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椭圆标准方程教案设计[1]


椭圆及其标准方程 高青一中 樊立波

(说课稿)
各位专家、评委: 您好!今天我说课的内容是人教 A 版选修 2—1 第二章第二节“椭圆及其标 准方程” ,下面我从教材分析、学情分析、教法设计、教学过程、板书设计和教 学评价等六个方面向各位阐述我对本节课的构思与设想。 一、教材分析 1、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型,有许多几何性质,这些性质在日常生活、 生产和科学技术中有着广泛的应用。同时,圆锥曲线也是体现数形结合思想的重 要素材。 其中椭圆标准方程的推导对双曲线、抛物线方程具有直接的类比作用,为学 习双曲线、抛物线奠定了基础。因此本节课具有承上启下的作用,是本章的重点 内容。 2、教学内容与教材处理 椭圆及其标准方程共两课时,我所研究的是第一课时,涉及的数学方法有观 察、比较、归纳、猜想、推理、验证等,我将以课堂教学的组织者、引导者、合 作者的身份, 组织学生动手实验、 归纳猜想、 推理验证, 引导学生逐个突破难点, 自主完成所学问题。 3、教学目标 根据教学大纲,我将本节课的教学目标确定为: 知识目标 掌握椭圆的定义和标准方程; 学会运用椭圆的定义和标准方程的 知识解决有关问题。 能力目标 通过对定义的获取,培养学生的实验操作能力和观察能力,使学 生在探究学习的过程中,提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力。 情感目标 在民主、和谐的教学工作中,充分促进师生间的情感交流,激发 学生热爱数学,学好数学的信心,形成良好的思维习惯和锲而不舍的钻研精神。 4、重点难点 基于以上分析,我将本课的教学重点、难点确定为: ①重点:椭圆的定义和标准方程及其应用。 ②难点:椭圆标准方程的推导。 二、学情分析 1.能力分析 ①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力比较薄弱; 2.认知分析 学生已经掌握直线和圆的方程概念,对曲线方程的概念也有一定的了解; 3.情感分析
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学生具有积极的学习态度,强烈的探究欲望,并能主动参与研究. 三、教法设计 在教法上,主要采用探究式教学法和启发式教学法。以启发、引导为主,采 用步步设疑的形式,逐步让学生进行探究性的学习。

四、教学过程 1、 创设情景 提出课题
情景 1:你知道太阳系中九大行星和“嫦娥一号”卫星的运行轨道是什么形 状吗?你知道阳光下圆盘在地面上的影子是什么形状吗? 情境 2:请举出些生活中椭圆形物体的实例(展示一些椭圆形物体图片) 。 设计意图 通过这样的设计,创造一种良好的教学情境,以激发学生的学习 兴趣和浓厚的求知欲望,增强学生的感性认识,使学生保持一种最佳心理状态, 集中注意力,为顺利完成学习任务奠定基础。

2、探索观察 形成概念
实验一 让学生拿出课前准备好的一块硬纸板,一段细绳,两枚图钉,两 人一组按课本上的要求画图,思考并讨论以下问题: (1) 铅笔所画出的封闭曲线是什么图形?(椭圆) (2) 在绘制过程中,那些量是不变的,那些量是变化的?能不能把不变的 量用数学关系式表达出来?(绳长不变,图钉的位置不变,铅笔尖的 位置在变。 ) (3) 能否归纳出曲线上的点所满足的条件?(到两定点的距离之和为常 数。 ) 先让学生动手实验,然后用多媒体展示画图的过程,请小组代表汇报结果, 教师组织小组之间经过相互交流,补充,得出最后结论:椭圆上的点到两定点的 距离之和等于常数。 实验二 在绳长不变的情况下,改变图钉的距离,观察图形的变化,思考并 讨论以下问题: (1) 当图钉重合在一起时, 画出的图形是什么?若图钉间的距离逐渐增大, 图形如何变化?当距离等于绳长时, 画出的图形是什么?当距离大于绳 长时,能否画出图形? (2) 满足到两定点的距离之和为常数的点的轨迹一定是椭圆吗?尝试给出 椭圆定义。 先让学生动手实验,再用多媒体展示过程,学生经过细心观察,独立思考, 相互讨论,由小组代表汇报研究成果: (1) 改变图钉的距离,画出的是不同的椭圆,当重合时画出的图形是圆, 随着图钉间距离的增大,椭圆变得越来越扁,一直增大到等于绳长 时,图形变成线段,距离大于绳长,不能画出图形。 (2) 椭圆定义: 平面内到两定点 F1 、 2 的距离之和等于常数 (大于| F1F2 |) F

2

的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫 做椭圆的焦距。即 | PF1 |+| PF2 |=2a (2a>| F1F2 |)。当 2a=| F1F2 | 时,轨迹是线段 F1F2 。 对于定义,教师强调三点:①在平面内(这是大前提) ;②到两定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 2a;③2a>| F1F2 |. 在小组汇报结果的同时,教师及时评价更正,使学生能在教师的引导下,亲 身体验定义获取的全过程。 设计意图 这种设计,遵循了从生动直观到抽象概括的教学原则和教学途 径,采用小组合作的教学方法,以学生为主体,经过独立思考——小组讨论—— 互相补充——共同交流,教师要适时启发诱导——点拨释疑——激励评价,通过 生生,师生的多向交流,使学生能深刻理解概念的内涵和外延,同时培养学生的 观察能力和独立操作能力,以及归纳总结的逻辑思维能力。

3、合理建系 导出方程
(1)回顾圆的方程的建立过程,首先是做什么?(提问学生) (2)如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程?(学生回答) 在学生复习圆的方程建立过程的基础上, 让学生讨论思考如何选择适当的坐 标系来建立椭圆的方程,我想学生通过这些活动能够建立常见的坐标系,并列出 相应的代数方程。 (学生思考回答,师生共同比较选择)

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由于化简含两 x 轴,线段 F1 F2 的垂 个根式方程的方法 解 以两定点 F1、F2 所在直线为 特殊,难度较大,估 直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(如图) . 计学生容易想到直 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点, MF1+MF2=m, 1F2=n, 设 F 接平方,这时通过精 心设问来突破难点: (m >n>0) ①化简含有根号的 ? n ? ?n ? 则 F1 ? - ,? 、 F2 ? ,? . 0 0 式子时,我们通常有 ? 2 ? ?2 ? 什么方法?②对于 2 2 n? n? ? ? 2 2 本式是直接平方好 由 MF1+MF2=m 得 ? x ? ? ? y ? ? x ? ? ? y ? m 2? 2? ? ? 呢还是恰当整理后 移项后 2 2 再平方好呢?学生 n? n? ? ? 再平方 移项得 ? x ? ? ? y 2 ? m ? ? x ? ? ? y 2 通过实践,发现对于 2? 2? ? ? 这个方程,直接平方 平 方 得 不利于化简,而整理 2 2 2 n? n? n? ? ? ? 2 2 2 2 后平方化简比较简 ? x ? ? ? y ? m ? 2m ? x ? ? ? y ? ? x ? ? ? y 2? 2? 2? ? ? ? 单. 整理得
n? ? 2nx ? m ? ?2m ? x ? ? ? y 2 2? ?
2 2

n? ? 再平方得 ? 2n x- m ? ? 4m ? x ? ? ? 4m2 y 2 2? ? 2 2 2 2 2 再整理得 4 ? m - n ? x ? 4m y ? m 2 ? m 2 ? n 2 ?
2 2 2

2





4x2 4 y2 ? 2 ?1 m2 m ? n2

?1 2 2 2 ?m? ?m? ?n? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2? 令 m=2a,n=2c 即 MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程 化 简 可 得 2 2 x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c

x2

?

y2

在确定化简方 程的方法后,我选择 放手让学生化简,让 学生体验化简方程 的艰辛,经受锻炼, 尝试成功,提高学生 即 参与教学过程的积 极性。 为了让学生明 白设常数 2a、2c 的 合理性。我选择首先 设常数 m,n,然后以 2a,2c 替换,其目的 是让学生体会到设 x 2a,2c 的合理性。

y M

F1 O

F2

结合图形,找出方程中 a、c 对应的线段.

4

如图, 2 ? c,MF2 ? a, OF a 与 c 可以看成 Rt?MOF2 的斜 边和直角边. 那么 a 2 ? c 2 就是 另一直角边的平方, 因此我们 令 b 2 ? a 2 ? c 2 (b ? 0),
x2 y 2 则方程变为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b

y M a F1 O c F2 x

这 里 我 选 择 设

b =a2-c2 (b>0)其作 用是 首先美化方程:使方 程具有简洁美、对称 美、和谐美, 其次使 b 具有明显的 几何意义:原点与椭 圆和 y 轴的交点之间 的线段长。

2

由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面 这个方程;满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。 所以,这个方程就是所求得椭圆的方程. 在得到椭圆的标 x2 y 2 我们把方程 2 ? 2 ? 1 叫做椭圆的标准方程。 准方程之后,我和学 a b 生共同总结椭圆标 总结推导椭圆的标准方程的步骤: 准方程的步骤,从而 (1)建系——建立适当的坐标系 进一步强化求曲线 曲线相对 方程的规范性,同时 (2)设点 于坐标轴 也让学生享受到成 (3)列式 有较多的 功的喜悦。 移项后 (4)化简 对称性 (5)证明 如果椭圆竖起放置,怎样建 系? 建立如图所示的直角坐标系, 类似于刚才的推导过程可得椭圆 的方程,过程留给同学们课后完 成。 让学生猜想结论:
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

再平方

y F1 O F2 M x

对于焦点在 y 轴 上的椭圆的标准方 程的建立,我选择让 学生类比方法一,在 比较、分析、猜想的 基础上得到。

(a>b>0) ,并说明理由。 因此,焦点在 y 轴上的椭圆的方程为
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

由于这两种形式的方程都很简单, 因此我们把这两种 方程都叫椭圆的标准方程(其中 b2=a2-c2) 完成标准方程的推导后,引导学生从 a、b 的大小关系;标准方程的特点; 判断焦点位置的方法等方面进行比较总结,并完成下表。通过表格,对椭圆定义 和标准方程进行总结归纳,促进知识更加系统化。
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标准方程

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? a 2 b2
M B2 y

y2 x2 ? ?1 ?a ? b ? 0? a 2 b2
A1 y F1 M B2 x

不 同 点

图 形

A1

F1 O B1

F2

A2 x

B1

O F2 A2

F1(-c,0) 2(c,0) ,F F1(0,c) 2(0,-c) ,F A1(-a,0) A2(a,0) A1(0,a) A2(0,-a) B1(0,-b) B2(0,b) B1(-b,0) B2(b,0) 定义 共同点 a、b、c 的关系 焦点位置的判定 设计意图 充分发挥学生动手、动脑、动口作用,在获得信息的基础上, 针对重点、难点、关键,有的放矢的讲授,启发学生的思维。逐步培养学生的逻 辑思维能力和提出问题、分析问题、解决问题的能力。

焦点坐标 与坐标轴交 点

4、初步应用

加强理解

例 1 求适合下列条件的椭圆标准方程: (1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0) 、 ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离 和是 10; 3 5 (2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0,2) 、 ,并且椭圆经过点( ? , ) 。 2 2 例 2 已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且 ? ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹 方程。 引导学生分析题目的条件和结论, 我们做过与此类似的题型吗?我们学过哪 些求轨迹方程的方法?能否用于解决此题?由学生独立完成曲线方程的求解, 教 师根据学生做的情况及时点拨评价。 设计意图 通过知识的迁移,使学生的认知结构更加灵活化、系统化。在教 学中, 紧紧围绕教学内容, 突出重点, 突破难点, 抓住学生易产生思维障碍之处, 着眼于开拓思路,教给方法,熟练技能,从而实现本节课的教学目标。 5、自我评价

调节反馈

为了进一步巩固本节课所讲内容,我设计了这样一组训练题目,起到进一步巩 固知识的目的。 (1)已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ?1 25 9


的两个焦点,F1 的直线交椭圆于 M、N

两点,则 ?MNF2 的周长为

6

(2) 平面内两定点距离等于 8,一动点到这两个定点距离之和等于 10,建立 适当坐标系写出动点轨迹方程。 (3)焦距为 6,椭圆上一点 P 到焦点的距离之和为 10,求椭圆的标准方程。 设计意图 通过练习对学生的掌握情况及时反馈,加强巩固;对本节课的 内容进行反思总结,纳入知识结构,使知识系统化。 6、知识总结 形成体系 本节内容可概括为“一、二、三” 1、一个定义(椭圆的定义) 2、二类方程(焦点分别在 x 轴、y 轴的上的两个标准 方程) 3、三个意识(求美意识、求简意识、猜想意识) 设计意图 为了让学生建构自己的知识体系,我让学生自己概括所学的内 容。我认为这样既能培养了学生的概括能力,又能营造民主和谐的师生关系。 7、作业布置 巩固提高 (学有余力的学生全做) (1)、习题 2.2 第 2、3、4 题; (2)、写出适合条件的椭圆标准方程: ①a=4,b=1.焦点在 x 轴上 ②a=4,c=3. (3)、研究性题:反思画图,观察椭圆上的点到焦点的距离最大最小的点是哪个 点?并用加以证明. 设计意图 一方面加强了对本节知识的巩固和提高,为下一节的学习作好基 础;另一方面通过分层练习,使各方面的学生都得到最大限度的发展. 五、板书设计与时间分配 课题 1、椭圆的定义: 例 1: 椭圆标准方程的推导过 2、有关概念: (写要点) 程. 例 2: 3、椭圆标准方程 (1)详写 (1)焦点在 x 轴上 (2)写关键步骤 (2)焦点在 y 轴上 时间分配 引入和定义 8 分钟,推导方程 12 分钟,例题和练习 20 分钟, 总结 2 分钟,3 分钟自由支配时间。 六、教学评价 在教学中,我通过设置教学情境,激发了学生的学习兴趣,使学生能主动参 与到学习活动中来;在定义的获取和方程的推导过程中,学生能够细心观察,积 极思考,在掌握知识的同时,锻炼了思维,培养了能力;在整个教学过程中,我 始终根据学生的反馈情况及时引导鼓励,使学生养成良好的思维习惯。通过本节 课的学习能达到预期的教学目标,并在整个教学过程中体现了“以学生为主体” , “师生互动”“学生间合作学习”及“分层教学”的现代教育理念。不当之处,敬请各 位领导、专家批评指正。 谢谢!

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