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三视图和直观图、表面积和体积


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三视图和直观图、表面积和体积 知识点 1:中心投影与平行投影 (1) 投影、投影线和投影面:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫 做投影。其中的光线叫做投影线,屏幕叫做投影面。 (2) 中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点,它实质是一个 电光源把一个图形射到一个平面上,这个图形的影子就是他在这个平面上的中心投影。 (3) 中心投影的性质:<1>投影线交于一点。<2>点光源物体越近,投影形成的影子越大。 (4) 平行投影:我们把一束平行光线照射下形成的投影叫平行投影,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则 叫斜投影。 知识点 2:常见几何体的三视图 (1) 圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆。 (2) 圆柱的正视图和侧视图都是三角形,俯视图是圆和圆心。 (3) 圆柱的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆。 (4) 球的三视图都是圆。 知识点 3:斜二测画法及步骤 画直观图的方法叫做斜二测画法,步骤是 (1)在已知图像中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,画出相应的 x′ 轴和 y′ 轴,两轴相交 于 O′,且使∠x′O′y′=45° 或 135° ,它们确定的平面表示水平面。 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线段。 (3)已知图形中平行于 x 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变成原来的一半。 知识点 4:表面积公式和体积公式

S圆柱侧 =2? rl
1 S正棱台侧 = (c ? c' )h' 2

S圆锥侧 =? rl

S圆台侧 =? (r1 ? r2 )l
1 S正棱锥侧 = ch' 2

立体几何证明大题 S直棱柱侧 =ch

V柱体 =Sh

1 V锥体 = Sh 3

1 V台体 = (S上 +S下 + S上 +S下)h 3

S球面 =4? R 2

4 V球 = ? R 3 3

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一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

).

2 3 3
2

D. 4? ? 2

2 3 3

2 2 侧(左)视图

2 正(主)视图

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 , 所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3
俯视图

所以该几何体的体积为 2? ? 答案:C

2 3 . 3

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为

1 。则该集合体的俯视图可以是 2

答案: C

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9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三 棱锥的主视图是( )

答案

B

二、填空题 13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为

m3

答案

4

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC

? 中,易得球半径 R ? 5 ,故此球的表面积为 外接圆半径 r=2, 设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ? OBO

4? R 2 ? 20 ?.
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19.若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

答案 2 一、选择题 3.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π

答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面 及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? .
3. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图 C. 2000cm
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3

D. 4000cm

3

答案 B

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8.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3

) C. 1∶3 3 D. 1∶9

答案

C

【解析】设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为

1 3 a ,它的外接球的半径为 a, 2 2

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C.

一、选择题 1.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(



1 3 a 6 2 3 C. a 3
A.

1 3 a 2 5 3 D. a 6
B.

答案 D 2. 如图,直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为( ) A.2a2 C. 3a
2

B.a2

a a

a

3 2 D. a 4

答案

C

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3. 如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图, 则组成此几何体的长方体木块块数共有( )

A.3 块 答案 B

B.4 块

C.5 块

D.6 块

5. 右图是一个多面体的三视图,则其全面积为( A. 3 C. 3 ? 6 答案 C B.

)

3 ?6 2

D. 3 ? 4

6. 如图所示,一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面 积为( )

A.Z 2?

B.

C. 4? D. 5? 答案 B 7. 用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右 图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A. 9 与 13 C. 10 与 16 答案 C B. 7 与 10 D. 10 与 15
主视图 俯视图

5? 2

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8. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是(

)

2 1 2 主视图 2 俯视图 左视图

A. (20 ? 4 2)cm2 C. (24 ? 4 2)cm2 答案 A

B.21 cm D. 24 cm

二、填空题 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图所示,则该几何体的侧面积为_______cm2. 5 5 5 5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图 答案 80

13.一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五 面体的体积为___________.

答案

2
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第 9 题. 如图所示的直观图,其平面图形的面积为( A. 3 B.



y

3 2 2

C. 6

D. 3 2 2 1

B ′

45°

A ′
2 3

O ′ 1

x

答案:C.

第 11 题. 如图中斜二测直观图所示的平面图形是( ) A.直角梯形 B.等腰梯形 C.不可能是梯形

D.平行四边形

y ′

A ′ B ′

D ′
C ′
x ′

O ′
答案:A.

第 28 题. 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 x? 轴,底角为 45? ,两腰和上底长均为1的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是 .

答案: 2 ? 2

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三视图和直观图、表面积和体积 知识点 1:中心投影与平行投影 (5) 投影、投影线和投影面:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫 做投影。其中的光线叫做投影线,屏幕叫做投影面。 (6) 中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点,它实质是一个 电光源把一个图形射到一个平面上,这个图形的影子就是他在这个平面上的中心投影。 (7) 中心投影的性质:<1>投影线交于一点。<2>点光源物体越近,投影形成的影子越大。 (8) 平行投影:我们把一束平行光线照射下形成的投影叫平行投影,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则 叫斜投影。 知识点 2:常见几何体的三视图 (5) 圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆。 (6) 圆柱的正视图和侧视图都是三角形,俯视图是圆和圆心。 (7) 圆柱的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆。 (8) 球的三视图都是圆。 知识点 3:斜二测画法及步骤 画直观图的方法叫做斜二测画法,步骤是 (1)在已知图像中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,画出相应的 x′ 轴和 y′ 轴,两轴相交 于 O′,且使∠x′O′y′=45° 或 135° ,它们确定的平面表示水平面。 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线段。 (3)已知图形中平行于 x 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变成原来的一半。 知识点 4:表面积公式和体积公式

S圆柱侧 =2? rl
1 S正棱台侧 = (c ? c' )h' 2

S圆锥侧 =? rl

S圆台侧 =? (r1 ? r2 )l
1 S正棱锥侧 = ch' 2

立体几何证明大题 S直棱柱侧 =ch

V柱体 =Sh

1 V锥体 = Sh 3

1 V台体 = (S上 +S下 + S上 +S下)h 3

S球面 =4? R 2

4 V球 = ? R 3 3

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一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

).

2 3 3
2

D. 4? ? 2

2 3 3

2 2 侧(左)视图

2 正(主)视图

俯视图

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为

1 。则该集合体的俯视图可以是 2

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9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三 棱锥的主视图是( )

二、填空题 13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为

m3

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



19.若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

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一、选择题 3.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π

3. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是(



10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图 C. 2000cm
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3

D. 4000cm

3

8.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3

) C. 1∶3 3 D. 1∶9

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一、选择题 1.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(



1 3 a 6 2 C. a 3 3
A.

1 3 a 2 5 D. a 3 6
B.

2. 如图,直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为( ) A.2a2 C. 3a
2

B.a2

a a

a

3 2 D. a 4

3. 如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图, 则组成此几何体的长方体木块块数共有( )

A.3 块

B.4 块

C.5 块

D.6 块

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5. 右图是一个多面体的三视图,则其全面积为( A. 3 C. 3 ? 6 B.

)

3 ?6 2

D. 3 ? 4

6. 如图所示,一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面 积为( )

A.Z 2? C. 4?

B.

D. 5?

5? 2

7. 用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右 图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A. 9 与 13 C. 10 与 16 B. 7 与 10 D. 10 与 15
主视图 俯视图

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8. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是(

)

2 1 2 主视图 2 俯视图 左视图

A. (20 ? 4 2)cm2 C. (24 ? 4 2)cm2

B.21 cm D. 24 cm

二、填空题 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图所示,则该几何体的侧面积为_______cm2. 5 5 5 5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图

13.一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五 面体的体积为___________.

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第 9 题. 如图所示的直观图,其平面图形的面积为( A. 3 B.



y

3 2 2

C. 6

D. 3 2 2 1

B ′

45°

A ′
2 3

O ′ 1

x

第 11 题. 如图中斜二测直观图所示的平面图形是( ) A.直角梯形 B.等腰梯形 C.不可能是梯形

D.平行四边形

y ′

A ′ B ′

D ′
C ′
x ′

O ′

第 28 题. 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 x? 轴,底角为 45? ,两腰和上底长均为1的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是 .

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立体几何 一.选择 07

08 7.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A, B, C 分别是 △ GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则该几何体按 图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 D F 图1 09 E F 图2 B A C B E A. B. B B B

E

D

E

E C.

E D.

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10

11

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条 数共有( A.20 ) B.15 C.12 D.10

9.图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为 A.6 B. 24 C.12 3 D.32
4 3

正视图

侧视图

俯视图 图2

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5.已知 p :直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直, q :直线 a 与平面 ? 垂直.则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

二.选择 13. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm 2 .

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三.大题

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立体几何 二.选择 07

08 7.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A, B, C 分别是 △ GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则该几何体按 图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 D F 图1 09 E F 图2 B A C B E A. B. B B B

E

D

E

E C.

E D.

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10

11

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条 数共有( A.20 ) B.15 C.12 D.10

9.图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为 A.6 B. 24 C.12 3 D.32
4 3

正视图

侧视图

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俯视图

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5.已知 p :直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直, q :直线 a 与平面 ? 垂直.则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

二.选择 13. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm 2 .

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四.大题

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