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全国通用2017届高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件课件理


高考理数
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

知识清单
1.四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若p,则q 若q,则p 若? p,则? q 若? q,则? p

(2)四种命题间的关系

?
(3)四种命题的真假关系 a.两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; . b.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系 2.充分条件与必要条件 (1)如果p?q,则p是q的 充分条件 ,q是p的 . 必要条件 . (2)如果p?q,q?p,则p是q的 充条件

(3)从集合角度理解 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要 条件又可叙述为: a.若A?B,则p是q的 充分 条件; 条件; 条件.

b.若A?B,则p是q的 必要 c.若A=B,则p是q的 3.特别注意 充要

①命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论;而命题的否定只否定命题的结论(条件 不变). ②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p?q,

且q?r”?“p?r”或“p?q,且q?r”?“p?r”.判断充分条件、必要条件的主要依据是定
义,对于能推出的关系要能证明;对于不能推出的关系,可举反例验证.

【知识拓展】 常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
否定词语

等于(=)
不等于(≠)

大于(>)
不大于(≤)

小于(<)
不小于(≥)


不是

正面词语
否定词语

都是
不都是

任意的
某个

所有的
某些

正面词语 否定词语

至多有一个 至少有两个

至少有一个 一个也没有

至多有n个 至少有n+1个

突破方法
方法1 命题真假的判定
1.直接法:利用相关知识直接判断命题的真假. 2.间接法:(1)不正确的命题可通过举反例加以说明;(2)利用原命题与其逆否命题的真假一致性 间接判断原命题的真假;(3)利用充要条件与集合关系判断命题的真假. 例1 (2015四川成都一模,2,5分)下列有关命题的说法正确的是?( A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1” )

B.“x>2”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件
C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题 D.命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定为“?x∈R,均有x2+x+1<0” 解析 A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错误. B.由x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,则“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故B错误. C.命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,则根据原命题与其逆否命题的等价性可知命题“若x= y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题,故C正确.

D.命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定为“?x∈R,均有x2+x+1≥0”,故D错误. 答案 C
? ,则tan α=1”的逆否命题是?( 1-1 (2016云南昆明二模,4)命题“若α=?
4

)

? ,则tan α≠1 A.若α≠?
4

? B.若α= ?,则tan α≠1
4

? C.若tan α≠1,则α≠?

? D.若tan α≠1,则α= ?
4

答案 C

4

? , 解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题,即“若α=?

则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠? ? ”.
4

4

方法2
1.定义法: (1)若p?q,则p是q的充分条件; (2)若q?p,则p是q的必要条件;

充分条件与必要条件的判定

(3)若p?q且q?p,则p是q的充要条件;

(4)若p?q且q? / p,则p是q的充分不必要条件;
(5)若p? /q且q?p,则p是q的必要不充分条件; (6)若p? /q且q? /p,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.利用集合间的包含关系判断: 记条件p、q对应的集合分别是A、B,则 (1)若A?B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件; (2)若A?B,则p是q的充分不必要条件,或q是p的必要不充分条件; (3)若A=B,则 p是q的充要条件; (4)若A?B,且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件.

3.等价法:利用p?q与? q?? p,q?p与? p?? q,p?q与? q?? p的等价关系. 例2 (2015陕西宝鸡一模,3,5分)对任意实数a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的充要条件; ③“a<5”是“a<3”的必要条件; ④“a>b”是“a2>b2”的充要条件. 其中真命题的个数是?( A.4 B.3 C.2 D.1 )

解析 ①a=b?ac=bc;当c=0时,ac=bc?/ a=b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件;②当 b2=ac,且a,b,c中的某些数为0时,a,b,c不成等比数列;若a,b,c成等比数列,则有b2=ac,所以“b2=ac” 是“a,b,c成等比数列”的必要不充分条件;③是真命题;④若a=1,b=-2,则有a>b,但a2<b2,所以 “a>b”不是“a2>b2”的充分条件.所以真命题的个数是1,故选D. 答案 D 2-1 (2016贵州贵阳一模,2)已知a>0且a≠1,则“logab>0”是“(a-1)(b-1)>0”的?( )

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ? ? 解析 因为logab>0等价于? (a-1)· (b-1)>0等价于?或? ? 或?而? ?故选A. ?

0 ? b ? 1, ?0 ? a ? 1

b ? 1, ?a ? 1,

b ? 1, ?a ? 1

b ? 1, ?a ? 1,

2-2 (2016河北石家庄一模,9)若f(x)是R上的减函数,且f(0)=3, f(3)=-1,设P={x|-1<f(x+t)<3},Q={x|

f(x)<-1},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是?(
A.t≤0 答案 C B.t≥0 C.t≤-3 D.t≥-3

)

解析 由-1<f(x+t)<3,得f(3)<f(x+t)<f(0),又f(x)是R上的减函数,则有-t<x<3-t.同理,由f(x)<-1,得x>3. 所以P={x|-t<x<3-t},Q={x|x>3}.因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则P?Q,得-t≥3,即 t≤-3.


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