠置”而成的,

设 y ? u, u ? 1 ? x 2 ,

y?

1 ? x2

定义:

设函数 y ? f ( u) 的定义域D f , 而函数

u ? ?( x ) 的值域为 Z ? , 若 D f ? Z? ? ? , 则称
函数 y ? f [?( x )]为x 的复合函数.

x ?自变量, u ? 中间变量, y ? 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
Z? ? D f ? ? ——复合条件

例如 y ? arcsin u,

u ? 2 ? x ; y ? arcsin( 2 ? x )
2
2

复合函数的定义域
D ? ?x | x ? D? ? ?u ? D f 使u ? ? ( x )? ? D?

复合条件在实际应用时常取形式

Z? ? D f

内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.

x 例如 y ? cot , 2

x y ? u , u ? cot v , v ? . 2

2.初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
?e x , 例1 设 f ( x ) ? ? ? x, 求 f [?( x )]. x?1 ? x ? 2, , ?( x ) ? ? 2 x?1 ? x ? 1, x?0 , x?0


10

? e ? ( x ) , ?( x ) ? 1 f [?( x )] ? ? ??( x ), ?( x ) ? 1
当?( x ) ? 1时,

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1,

x ? ?1;

或 x ? 0,
20

?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,

0 ? x ? 2;

当?( x ) ? 1时,

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,
综上所述

? 1 ? x ? 0;
x ? 2;

? e x?2 , x ? ?1 ? ? x ? 2, ? 1 ? x ? 0 f [? ( x )] ? ? 2 . x ?1 ?e , 0? x ? 2 2 ? x? 2 ? x ? 1,

三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
e ?e 双曲正弦 sinh x ? 2
x ?x

y ? cosh x

D : ( ??,??),

奇函数.
x

1 x y? e 2
?x

e ?e 双曲余弦 cosh x ? 2
D : ( ??,??),

1 ?x y? e 2
y ? sinh x

偶函数.

sinh x e x ? e ? x 双曲正切 tanh x ? ? x ?x cosh x e ? e

D : ( ??,??)

奇函数,

有界函数,

双曲函数常用公式
sinh( x ? y ) ? sinh x cosh y ? cosh x sinh y ; cosh( x ? y ) ? cosh x cosh y ? sinh x sinh y ;
cosh x ? sinh x ? 1 ;
2 2

sinh 2 x ? 2 sinh x cosh x ;

cosh 2 x ? cosh 2 x ? sinh 2 x .

2.反双曲函数
反双曲正弦 y ? ar sinh x ;

y ? arsinh x ? ln( x ?
D : ( ??,??)
奇函数,

y ? ar sinh x
x ? 1).
2

在 ( ??,??) 内单调增加.

反双曲余弦 y ? ar cosh x

y ? arcosh x ? ln( x ? x 2 ? 1).
D : [1,??)
在 [1,??) 内单调增加.

y ? ar cosh x

反双曲正切

y ? artanh x
y ? ar tanh x

y ? artanh x 1 1? x ? ln . 2 1? x

D : ( ?1,1)
奇函数,

在 ( ?1,1) 内单调增加.

四、小结
函数的分类:
代 数 函 数

有 理 函 数

有理整函数(多项式函数)
有理分函数(分式函数)

函 数

初 等 函 数

无理函数 超越函数

非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

思考题
下列函数能否复合为函数 y ? f [ g ( x )], 若能,写出其解析式、定义域、值域. (1) y ? f ( u) ? u , u ? g ( x ) ? x ? x 2
( 2) y ? f ( u) ? ln u, u ? g( x ) ? sin x ? 1

思考题解答
(1) y ? f [ g( x )] ? x ? x 2 1 f ( D ) ? [ 0, ] x ? D ? { x | 0 ? x ? 1}, 2 ( 2) 不能. ? g( x ) ? sin x ? 1 ? 0

g( x ) 的值域与 f ( u) 的定义域之交集是空集.

练 习 题
一、填空题: 1、幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和
反三角函数统称 _________ . 2、函数 f ( x ) 的定义域为 [ 1 , 3 ] ,则函数 f (ln x ) 的定义域为 __________ .
3、由函数 y ? e u,u ? x 2 复合而成的函数为______ .

4、函数 y ? sin ln 2 x 由 __________ 复合而成 .
5、若 f ( x ) 的定义域为[ 0 , 1 ] ,则 f(x 2)的定义域 为 __________,f (sin x ) 的定义域为__________, f ( x ? a )(a ? 0) 的定义域为___________ , f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) (a ? 0) 的定义域为_________ .

二、应用图形的“叠加 ”作函数 y ? x ? sin x 的图形 .
? 1,x ? 1 ? 三、设 f ( x ) ? ? 0,x ? 1 ,g ( x ) ? e x , ? ? 1,x ? 1 ? 求 f [ g ( x )] ,g[ f ( x )] ,并作出它们的图形.

四、火车站行李收费规 定如下: 20 千克以下不计费, 20~50 千克每千克收费 0.20 元,超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元,试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系,并作 出图 形.

练习题答案
一、1、基本初等函数; 2、[e , e 3 ]; x2 3、 y ? e ; 4、 y ? sin u, u ? ln v , v ? 2 x ; 5、[-1,1],[2k? , 2k? ? ? ],[ ? a ,1 ? a ] , 1 ? [a ,1 ? a ] 0 ? a ? ? 2 ? . ? 1 ?? a? ? 2 ? ? ?e , x ? 1 ?1, x ? 0 ? ? 三、 f [ g ( x )] ? ?0, x ? 0 ; g[ f ( x )] ? ?1, x ? 1 . ? ? 1, x ? 1 ?1 ? ? , x ?1 ?e

x ? 20 ?0 ? 四、 y ? ?0.2 x ,20 ? x ? 50 ?10 ? 0.3( x ? 50), x ? 50 ?


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