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2014-2015学年高三数学寒假作业(3)(Word版,含答案)


高三数学寒假作业(三) 一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1. 集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?1,2,3?, C ? ?z | z ? xy, x ? A且y ? B? ,则集合 C 中的元素个数为 A.3 B.4 C.11 D.12
N ?(

2.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ?x | x2

? x? ,则 M A. ?0,1? B. ? ?1,1?

) D. ? ?1, 0? )

C. ? ?1,1?
x

3.若命题 p : 命题 q : 则下列命题为真命题的是 ( ?x ? R, log2 x ? 0 , ?x0 ? R,2 0 ? 0 , A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? q D. p ? (?q ) ).

4.下列各组函数中,表示相等函数的是( A.y= 5 x5 与 y= x2 B.y=ln e 与 y=e
x ln x

C. D.y=x 与 y=
0

与 y=x+3

1 x0
) B.函数 [f (x) ] 是奇函数 D.函数 f (x)+x 是奇函数
2 2

5.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,则( A.函数 f (x )是奇函数 C.函数 f (x) ? x 是奇函数
2 2

6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于. A.13 B.35 C.49 D.63


7.已知 sin x ? cos x ?

3 2 ,则 sin 2 x ? ( 5
7 C. 25 ?

18 A. 25
8.过双曲线

7 B. 25

16 D. 25 ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1的直线, 该直线与双曲线的两条 a 2 b2

渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 B. 3
2

1 BC ,则双曲线的离心率是( 2
C. 5 D. 10



9.已知函数 y ? loga (? x ? log2 a x) 对任意 x ? (0, 2 ) 时都有意义,则实数 a 的范围是( A. C.

1



1 1 ?a? 32 2

B. 0 ? a ? 1 D. a ? 1

1 ? a ?1 2

二、填空题

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 10.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为 ?x ? 0 ?
11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为__ ___.

2 2 12.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? c ? 3b ,且 sin B ? 8 cos A sin C ,

则边 b 等于

.

13.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的中点, AE 与 BD 交于点 F ,则

uuu r uuu r FD ? DE ? ________.
A F E D

B

C

三、计算题

14.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? 15. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2 AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE.
C1 B1 A1

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

E F D B

C

A

16.(本题满分 12 分)

x2 y 2 如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上顶点分别为点 A 、 B ,且 a b
| AB | ? 5 | BF | . 2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方 程及椭圆 C 的方程.
y B x O F A

高三数学寒假作业(三)参考答案 一、选择题 1~5 CADDC 二、填空题 10.10 6~9 CCCA

11.

2 3

12.4 13. ?

3 2

三、计算题 14. (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2 x , ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .

(Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x) 在区间 ? ? 15.

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG //

1 C1C. 2

在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A // C1C,且 E 为 A1A 的中点, 所以 FG // EA.

所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF∥AG. ………………………… 4 分 因为 EF 平面 ABC,AG 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. ………………………… 6 分

(2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD 平面 ABC, 所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC. 因为 A1A∩AC=A,A1A 平面 A1ACC1,AC 平面 A1ACC1,所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E 平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E. 根据题意,可得 EB=C1E=
2 2 2

………………………… 9 分

6 AB,C1B= 3 AB, 2

所以 EB +C1E =C1B .从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB.……………………… 12 分 因为 BD∩EB=B,BD 所以 C1E⊥平面 BDE. 16. (1)由已知 | AB |? 即 a 2 ? b2 ? 平面 BDE, EB 平面 BDE, ………………………… 14 分

5 | BF | , 2

5 a , 4a 2 ? 4b2 ? 5a 2 , 2 c 3 .…………………………………………4 分 4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ? ? a 2
2 2

(2)由(Ⅰ)知 a ? 4b ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2)2 ? 4b 2 ? 0 , 由 ? x2 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ?
∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,

16 ? 4b 2 2 17 32 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? .……8 分 17 17 17

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而

5(16 ? 4b 2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.…………………………………………………12 分 4


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