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程伟数学教学答案


程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths

中国高考数学、物理创新教学与研究第一人

程伟巅峰数学
ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。
官方网站:www.cwdfsx.cn

《程伟巅峰数学》 《 2015 高考数学冲刺备战最强课程》 《专用课程讲义》 <标准答案与精辟解析>

第一辑 《 “神级结论”秒杀< 立体几何小题>与<平面解析几何 小题>< 一>》 <标准答案与精辟解析>

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【典例一】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(



1 A. cm3 3

B. 1cm3 D. 2cm 3

C. 2cm3

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 D

?1 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 2 cm3 . 2 ? ?

【典例二】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为________ m3 .

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 30

?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 4 ? 30 m3 . ?2 ?

【典例三】若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_________.

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【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 3 3

?1 ? ? 2? 3 ??3 ? 3 3 . ?2 ?

【典例四】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

560 3

B.

580 3

C. 200

D. 240

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 C

?1 ? ? ? 2 ? 8 ? ? 4 ? ?10 ? 200 . ?2 ?

【典例五】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(



A. C.

11 2 9 2

B. 5 D. 4

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? 2 ? ? 【答案】 D

?1 ? ? ?1 ? 3? ?1? ? 1 ? 4 . 2 ? ?

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【典例六】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为______ m3 .

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ?1? 2 ? 2 ?1? ?1 ? 4 . 【答案】 4

【典例七】如图 1 ? 3 ,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和 俯视图都是矩形,则该几何体的体积为________.

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 3 . 【答案】 9 3

?

?

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【典例八】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______.

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 2 ? 3? ? 2 ? 12 . 【答案】 12

【典例九】已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积是(



A. 1cm 3 C. 3cm 3

B. 2cm 3 D. 4cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 ? 1 cm3 . 3 ?2 ?

cm ) 【典例十】 已知某三棱锥的三视图 (单位: 如图所示, 则该三棱锥的体积等于_____ cm 3 .

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【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 1

1 ?1 ? ? ? ? 3 ?1? ? 2 ? 1 cm3 . 3 ?2 ?

【典例十一】如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边 三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A. 4 3 C. 2 3

B. 4 D. 2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 ? ?? ? 2 3 ? 2??3 ? 2 3 . 3 ?2 ?

【典例十二】已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这 个几何体的体积是( )

A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 8000 ? ? 20 ? 20 ? ? 20 ? cm3 . 3 3

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【典例十三】如图, 一个空间几何体的三视图如图所示, 其中, 主视图中 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为( )

A. 3 C. 3

B. D.

3 2
3 2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ? 3 2? 3 . ?? 6 ? ? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 4 2 ? ?

【典例十四】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(



A. C.

?8 ? ? ?
6

3 3

B. D.

?8 ? 2? ?
6

3 3

?6 ? ? ?
6

? 9 ? 2? ?
6

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

?? ? 8 ? 3 . 1 ?1 ? ? ? ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? 3 ?2 6 ?

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【典例十五】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(



A. 4 C. 8

B. 6 D. 12

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 4? ? 2 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?

【典例十六】 设某几何体的三视图如下 (尺寸的长度单位为 m ) . 则该几何体的体积为 (



m3 .

A. 3 C. 5

B. 4 D. 6

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 2 ? 4 m3 . 3 ?2 ?

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【典例十七】某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积(



A.有最大值 2 C.有最大值 6

B.有最大值 4 D.有最小值 2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:

1 ?1 x 2 ? y 2 22 ? V ? ? ? ? 2 x ? y ? ? 3 ? xy ? ? ? 2 .故有最大值 2 . 3 ?2 2 2 ?
【答案】 A

【典例十八】某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 是( )

3 ,则正视图中的 x 的值 2

A. 2 C.
3 2

B.

9 2

D. 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

3 1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? x ? x .故 x ? . 2 3 ?2 ?

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【典例十九】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于________.

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ?

1 ?1 16 ? ? ? ? ? 3 ? 5? ? 2 ? ? 2 ? . 3 ?2 3 ?

【答案】

16 3

【典例二十】已知某几何体的三视图 (单位:cm ) 如图所示, 则该几何体的体积是 (



A. 108cm 3 C. 92cm 3

B. 100cm 3 D. 84cm 3

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 ?1 ? V ? ? 6 ? 3? ? 6 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 4 ? 108 ? 8 ? 100 cm3 . 3 ?2 ?
【答案】 B

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【典例二十一】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. C.

64 3 80 3

B. 32 D.
8 ?8 2 3

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 32 64 ?1 ? . V ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 ? ? 32 ? ? 3 3 3 ?2 ?
【答案】 A

【典例二十二】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A. 2 C. 6

B. D.

10 3 22 3

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 ?1 2 10 ?1 ? ? V ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1? ? 4 ? ? . 3 ?2 3 3 ?2 ? ?
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【答案】 B

【典例二十三】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于_________.

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 ?1 32 160 ?1 ? ? . V ? ? ? 4 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 8 ? 4 ? ? 64 ? ? 3 ?2 3 3 ?2 ? ?
【答案】

160 3

【典例二十四】若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积等于 _______ cm 3 .

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 ?1 ?1 ? ? V ? ? ? 4 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 3 ? 30 ? 6 ? 24 . 3 ?2 ?2 ? ?
【答案】 24

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【典例二十五】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. 2 3 C.
4 3 3

B. 2 5 D.
5 3 3

【解析】由“神级结论一”之<三> 可得:

1 ?1 3 5 3 ?1 ? ? . V ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 1? ? 2 3 ? ? 3 ?2 3 3 ?2 ? ?
【答案】 D

【典例二十六】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 48 C. 48 ? 8 17

B. 32 ? 8 17 D. 80

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:

?1 ? S表 =S侧 +2S第三 = 2 ? 4 ? 2 17 ? 4 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ? ? 48 ? 8 17 . ?2 ?
【答案】 C

?

?

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【典例二十七】已知一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的侧面积是(



A. 1 ? 2 C. 4 ? 2

B. 3 ? 2 D. 5 ? 2

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得: S侧 = 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 . 【答案】 C

?

?

【典例二十八】如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几 何体的表面积为( )

A. 15 ? 3 3 C. 30 ? 6 3

B. 9 3 D. 18 3

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:

S表 =S侧 +2S第三 = ? 2 ? 2 ? 3 ? 3? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 30 ? 6 3 .
【答案】 C

?

?

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【典例二十九】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 38 ? 2? C. 38 ? ?

B. 38 ? 2? D. 38

【解析】此例较为特殊,因为底面是空心的,所以计算 c第三 时应注意加上中间圆的周长, 计算 S第三 时应注意减去中间圆的面积,大家记住此特例即可。 由“神级结论一”之<一 > 可得:

S表 =S侧 +2S第三 = ? 3+3+4+4+2 ? ? ?1? ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? ? ?12 ? ? 38 .
【答案】 D

【典例三十】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(



A. 28 ? 6 5 C. 56 ?12 5

B. 30 ? 6 5 D. 60 ? 12 5

【解析】由“神级结论二”之<二> 可得:

1 1 S侧1 = ? 5 ? 42 +02 =10 ; S侧2 = ? 4 ? 42 +32 =10 ; 2 2

1 1 ? 8 ? S侧3 = ? 41 ? 42 + ? =6 5 ; S底 =S俯 = ? 4 ? 5=10 . ? 2 2 ? 41 ?

2

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故 S 表 =10+10+6 5+10=30+6 5 . 【答案】 B

【典例三十一】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 7 ? 5 C. 4 ? 5 ? 10

B. 9 D. 4 ? 5 5

【解析】由“神级结论二”之<二> 可得:

1 1 S侧1 = ? 2 ? 22 +02 =2 ; S侧2 = ? 2 ? 22 +12 = 5 ; 2 2

? 2? 1 1 S侧3 = ? 2 2 ? 22 + ? =3 ; S底 =S俯 = ? 2 ? 2=2 . ? ? ? 2 2 ? 2 ?
故 S表 =2+ 5+3+2=7+ 5 . 【答案】 A

2

【典例三十二】某几何体的三视图如图所示,则其侧面积为(



A. C.

3? 2 ? 6 2 6? 2 ? 3 2

B. D.

2? 3 ? 6 2 3? 2 2

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【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:

1 1 1 2 ; S侧1 = ?1? 12 +02 = ; S侧2 = ?1? 12 +12 = 2 2 2 2

1 1 S侧3 = ? 2 ? 12 +02 =1 ; S侧4 = ? 2 ? 12 + 2 2
故 S侧 =

? 2? =
2

6 . 2

1 2 6 3+ 2+ 6 . + +1+ = 2 2 2 2

【答案】 A

【典例三十三】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(



A. 32 C. 48

B. 16 ? 16 2 D. 16 ? 32 2

【解析】由“神级结论二”之<二> 可得:

1 S侧1 =S侧2 =S侧3 =S侧4 = ? 4 ? 22 ? 22 ? 4 2 . 2
故 S 表 =4 ? 4 2 +4 ? 4=16+16 2 . 【答案】 B

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【典例三十四】某四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是___________.

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:

1 1 S侧1 = ? 2 ? 22 +02 =2 ; S侧2 = ? 2 ? 22 +12 = 5 ; 2 2

? 2? 1 ; S侧3 = ? 2 2 ? 22 + ? ? 2 ? ? =3 2 ? ?
故 S表 =2+ 5+3+ 【答案】 7+ 5

2

1 ? 2 ? 2=7+ 5 . 2

【典例三十五】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于__________.

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 56

?1 ? ? ? 2+5? ? 4 ? ? 4=56 . ?2 ?

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【典例三十六】若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

1 3

B.

2 3

C. 1

D. 2

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 C

?1 ? ? 2 ?1? ? 2=1 . ?2 ?

【典例三十七】某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体 的体积为( ) cm 3 .

A. 6 ? 3?
3 C. 6 ? ? 2

B. 2 ? 3?
3 D. 2 ? ? 2

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 C

1 3? ?1 ? . ? 2 ? 2 ? ? ? ? 12 ? ? 3 ? 6 ? 2 2 ?2 ?

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【典例三十八】一个几何体按比例绘制的三视图(单位: cm )如图所示,该几何体的体积 为( )

7 A. cm3 3 7 3 C. cm 2

9 B. cm3 2 9 3 D. cm 4

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 3 ?1 ? 【答案】 C

? ?

1 7 ? ? 1? 1 ? ? 1 ? . 2 2 ?

【典例三十九】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. 60 C. 100

B. 80 D. 120

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 B

?1 ? ? ? 2 ? 8 ? ? 4 ? ? 4 ? 80 . ?2 ?

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【典例四十】已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ cm 3 .

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:

V ? ?1? 4 ? 4 ? 5? ? 5 ? 120 .
【答案】 120

【典例四十一】若一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(



A. 3 C.
3 3 4

B. 3 3 D.
9 3 4

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 【答案】 B

?1 ? ? 2? 3 ??3 ? 3 3 . ?2 ?

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【典例四十二】若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______.

【解析】由“神级结论一”之<一> 可得:V ? ? 4 ? 2 ? 【答案】 18

? ?

1 ? ? 4 ? 1? ? 3 ? 18 . 2 ?

【典例四十三】如图,若一个空间几何体的三视图中,直角三角形的直角边长均为 1 ,则该 几何体的体积为( )

A.

1 2

B. D.

1 3 1 4

C. 1

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 1 ? ?1? 1? ? 1 ? . 3 3

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【典例四十四】如图 1,一个“半圆锥”的主视图是边长为 2 的正三角形,左视图是直角三 角形,俯视图是半圆及其圆心,这个几何体的体积为( )

A.

3 ? 3

B.

3 ? 6

C. 2 3?

D. 3?

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 3 ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ?. 3 ?2 6 ?

【典例四十五】 一个棱锥的三视图如图 (尺寸的长度单位为 m ) , 则该棱锥的体积是 (单位: ( m3 ) )

A. 4 ? 2 6 C.
2 3

B. 4 ? 6 D.
4 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

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【典例四十六】如果一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A. 12? C. 6?

B. 9? D. 3?

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3

【典例四十七】 如图, 一个空间几何体的正视图、 侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边长为 2 ,那么这个几何体的体积为( )

A. C.

1 3 4 3

B.

2 3

D. 2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

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【典例四十八】已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(



A. C.

4 3

B. 4 D.
4 3 3

4 2 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 4 2 . ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 3 3

【典例四十九】一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(单位: cm ),则这个几何 体的体积是( )

A. 9? cm 3 C. 15? cm3

B. 12? cm 3 D. 24? cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3

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【典例五十】已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是(



A. 4 C. 12

B. 6 D. 18

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ? ? 3 ? 3? ? 2 ? 6 . 3

【典例五十一】已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标注的尺寸(单位: cm ),可 得该几何体的体积是( )

1 3 A. cm 3 4 3 C. cm 3

2 3 B. cm 3 8 3 D. cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

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【典例五十二】若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

2 3

B.

4 3

C. 2

D. 6

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 . 3 ?2 ?

【典例五十三】 一个几何体的正视图、 侧视图、 俯视图如图所示, 则该几何体的体积为 (



A.

2? 3

B. D.

4? 3 8? 3

C. 2?

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 4? ? . ? ? ? ? ? 22 ? ? 2 ? 3 ?2 3 ?

程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

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中国高考数学、物理创新教学与研究第一人

【典例五十四】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

2 3

B.

1 3

C. 2

D. 1

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ? 3

?

2 ? 2 ?1 ?

?

2 . 3

【典例五十五】一个简单多面体的三视图如图所示,其主视图与左视图是边长为1 的正三角 形,俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )

A. C.

1 6

B. D.

2 6 3 12

3 6

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 3 3 ? ?1?1? ? ? . 3 2 6

程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

28

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【典例五十六】已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

4 3

B.

8 3

C. 4

D. 8

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 8 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? . 3 3

【典例五十七】如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角 形和正方形,则其体积是( )

A. C.

3 6 4 3 3

B. D.

4 2 3
8 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 4 3 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? . 3 3

程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

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【典例五十八】已知某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),其中正视图、侧视图都是 等腰直角三角形,则这个几何体的体积是( )

8 A. cm3 3

B. D.

16 3 cm 3 32 3 cm 3

C.

16 2 3 cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 16 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? . 3 3

【典例五十九】 设某几何体的三视图 (尺寸的长度单位为 m ) , 则该几何体的体积为 (



A. 12 C. 4

B.

8 3

D. 8

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 ? ? ? ? 3? 4 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?

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【典例六十】一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为直角三角形,边长如图所示, 那么这个几何体的体积为( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 ? ? ? ? 1? 2 ? ? 3 ? 1 . 3 ?2 ?

【典例六十一】已知某个三棱锥的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位: cm ),则这 个三棱锥的体积是( )

1 3 A. cm 3 4 3 C. cm 3

2 3 B. cm 3 8 3 D. cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

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31

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【典例六十二】一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 ( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? 4 . 3

【典例六十三】一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1 的等腰直 角三角形(如图) ,那么这个几何体的体积为( )

A. 1 C.
1 3

B. D.

1 2 1 6

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ?

1 ?1 1 ? ? ? ? 1? 1 ? ? 1 ? . 3 ?2 6 ?
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【答案】 D

【典例六十四】一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(



A. 4 C.
8 3

B.

4 3

D. 8

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

【典例六十五】已知某几何体的三视图如右图所示,根据图中的数据,则该几何体的体积是 ( )

A. 6 C. 18

B. 8 D. 24

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ? ? 4 ? 2? ? 3 ? 8 . 3

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【典例六十六】若某多面体的三视图 (单位:cm ) 如图所示, 则此多面体的体积是 (



A. 2cm 3 C. 6cm 3

B. 4cm 3 D. 12cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 ? ? ? ? 3? 2 ? ? 2 ? 2 . 3 ?2 ?

【典例六十七】一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯视图为 正方形,则这个几何体的体积等于( )

A. C.

1 3

B. D.

2 3

15 6

62 24

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 1 ? ? ? ? 1? 1 ? ? 2 ? . 3 ?2 3 ?

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【典例六十八】如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角 形,如果直角三角形的斜边长为 2 2 ,那么这个几何体的体积为( )

A. C.

1 3 4 3

B. D.

2 3 8 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

【典例六十九】已知如图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图, 那么这个几何体的体 积等于( )

A. 30 C. 15

B. 20 D. 10

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ?

1 ?1 ? ? ? ? 3 ? 4 ? ? 5 ? 10 . 3 ?2 ?
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【答案】 D

【典例七十】一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. C.

1 3 5 3

B. D.

2 3 4 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

【典例七十一】如图,已知一个锥体的正(主)视图,侧(左)视图和俯视图均为直角三角 形,且面积分别为 3 、 4 、 6 ,则该锥体的体积为( )

A. 24 C. 12

B. 4 D. 2 2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 ? ? ? ? 3? 4 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?

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【典例七十二】已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直 角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于( )

A. C.

6 12 6 4

B. D.

3 3 2 3 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 3 ? . ? ? ? 2 ? 1? ? 3 ? 3 ?2 3 ?

【典例七十三】如图,是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为(



A. 34 C. 48

B. 16 D. 24

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ? ? 6 ? 2 ? ? 4 ? 16 . 3

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【典例七十四】某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是(



A. 12 C. 48

B. 16 D. 64

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ? ? 4 ? 3? ? 4 ? 16 . 3

【典例七十五】某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(



A. 8 C. 4

B. D.

8 3 4 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ? 3

?

2? 2 ?2 ?

?

4 . 3

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【典例七十六】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的 体积为( )

A. 3 C. 1

B. D.

2 3 3 3 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ?1 3 ? . ? ? ? 2 ? 1? ? 3 ? 3 ?2 3 ?

【典例七十七】某几何体的三视图如图所示,它的体积为(



A. 72? C. 36?

B. 48? D. 12?

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 D

1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3

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【典例七十八】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(



A. C.

20 3 40 3

B. 10 D.
50 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 40 ? . ? ? ? 5? 4 ?? 4 ? 3 ?2 3 ?

【典例七十九】如图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视 图是直角边长分别为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积 等于 ( )

A. C.

3? 6 4 3? 3

B. D.

3? 3

?
2

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 A

1 ?1 3? ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? . 3 ?2 6 ?

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【典例八十】已知某个几何体的三视图如右,那么可得这个几何体的体积是(



A. C.

1 3 4 3

B. D.

2 3 8 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 C

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

【典例八十一】已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ),可得 这个几何体的体积是( )

2 3 A. cm 3 1 3 C. cm 3

4 3 B. cm 3 8 3 D. cm 3

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】 B

1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

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【典例八十二】某几何体的三视图如图所示,则其体积为_______.

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ? 【答案】

1 8 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? . 3 3

8 3

【典例八十三】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_______.

【解析】由“神级结论一”之<二> 可得:V ?

1 ?1 1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 1? ? 1 ? . 3 ?2 2 ?

【答案】

1 2

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【典例八十四】设 a 、b 是两条不同的直线,? 、? 是两个不同的平面, 则下列四个命题: ①若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b ∥ ? ;②若 a ∥ ? , a ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 a ? ? , ? ? ? ,则 a ∥ ? 或 a ? ? ;④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则? ? ? . 其中正确命题的个数为( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

【解析】由“神级结论二”之<一> 可知:①正确;由“神级结论二”之<四> 可知:②正确; 由“神级结论二”之<一 > 可知:③正确;由“神级结论二”之<五> 可知:④正确. 故①②③④全部正确. 【答案】 D

【典例八十五】已知 ? 、 ? 是两个互相垂直的平面, m 、 n 是一对异面直线,下列四个结 论:① m ∥ ? ,n ? ? ;② m ? ? , n ∥ ? ;③ m ? ? ,n ? ? ;④ m ∥ ? , n ∥ ? , 且 m 与 ? 的距离等于 n 与 ? 的距离. 其中是 m ? n 的充分条件的为( )

A.① C .③
【答案】 C

B.② D.④

【解析】由“神级结论二”之<五> 可知:③正确. 故选 C .

【典例八十六】设 ? 、 ? 、 ? 是三个互不重合的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,则 下列命题中正确的是( )

A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则? ? ?

B.若 ? ∥ ? ,m ? ? , m ∥ ? ,则 m ∥

?
C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ∥ ?

? ?? , 若 m ∥ ? ,n ∥ ? , 则m?n D.

【解析】由“神级结论二”之<一> 可知: B 正确. 故选 B . 【答案】 C 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。
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【典例八十七】已知 m 、 n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 是两个不重合的平面,给出下列 四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ②若 m, n ? ? , n ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . 其中正确命题的个数为( )

A. 1 个 C. 3 个

B. 2 个 D. 4 个

【解析】由“神级结论二”之<三> 可知:①正确;由“神级结论二”之<三> 可知:②错误; 由“神级结论二”之<二 > 可知:③正确;由“神级结论二”之<四> 可知:④正确. 故①③④正确. 【答案】 C

【典例八十八】已知 a 、 b 、 c 是三条不同的直线,命题“ a ∥ b 且 a ? c ? b ? c ”是 正确的,如果把 a 、 b 、 c 中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有( )

A. 1 个 C. 3 个

B. 2 个 D. 4 个

【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: “将 a 、 b 换成平面”得到的命题:正确; “将 a 、 “将 b 、 c 换成平面”以 c 换成平面”得到的命题:错误. 由“神级结论二”之<四> 可知: 及“将 a 、 b 、 c 换成平面”得到的命题:均正确. 故能得到三个正确命题. 【答案】 C

【典例八十九】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出下列 命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m ∥ ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? .

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其中真命题的序号是__________________(写出所有真命题的序号). 【解析】由“神级结论二”之<二> 可知:①错误;由“神级结论二”之<四> 可知:②正确; 由“神级结论二”之<四 > 可知:③错误;由“神级结论二”之<三> 可知:④错误. 故只有②正确. 【答案】②

【典例九十】已知两条不同的直线 m 、 n ,两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题中正确 的是( )

A.若 m ? ? , n ? ? ,? ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , n ∥ ? ,? ? ? ,则 m ? n C.若 m ∥ ? , n ∥ ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n D.若 m ∥ ? , n ? ? ,? ? ? ,则 m ∥ n
【解析】由“神级结论二”之<五> 可知: A 正确. 故选 A . 【答案】 A

【典例九十一】关于直线 l 、 m 及平面 ? 、 ? ,下列命题中正确的是(



A.若 l ∥ ? ,? ? ? ? m ,则 l ∥ m C.若 l ? ? , l ∥ ? ,则? ? ?

B.若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m D.若 l ∥ ? , m ? l ,则 m ? ?

【解析】由“神级结论二”之<四> 可知: C 正确. 故选 C . 【答案】 C

【典例九十二】设 ? 、 ? 、 ? 是三个不重合的平面, m 、 n 是不重合的直线,下列判断 正确的是( )

A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n
【答案】 D

B.若 ? ? ? , l ∥ ? ,则 l ? ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: D 正确. 故选 D .

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【典例九十三】已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,则下列 命题正确的是( )

A.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ∥ ?

B.若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ D.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ?

?
C.若 m ∥ n , m ∥ ? ,则 n ∥ ?

【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: D 正确. 故选 D . 【答案】 D

【典例九十四】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确 的是( )

A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则? ? ? D.若 m ? ? , m ∥ n , n ∥ ? ,则? ? ?
【解析】由“神级结论二”之<五> 可知: D 正确. 故选 D . 【答案】 D

【典例九十五】设 l 为直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是(



A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 l ? ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , l ∥ ? ,则 l ? ?

【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: B 正确. 故选 B . 【答案】 B

【典例九十六】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.则(



A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ?

B.若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ∥ ? ,? ? ? ,则 m ? ?

【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: C 正确. 故选 C . 【答案】 C 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。
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【典例九十七】已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给 出的条件中一定能推出 m ? ? 的是( )

A. ? ? ? ,且 m ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ?
【答案】 B

B. m ∥ n ,且 n ? ? D. m ? n ,且 n ∥ ?

【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: B 正确. 故选 B .

【典例九十八】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n ; (2)若 ? ∥ ? , m ? ? , n ∥ ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为__________. 【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: (1)错误;由“神级结论二”之<五> 可知: (2) 正确;由“神级结论二”之<三 > 可知: (3)错误;由“神级结论二”之<五> 可知: (4)正 确. 故(2) (4)正确. 【答案】 (2) ( 4)

【典例九十九】用 m 、 n 是两条不同的直线, ? 表示平面,则下列命题正确的是(



A.若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? C.若 m ? n , n ? ? ,则 m ? ?
【答案】 D

B.若 m ∥ ? , n ? ? ,则 m ∥ n D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n

【解析】由“神级结论二”之<四> 可知: D 正确. 故选 D .

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【典例一百】已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,下列命题 中错误的是( )

A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? B.若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ? ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ∥ ? D.若 m 、 n 是异面直线, m ? ? , m ∥ ? , n ? ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ?
【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: C 错误. 故选 C . 注意看清题目,是选错误的. 注意: B 选项并非是“五当”所适用的范畴,因为“五当”是主要用来解决“线与面混合 类型的命题的真假判定” , “单纯线的平行”或者“单纯面的平行”则不一定适用,因为太 简单,高考基本不会考察,了解一下 B 选项是正确的即可. 而 D 选项是超过了四个条件, 注意:四个以上条件的命题是必对的. 故 D 选项也是正确的. 【答案】 C

【典例一百零一】下列四个条件: ①x 、 y 、 z 均为直线;②x 、 y 是直线, z 是平面;③x 是直线, y 、 z 是平面; ④x 、 y 、 z 均为平面. 其中,能使命题“ x ? y , y ∥ z ? x ? z ”成立的有( )

A. 1 个 C. 3 个

B. 2 个 D. 4 个

【解析】由“神级结论二”之<四> 可知:①正确;由“神级结论二”之<二> 可知:②错误; 由“神级结论二”之<二 > 可知:③正确;由“神级结论二”之<四> 可知:④正确. 故①③④正确. 【答案】 C 此题与【典例八十八】性质相同.

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【典例一百零二】已知 ? 、 ? 是两个不同的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,则下列命 题中正确的是( )

A.若 m ∥ ? , a ? ? ? n ,则 m ∥ n B.若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? C.若 m ? ? , n ? ? ,? ? ? ,则 m ? n D.若 ? ? ? , a ? ? ? n , m ? n ,则 m ? ?
【解析】由“神级结论二”之<五> 可知: C 正确. 故选 C . 【答案】 C

【典例一百零三】设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题不 正确的是( )

A.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 n ∥ ? B.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ ? 或 m ? ? C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则? ? ? D.若 m ∥ ? ,? ? ? ,则 m ? ?
【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: D 错误. 故选 D . 注意看清题目,是选错误的. 【答案】 D

【典例一百零四】已知 m 、 n 、 l 为三条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列 命题中正确的是( )

A. ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ? m ∥ n B. l ? ? , ? ? ? ? l ∥ ? C. m ? ? , m ? n ? n ∥ ? D. ? ∥ ? , l ? ? ? l ? ?
【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: D 正确. 故选 D . 【答案】 D

程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

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【典例一百零五】设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题错 误的是( )

A.若 a ? ? , b ∥ ? ,则 a ? b B.若 a ? ? , b ∥ ? , b ? ? ,则? ? ? C.若 a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b D.若 a ∥ ? , a ∥ ? ,则 ? ∥ ?
【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: D 错误. 故选 D . 注意看清题目,是选错误的. 【答案】 D

【典例一百零六】设 l 是直线, ? 、 ? 是两个不同的平面, (



A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?

B.若 l ∥ ? , l ? ? ,则? ? ? D.若 ? ? ? , l ∥ ? ,则 l ? ?

【解析】由“神级结论二”之<四> 可知: B 正确. 故选 B . 【答案】 B

【典例一百零七】 设 l 、m 是两条不同的直线,? 是一个平面, 则下列命题正确的是 (



A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l ∥ ? , m ? ? ,则 l ∥ m
【答案】 B

B.若 l ? ? , l ∥ m ,则 m ? ? D.若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m

【解析】由“神级结论二”之<二> 可知: B 正确. 故选 B .

【典例一百零八】用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列命题: ① 若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;② 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ; ③ 若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ;④ 若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b . 其中真命题的序号是( ② A.① ④ C .① ) ③ B.② ④ D.③ 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。
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【解析】由初中学的“平行公理”可知:①正确,和“五当”没关系;由“神级结论二” 之<四> 可知:②错误;由“神级结论二”之<三> 可知:③错误;由“神级结论二”之<三> 可知:④正确. 故①④正确. 【答案】 C

【典例一百零九】已知 m 、 n 是两条不同直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同平面.下列命题中 正确的是( )

A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ?

B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

【解析】由“神级结论二”之<三> 可知: D 正确. 故选 D . 【答案】 D

【典例一百一十】已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题:

? ? ? ? l ∥ m ;③l ∥ m ? ? ? ? . ①? ∥ ? ? l ? m ;②
则真命题的个数为( )

A. 0 C. 2

B. 1 D. 3

【解析】由“神级结论二”之<五> 可知:①③正确;由“神级结论二”之<三> 可知:②错 误. 【答案】 C

【典例一百一十一】设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个 命题: ① 若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b ∥ ? ; ② 若 a ∥ ? , a ? ? ,则 ? ? ? ; ③ 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a ∥ ? 或 a ? ? ; ④ 若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? . 其中正确命题的个数是___________________. 【解析】由“神级结论二”之<一> 可知:①正确;由“神级结论二”之<四> 可知:②正确; 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。
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由“神级结论二”之<一 > 可知:③正确;由“神级结论二”之<五> 可知:④正确. 故①②③④全部正确. 【答案】①②③④

【典例一百一十二】直线 m 、 n 均不在平面 ? 、 ? 内,给出下列命题: ①若 m ∥ n , n ∥ ? ,则 m ∥ ? ; ②若 m ∥ ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ ? ; ③若 m ? n , n ? ? ,则 m ∥ ? ; ④若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ ? . 其中正确命题的个数是( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4
故选 D . 爽!

【解析】由“神级结论二”之<一> 可知:①②③④全部正确. 【答案】 D

【典例一百一十三】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 体的棱长为________. 【解析】球的体积为

9? ,则正方 2

9? 4 3 ? ? R 3 ,解得 R ? ,故由“神级结论三”之<五> 可知: 2 3 2

R?

1 2 a 2 ? b2 3 h ? ? ,而正方体的 h 、 a 、 b 均相等,即可解得 h ? a ? b ? 3 . 4 4 2

【答案】 3

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【典例一百一十四】在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直, ?ABC 、

?ACD 、 ?ADB 的面积分别为
( )

2 、 3 、 6 ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的体积为 2 2 2

A. 6? C. 3 6?

B. 2 6? D. 4 6?
2 、 3 、 6 可很 2 2 2

【解析】由三个侧面直角三角形 ?ABC 、 ?ACD 、 ?ADB 的面积:

快得出三条侧棱长分别为: 1 、 2 、 3 ,故由“神级结论三”之<五> 可知:

R?

1 2 a ?b 1 2 h ? ? ?1? 4 4 4
2 2
3

? 2 ? ? ? 3? ?
2

2

4

?

6 , 2

4 4 ? 6? 故: V ? ? R 3 ? ? ? . 故选 A . ? ? ? 6? 3 3 ? ? 2 ?
【答案】 A

【典例一百一十五】半径为 2 的球面上有 A 、 B 、 C 、 D 四点,且 AB 、 AC 、 AD 两 两垂直,则三个三角形面积之和 S?ABC ? S?ACD ? S?ADB 的最大值为( )

A. 4 C. 16

B. 8 D. 32

【解析】三条侧棱长分别为:h 、a 、b , 故三个侧面直角三角形 ?ABC 、 ?ACD 、?ADB 的面积分别为:

1 1 1 ab 、 ah 、 bh ,而由“神级结论三”之< 五> 可知: 2 2 2

R?2?

1 2 a 2 ? b2 h ? ,即得: h2 ? a2 ? b2 ? 16 . 故由基本不等式可得: 4 4

1 1 1 1 ? a 2 ? b2 a 2 ? h2 b2 ? h2 ? 1 2 2 2 ab ? ah ? bh ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? h ? ? 8 .故选 B . 2 2 2 2? 2 2 2 ? 2
【答案】 B

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【典例一百一十六】 在三棱锥 S ? ABC 中, 侧棱 SC ? 平面 SAB ,SA ? BC , 侧面 ?SAB ,

3 ?SBC , ?SAC 的面积分别为 1 , , 3 ,则此三棱锥的外接球的表面积为( 2



A. 14? C.

B. D.
3 2

?
4 2? 3

?
3

【解析】由三个侧面直角三角形的面积:1 、 、 3 可很快得出三条侧棱长分别为:1 、2 、

3 ,故由“神级结论三”之<五 > 可知:
? 14 ? 1 2 a 2 ? b2 1 2 ? 2 ? ? ? 3? 14 R? h ? ? ? , 故:S ? 4? R 2 ? 4? ? . ?1? ? ? 2 ? ? ? 14? 4 4 4 4 2 ? ?
2 2
2

故选 A .

此题与【典例一百一十四】性质相同.

【答案】 A

【典例一百一十七】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA ? 平面

ABC , SA ? 2 3 , AB ? 1 , AC ? 2 , ?BAC ? 600 ,则球 O 的表面积为(



A. 4? C. 16?
【解析】故由“神级结论三”之<四> 可知:

B. 12? D. 64?

R?

2 1 2 1 2 h ? a2 ? 2 3 ? 12 ? 2 ,故: S ? 4? R 2 ? 4? ? 2 ? ? 16? . 故选 C . 4 4

?

?

【答案】 C

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【典例一百一十八】设三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱垂直于底面, AB ? AC ? 2 , 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上, 则该球的表面积是 ( ?BAC ? 900 ,AA? ? 2 , )

A. 4? C. 16?
【解析】故由“神级结论三”之<五> 可知:

B. 8? D. 12?

? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 ,故: S ? 4? R 2 ? 4? 1 2 a 2 ? b2 1 2 R? h ? ? ? 2? ? 4 4 4 4
2 2

? 3?

2

? 12? .

故选 D . 【答案】 D

【典例一百一十九】已知直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若

AB ? 3 , AC ? 4 , AB ? AC , AA 1 ? 12 ,则球 O 的半径为(



A. C.

3 17 2
13 2

B. 2 10 D. 3 10

【解析】故由“神级结论三”之<五> 可知:

? 3? ? ? 4 ? ? 169 ? 13 1 2 a 2 ? b2 1 2 R? h ? ? ,故选 C . ?12 ? ? 4 4 4 4 4 2
2 2

【答案】 C

【典例一百二十】已知点 P 、 A 、 B 、 C 、 D 是球 O 表面上的点, PA ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形.若 PA ? 2 6 ,则 ?OAB 的面积为___________. 【解析】故由“神级结论三”之<五> 可知:

R?

1 2 a ?b 1 h ? ? 2 6 4 4 4
2 2

?

?

2

?2 3? ? ?2 3? ?
2

2

4

?2 3,
3 2 3 4

故: ?OAB 是边长为 2 3 的等边三角形,故其面积为: 【答案】 3 3

?

?

2

?3 3.

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【典例一百二十一】已知三棱锥 O ? ABC , ?BOC ? 900 , OA ? 平面 BOC ,其中

AB ? 10 , BC ? 13 , AC ? 5 , O 、 A 、 B 、 C 四点均在球 S 的表面上,则球 S
的表面积为________. 【解析】注意:此题容易看错,比较坑爹。 O 点并不是球心,球心是 S ,此题依然是一个 标准的“外接球”的运算问题.
0 而且此题条件比较隐晦, “ ?BOC ? 90 ,OA ? 平面 BOC ” 实际上是告诉你: “侧棱 OA 、

,由 AB ? 10 , BC ? 13 , AC ? 5 以及勾股定理可以得出: OB 、 OC 两两垂直”

OA2 ? OB 2 ? OC 2 ?

10 ? 13 ? 5 ? 14 . 2
2

故由“神级结论三”之<五 > 可知:

? 14 ? 1 2 a 2 ? b2 14 14 R? h ? ? ? ,故: S ? 4? R 2 ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 14? 4 4 4 2 ? ?
【答案】 14?

【典例一百二十二】 已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 是边长为 1 的正三角形, 且 SA ? 面

ABC , SA ? 2 ,则该三棱锥的外接球的体积为__________.
【解析】故由“神级结论三”之<一> 可知:

? 4 ? 32 3? 1 2 1 2 1 2 1 2 4 R? h ? a ? . ? 2 ? ? ?1? ? ,故: V ? 4 ? R3 ? 4 ? ? ? ? ? 27 4 3 4 3 3 3 3 ? ? 3?
【答案】

3

32 3? 27

【典例一百二十三】点 A 、 B 、C 、 D 均在同一球面上, 其中 ?ABC 是正三角形, AD ? 平面 ABC , AD ? 2 AB ? 6 ,则该球的体积为_________. 【解析】故由“神级结论三”之<一> 可知:

R?

1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 h ? a ? ? 6 ? ? ? 3? ? 2 3 ,故: V ? ? R3 ? ? 2 3 4 3 4 3 3 3

?

?

3

? 32 3? .

【答案】 32 3?

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【典例一百二十四】四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 4 , BC ? AC ? AD ? BD ? 5 ,则 此四面体外接球的表面积为_________. 【解析】此题为“对棱两两相等的三棱锥的外接球” : 故由“神级结论三”之<五 > 可知:

4 2 ? 52 ? 52 ? 33 . 2
2

? 33 ? 1 2 a 2 ? b2 33 R? h ? ? ,故: S ? 4? R 2 ? 4? ? . ? 4 ? ? ? 33? 4 4 4 ? ?
【答案】 33?

【典例一百二十五】已知正三棱锥 P ? ABC ,点 P 、 A 、 B 、 C 都在半径为 3 的球面 上,若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为____________. 【解析】首先:由“侧棱两两垂直” :故由“神级结论三”之<五> 可知:

1 2 a 2 ? b2 R? h ? ? 3 ,即可得: h2 ? a2 ? b2 ? 12 . 4 4
其中 h 、 a 、 b 为三条侧棱长,且 h ? a ? b ,故 a ? 2 . 故由勾股定理得:三棱锥的底面边长 a? ? 2 2 .① 其次:由: “正三棱锥” : 故由“神级结论三”之<六> 可知: R ?

a?2 ? 3h?2 ? 3 6h?



其中 a? 表示底面边长, h? 表示高 --也就是点 P 到底面 ABC 的距离(之所以都加个’,是为 了和前面的 a 、 h 区分开来,以免搞混) ,①代入②即可得: 3h? ? 6 3h? ? 8 ? 0 ,
2

即得: h? ?

2 3 . 3

“球心到截面 ABC 的距离”其实就是: “球的半径”减去“点 P 到底面 ABC 的距离” , 即: R ? h? . 故: R ? h? ? 3 ?

2 3 3 ? . 3 3

【答案】

3 3

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【典例一百二十六】一个四棱锥的底面是正方形,其顶点在底面的射影为正方形的中心.已 知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上,且该四棱锥的高为 3 ,体积为 6 ,则这个球的表 面积是( )

A. 10? C. 12?
【解析】此题为“正四棱锥”的外接球问题.

B. 16? D. 18?

该四棱锥的高为 3 ,体积为 6 ,可以得到底面边长 a ? 6 .

a 2 ? 2h 2 故由“神级结论三”之<七 > 可知: R ? ? 4h
2 故: S ? 4? R ? 4? ? 2 ? ? 16? . 2

? 6?

2

? 2 ? 3?

2

4?3

?2.

【答案】 B

【典例一百二十七】球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱各侧面均相切,则球 O 的表面积为 ________. 【解析】此题为“正三棱柱”的内切球问题. “正三棱柱”的内切球半径: r ?

3 a .( a 为底面边长). 6
2

? 3? 3 3 3 a? ?3 ? 故: r ? .故: S ? 4? r 2 ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 3? 6 6 2 ? ?
【答案】 3?

【典例一百二十八】 已知 A 、B 、C 是球 O 的球面上三点, 三棱锥 O ? ABC 的高为 2 2 , 且 ?ABC ? 600 , AB ? 2 , BC ? 4 ,则球 O 的表面积为( )

A. 24? C. 48?

B. 32? D. 192?

【解析】注意:此题并非是“外接球”问题,而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 故由“神级结论三”之<四> 的“小弟”可知: R? ? 故: S ? 4? R? ? 4? 2 3
2

h2 ? a 2 ?

?2 2 ?

2

? ? 2? ? 2 3 .
2

?

?

2

? 48? .

【答案】 C

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【典例一百二十九】已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 球心, OA 为半径的球的表面积为_________.

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为 2

【解析】注意:此题并非是“外接球”问题,而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 由“正四棱锥 O ? ABCD 的体积为

3 2 3 2 ,底面边长为 3 ”即得: h ? . 2 2

故由“神级结论三”之<五 >的“小弟”可知:

?3 2 ? a 2 ? b2 R? ? h2 ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 ? ?
故: S ? 4? R? ? 4?
2

2

? 3? ? ? 3?
2

2

4

? 6.

? 6?

2

? 24? .

【答案】 24?

【典例一百三十】点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? 若四面体 ABCD 体积的最大值为

2 , AC ? 2 ,

2 ,则这个球的表面积为( 3



A. C.

125? 6 25? 4

B. 8? D.
25? 16

【解析】此题理解难度较大。属于“明修栈道,暗度陈仓”. 四面体 ABCD 体积的最大值为

2 ,且底面积 ABC 已知为 1 ,即:高的最大值为 2 . 3

当底面固定时,四面体 ABCD 的高经过球心时为最大!此时的高正好是“球半径”与“球 心到底面 ABC 的距离” 之和.即最大高 2 ? R ? d , 其中 d 是 “球心 O 到底面 ABC 的距离” , 可以看作是新的三棱锥 O ? ABC 的高,故对于新三棱锥 O ? ABC 而言,球 O 不是“外接 球” ,而是“外面的球” !即“以球心为顶点”. 故由“神级结论三”之<二 >的“小弟”可知: R ?

1 d 2 ? a2 ? 2

?2 ? R?

2

?

1 2

? 2?

2

.

即解得: R ? 【答案】 C

5 . 4

故: S ? 4? R ? 4? ?
2

25? ?5? . ? ? 4 ?4?

2

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【典例一百三十一】长方体的长、宽、高分别为 2cm 、 2cm 、 3cm ,若该长方体的各顶 点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为( )

A. 7? cm 2 C. 17? cm 2
【解析】由“神级结论三”之<五> 可知:

B. 14? cm 2 D. 56? cm 2

1 2 a 2 ? b2 1 2 ? 2 ? ? ? 3? 17 R? h ? ? ? . ? 2? ? 4 4 4 4 2
2 2

? 17 ? 故: S ? 4? R ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 17? ? ?
2

2

【答案】 C

【典例一百三十二】 已知三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱两两垂直, 且 SA ? 2 ,SB ? SC ? 4 , 则该三棱锥的外接球的半径为( )

A. 3 C. 36

B. 6 D. 9
2 2

? 4? ? ? 4? ? 3 1 2 a 2 ? b2 1 2 h ? ? 【解析】 由 “神级结论三” 之<五> 可知: R ? . ? 2? ? 4 4 4 4
【答案】 A

【典例一百三十三】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA ? 平面

ABC , SA ? 2 3 , AB ? 1 , AC ? 2 , ?BAC ? 600 ,则球 O 的表面积为(



A. 4? C. 16?
【解析】由“神级结论三”之<四> 可知: R ?
2 故: S ? 4? R ? 4? ? 2 ? ? 16? . 2

B. 12? D. 64?
2 1 2 1 h ? a2 ? 2 3 ? 12 ? 2 . 4 4

?

?

【答案】 C

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【典例一百三十四】点 A 、 B 、C 、 D 均在同一球面上, 其中 ?ABC 是正三角形, AD ? 平面 ABC , AD ? 6 , AB ? 3 ,则该球的体积为( )

A. 32 3? C. 64 3?
【解析】由“神级结论三”之<一> 可知: R ? 故: V ?

B. 48? D. 16 3?

1 2 1 2 1 2 1 2 h ? a ? ? 6 ? ? ? 3? ? 2 3 . 4 3 4 3

4 4 ? R3 ? ? 2 3 3 3

?

?

3

? 32 3? .

【答案】 A

【典例一百三十五】已知正三棱锥 P ? ABC ,点 P 、 A 、 B 、 C 都在半径为 3 的球面 上,若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,则正三棱锥 P ? ABC 的高为( )

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D. 2 3

【解析】首先:由“侧棱两两垂直” :故由“神级结论三”之<五> 可知:

R?

1 2 a 2 ? b2 h ? ? 3 ,即可得: h2 ? a2 ? b2 ? 12 . 4 4

其中 h 、 a 、 b 为三条侧棱长,且 h ? a ? b ,故 a ? 2 . 故由勾股定理得:底面边长 a? ? 2 2 .① 其次:由: “正三棱锥” : 故由“神级结论三”之<六> 可知: R ?

a?2 ? 3h?2 ? 3 6h?



其中 a? 表示底面边长, h? 表示高 --也就是点 P 到底面 ABC 的距离(之所以都加个’,是为 了和前面的 a 、 h 区分开来,以免搞混) ,①代入②即可得: 3h? ? 6 3h? ? 8 ? 0 ,
2

即得: h? ? 【答案】 B

2 3 . 3

此题与【典例一百二十五】过程相同.

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【典例一百三十六】已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2 ,则这个四棱锥的外接球 的表面积为( )

A. 12? C. 72?

B. 36? D. 108?

【解析】由“正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2 ”可得:高为 3 .

a ? 2h 故由“神级结论三”之<七 > 可知: R ? 4h
2
2 故: S ? 4? R ? 4? ? 3? ? 36? . 2

2

?3 2 ? ?

2

? 2 ? 3?

2

4?3

?3.

【答案】 B

【典例一百三十七】 正四棱锥 V ? ABCD 的五个顶点在同一个球面上, 若其底面边长为 4 , 侧棱长为 2 6 ,则此球的表面积为( )

A. 18? C. 72?

B. 36? D. 9?

【解析】由“正四棱锥的底面边长为 4 ,侧棱长为 2 6 ”可得:高为 4 .

a 2 ? 2h 2 ? 4 ? ? 2 ? 4 ? ? ?3. 故由“神级结论三”之<七 > 可知: R ? 4h 4? 4
2 2
2 故: S ? 4? R ? 4? ? 3? ? 36? . 2

【答案】 B

【典例一百三十八】已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为

4? 的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是( 3



A. 6 3 C. 18 3
【解析】此题为“正三棱柱”的内切球问题. 由“球体积为

B. 12 3 D. 24 3

4? ”可得: r ? 1 . 3
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“正三棱柱”的内切球半径: r ? 故: r ?

3 a .( a 为底面边长). 6

3 a ? 1 .故: a ? 2 3 .且三棱柱的高 h ? 2r ? 2 . 6 3 2 3 4

故:表面积 S ? 2 ? 【答案】 C

?

?

2

? 6 3 ? 2 ? 18 3 .

【典例一百三十九】已知正方体的外接球的体积是

4? ,则这个正方体的棱长是( 3



A. C.

2 3 2 2 3

B. D.
4? ”可得: R ? 1 . 3

3 3 2 3 3

【解析】由“外接球的体积是

由“神级结论三”之<五 > 可知: R ?

1 2 a 2 ? b2 h ? ? 1 .且正方体: h ? a ? b . 4 4

故: a ?

2 3 . 3

【答案】 D

【典例一百四十】设一个球的表面积为 S1 ,它的内接正方体的表面积为 S2 ,则 等于( )

S1 的值 S2

A. C.

2

? ?
6

B. D.

6

? ?
2

【解析】由“神级结论三”之<五> 可知:

R?

1 2 a 2 ? b2 3 h ? a. .且正方体: h ? a ? b . 故: R ? 4 4 2

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? 3 ? S 3? a 2 ? 2 故: S1 ? 4? R ? 4? ? .而 S2 ? 6a2 ,故: 1 ? ? . a ? 3 ? a ? ? 2 ? S2 6a 2 2 ? ?
2

2

【答案】 D

【典例一百四十一】一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? , 则该正方体的表面积为___________. 【解析】由“外接球的体积是 4 3? ”可得: R ? 3 . 由“神级结论三”之<五 > 可知: R ?

1 2 a 2 ? b2 h ? ? 3 .且正方体: h ? a ? b . 4 4
2

2 故: a ? 2 . 故:正方体的表面积 S ? 6a ? 6 ? 2 ? ? 24 .

【答案】 24

【典例一百四十二】在三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,已知 AA? ? 平面 ABC , AA? ? 2 ,

BC ? 2 3 ,?BAC ?
A. C.
32? 3 25? 3

?
2

, 且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上, 则球的体积为 (



B. 16? D.
31? 2

【解析】由“神级结论三”之<五> 可知:

R?

1 2 a ?b 1 2 h ? ? ? 2? 4 4 4
2 2

?2 3? ?
4

2

? 2.

故: V ?

4 4 32? 3 ? R3 ? ? ? 2 ? ? . 3 3 3

【答案】 A

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【典例一百四十三】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上, AB ? 6 ,

BC ? 2 3 ,四棱锥 O ? ABCD 的体积为 8 3 ,则球 O 的表面积为(
A. 8? C. 32? B. 16? D. 64?



【解析】注意:此题并非是“外接球”问题,而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 由“体积为 8 3 、 AB ? 6 、 BC ? 2 3 ”可得: O ? ABCD 的高 h? ? 2 . 故由“神级结论三”之<五 >的“小弟”可知:

a 2 ? b2 2 ? 故: R? ? h ? 4
2

? 2?

2

?

? 6?

2

? 2 3 4

?

?

2

? 4.

2 故: S ? 4? R? ? 4? ? 4 ? ? 64? .

【答案】 D

【典例一百四十四】已知正方形 APP 1 2P 3 的边长为 2 ,点 B 、 C 分别为边 PP 1 2 、P 2P 3 的中 点,沿 AB 、 BC 、 CA 折叠成一个三棱锥 P ? ABC (使 P ,则 1、P 2 、P 3 重合于点 P ) 三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为( )

A. C.

6? 4 6? 2

B.

6? 3

D. 6?

【解析】折叠成的新三棱锥 P ? ABC 其实就是“侧棱两两垂直的三棱锥” ,且“三条侧棱 长分别为 2 、 1 、 1 ” (自己稍微想象一下就 OK 了). 由“神级结论三”之<五 > 可知: R ?

1 2 a 2 ? b2 1 12 ? 12 6 2 h ? ? ? . ? 2? ? 4 4 4 4 2

4 4 ? 6? 3 故: V ? ? R ? ? ? ? ? ? 6? . 3 3 ? ? 2 ?
【答案】 D

3

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