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高三数学复习函数知识点


函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射 (1)映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射,记作 f:A→B。 注意点: (1)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 1、下列各对函数中,相同的是 A、 f ( x ) ? x , g ( x ) ? x C、 f (u ) ?
2 6 1 3





B、 f ( x ) ?

?1, x ? 0 , g ( x) ? ? x ??1, x ? 0 x

2、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)指数函数的底数必须大于零且不等于 1;

1.函数 y ?

x2 ? 3x ? 4 的定义域为

2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

x- 1 的定义域是 ) [-1,3],求f( ) x 的定义域 (2) 已知f( 2
1

例 2 设 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ,则 f (2x ) 的定义域为__________

1

变式练习: f (2 ? x) ?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

三、函数的值域
1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出 y 的取值范围;适合分母为二次且 x ∈R 的分式; ④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对勾函数 ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1. (直接法) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2. f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x 2

3. (换元法) y ? ? x ? 2x ? 1

4. (Δ 法) y ?

3x x ?4
2

5. y ?

x2 ?1 x2 ?1

6. (分离常数法) ① y ?

x x ?1

②y?

3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 2x ?1

2

7. (单调性) y ? x ?

3 ( x ? [?1,3]) 2x

8.① y ?

1 ,② y ? x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1

(结合分子/分母有理化的数学方法)

9.(图象法) y ? 3 ? 2 x ? x2 (?1 ? x ? 2)

10.(对勾函数) y ? 2 x ?

8 ( x ? 4) x

11. (几何意义) y ? x ? 2 ? x ?1

四.函数的奇偶性
1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 ③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称] 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系 1 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

.

3

?2 x ? b 2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数。 2 ?a
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

3 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( 证明: f ( x) 在(-1,1)上为奇函数;

x? y ), 1 ? xy

4 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x) 与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 1 判断函数 f ( x) ? ? x ( x ? R) 的单调性。
3

4

?1? 2 函数 y ? ? ? ?2?

(6 ? x ? 2 x 2 )

的单调增区间是________

3( 高 考 真 题 ) 已 知 f ( x) ? ? ( )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 ax , x ? 1 ?
(C) [ , )

(A) (0,1)

(B) (0, )

1 3

1 1 6 3

(D) [ ,1)

1 6

六.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
2 1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ? b ,顶点坐标 (? b , 4ac ? b )

2a

2a

4a

2.二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) y ? 0 的 x 的取值。 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集(a>0) 二次函数 Y=ax2+bx+c (a>0) △情况
2

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)

△=b -4ac

2

△>0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

?x x

1

? x ? x2 ?

图 象 与 解

△=0

?x x ? x ?
0

?

△<0

R

?

2 1、已知函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 [?2,??) 上是增函数,则 f (1) 的范围是(



(A) f (1) ? 25

(B) f (1) ? 25

(C) f (1) ? 25

(D) f (1) ? 25

5

2、方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

九.指数式
1.幂的有关概念 (1)零指数幂 a 0 ? 1 (a ? 0) (2)负整数指数幂 a
?n

?

1 a ? 0, n ? N ? ? n ? a

(3)正分数指数幂 a n ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (5)负分数指数幂 a
m ?n

m

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? ? 2 ? ? a r ?
3.根式

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? 3?? ab ?
?a ?? a

r

? a rbr ? a ? 0 b , ? 0 r ,? Q ?

根式的性质:当 n 是奇数,则 n a n ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ?

a?0 a?0

(1)

1 ? ( ) 2? 4

1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) (a b )
?2 3 1 ?3 2

十.指数函数
名称 一般形式 定义域 值域 过定点 y=a (a>1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x

指数函数 y=ax(0<a<1)

图象

单调性 值分布

在(-∞,+ ∞)上为增函数 X<0 时 0<y<1,x>0 时,y>1,x=0,y=1

在(-∞,+ ∞)上为减函数 X<0 时 y>1,x>0 时,0<y<1,x=0,y=1
6

2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相 同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

2、 研究指数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题 的重要途径。

1、 (1) y ? 2 x ? 2 ? (2) y ? 2
x

1 的定义域为_______; 5 ? 3x

1 x ?3
2

的值域为_________;
? x)

(3) y ? 2( ? x

的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _
x

?1? ?1? 2、 (1) ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ,则 x ? ________ ? 4? ? 2? 3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

十.函数的图象变换 (1) 1、平移变换: (左+ 右- ,上+ 下- )即

? 0 ,右移; h ? 0 ,左移 y ? f ( x) ?h ? ??? ?? y ? f ( x ? h) ? 0 ,下移; k ? 0 ,上移 y ? f ( x) ?k ? ??? ?? y ? f ( x) ? k

① 对称变换: (对称谁,谁不变,对称原点都要变)
x轴 y ? f ( x ) ??? y ? ? f ( x) y轴 y ? f ( x ) ??? y ? f (? x)

y ? f ( x ) ?原点 ? ?? y ? ? f ( ? x)
y?x y ? f ( x ) ??? ? y ? f ?1

( x)

y轴右边不变,左边为右 边部分的对称图 y ? f ( x ) ?? ???????? ?? y ? f ( x ) x轴上方图,将 x轴下方图上翻 y ? f ( x ) ?保留 ?? ?????? ?? y ? f ( x)

1.f(x)的图象过点(0,1),则 f(4-x)的图象过点( A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1)



D.(1,4)

2.作出下列函数的简图:
7

(1)y= x2 ? 3 x ? 4 ;

(2)y=|2x-1|;

(3)y=2|x|;

十.函数的其他性质

1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

单调递增

单调递减

2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明:
f ( x) ? f (? x) ? 0 奇函数 f ( x) ? f (? x) ? 0 偶函数

3.抽象函数的模型: (1) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? y ? kx (2) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? y ? a x

8


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