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【数学】高中数学综合训练系列试题(6)


知识改变命运,学习成就未来

高中数学综合训练系列试题(6)
第 I 卷 (选择题
一、选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合 A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|2<x<4},能使 A B 成立的实数 a 的取值范围是 ( ) A.{a|3<a<4} B.{a|3≤a<4} C.{a|3<a≤4} D.{a|3≤a≤4} 2. 已知 f(x+2)是偶函数,则 y=f(2x)的图像的对称轴是 A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 ( ) 3.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2) 4.关于等比数列{an }给出下述命题: (1)数列 an =10 是公比 q=1 的等比数列; (2) n ? N ? , 则an ? an?4 ? a 2 n?2 ; (3) m, n, p, q ? N , m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq ; (4) n 是等比数列的前 n 项和, Sn,S 2n-Sn,S 3n-S2n 成等比数列, S 则 其中的真命题是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
?

共 60 分)





C. (0,+ ? )

D. (1,+ ? )

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5.已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=20-2y+x 的最大值是 ( ) ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?
A.21 B.23 C.25 D.27 6.已知长方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,长方体的高 AA1 =3, 则 BC1 与对角面 BB1 D1 D 所角的正弦值等于 A. ( C. )

4 5

B.

3 5

2 2 5

D.

3 2 5
( )

7.一组数据 8,12,x,11,9 的平均数是 10,则这样数据的方差是 A.2 B.

2

C.2 2

D.

2 2
( )

8.函数 f(x)=4x4 -2x2 +6 的单调递增区间是 A. (??,?1]和[0,1] 9.复数 z ? B. (?1,0) C.[?1,0] ? [1,??]

D.[0,1] ( )

1 的辐角主值是 1? i

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A.

? 4

B.

3? 4

C.

5? 4

D.

7? 4

10.已知 a ? ( 3 sin ?x, cos?x),b ? (cos?x, cos?x) ,记函数 f(x)=a·b,且 f(x)的最小 正周期是 ? ,则 ? =( A. ? =1 11.给出三个条件: ①xt >yt ;
2 2

) C. ? ?

B. ? =2

1 2

D.? ?

2 3



x y ? ; t t

③x >y

2

2

其中能分别成为 x>y 的充分条件的是 A.①②③ 12.双曲线 A.k<3 B.②③ C.③ D.①





x2 y2 ? ? 1 的离心率 e<2,则 k 的取值范围是 k ?3 4
B.-9<k<3 C.-3<k<3 共 90 分) D.-57<k<3





第 II 卷(非选择题
二、填空题 本大题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中横线上 13.已知等差数列{an }中, a1 ? 14.已知 sin ? ? cos ? ?
4 4

1 , a 2 ? a8 ? 2, a n ? 12 ,则 Sn = 5

17 ,? ? III , 则 sin 2?的值等于 25

15.一个四面体所有的棱长都是 6 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的体积等于

16.已知 ?

?
3

?x?

?
6

, 要使 cos x ?

6m ? 1 成立,则实数 m 的取值范围是 6m ? 5

三、解答题 本大题共 6 小题,共 74 分,17~21 题,每小题 12 分,第 22 题 14 分,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 17.已知集合 A ? {( x, y) | ax ? y ? 1, x, y ? R}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1, x, y ? R}, C= {( x, y) | x ? y ? 1, x, y ? R}
2 2

(1)若( A ? B ) ? C 为两个元素的集合,求实数 a; (2) A ? B ) ? C 为含三个元素的集合,求实数 a (

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18.已知函数 f(x)=(k+1)x -3(k+2)x -k -2k(k>-1). (1)若 f(x)的单调递减区间为(0,4) ,求 k 的值; (2)当 k 的值满足(1)时,求过 M(1,-5)作曲线 f(x)的切线的方程
3 2 2

19.一批零件有 9 个合格品,3 个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合 格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列

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20.已知四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平面 PDC⊥ 底面 ABCD,E 为 PC 的中点 (1)求证:PA//平面 EDB; (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (3)求二面角 D-PB-C 的正切值

21.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 P(2,1)作一条直线交双曲线于 A,B,并使 P 为 AB 3

的中点,求 AB 所在直线的方程和弦 AB 的长

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t?2 t2 处取得最小值? (t ? 0), f (1) ? 0 2 4

22.已知二次函数 y ? f ( x)在x ? (1)求 y=f(x)的表达式;

(2)若任意实数 x 都满足 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1(g(x)为多项式,
n ? N ? ) ,试用 t 表示 an 和 bn;
(3)设圆 Cn 的方程 ( x ? an ) 2 ? ( y ? bn ) 2 ? rn ,圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…),{r n }是各
2

项都是正数的等比数列,记 S n 为前 n 个圆的面积之和,求 r n,S n.

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高中数学综合训练系列试题(6)

答案
第I卷 一、选择题 题号 1 答案 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 B

第 II 卷
二、填空题 13.由 a1 ? ∴d ?

1 , a2 ? a8 ? 2, 有 2 a1 ? 8d ? 2, 5

1 5

∵ a1 ? (n ? 1)d ? 12, ∴ n ? 60, S60 =366 14.由 sin ? ? cos ? ?
4 4

17 17 , 有 (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? 25 25

8 (? ? III ) 25 16 4 2 .从而 sin 2? ? ∴ sin 2? ? 25 5
∴ 2 sin ? cos ? ?
2 2

15.如图,将四面体补成正方体,则正方体的棱长是 6

?V球 ?

4 ? ? (3 3 ) 3 3 4 ? ? ? 27 ? 3 3 3

? 1 0 8 3?
16.∵ ? ∴

?
3

?x?

?
6

,

1 ? cos x ? 1 2 1 6m ? 1 ?1 ∴ ? 2 6m ? 5 6m ? 1 1 6m ? 1 ? )( ? 1) ? 0 即( 6m ? 5 2 6m ? 5


6m ? 7 ?6 ? ?0 2(6m ? 5) 6m ? 5

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∴6m-7≥0,即 m≥

7 6

三、解答题 17. (1) (A∪B)∩C 含两个元素 ①直线 ax+y=1 和 x+ay=1 与圆 x2 +y2 =1 各有一个交点且不重合,则满足条件,此时 a=0,如 图(1)所示 ②直线 ax+y=1 和 x+ay=1 重合,且与圆 x2 +y2 =1 有两个不同的交点,则满足条件,此时 a=1, 如图(2)所示 综上,a=0 或 a=1 时, (A∪B)∩C 为含两个元素的集合 (2) (A∪B)∩C 含三个元素 显然 a≠0,a≠1. 直线 ax+y=1 和 x+ay=1 与圆 x +y =1 必须交于三个点,即两直线有一个交点在圆 x +y =1 上, 且两直线与圆还各有一个交点 ∵直线 ax+y=1 和 x+ay=1 关于直线 y=x 对称 ∴三个交点为(0,1)(1,0)( , , 如图(3) (4)所示 此时 a ? ?1? 2
2 2 2 2

2 2 2 2 )或(0,1)(1,0)(- , , ) ,? , 2 2 2 2

18.(1) ∵ f ( x) ? (k ? 1) x ? 3(k ? 2) x ? k ? 2k ,
3 2 2

∴ f ' ( x) ? 3(k ? 1) x ? 6(k ? 2) x
2

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又 f ' ( x) ? 0的解集为 0,4) , ( ∴

2( k ? 2) ?4 k ?1
3 2

∴k=0 (2) ∵M(1,-5)在曲线 f(x)=x -6x 上, ∴斜率 t=f’(x) | x??1 ? 3x 2 ? 12x | x??1 ? 3 ? 12 ? 15 ∴所求切线方程为 y+5=15(x-1),即为 15x-y-20=0 19.设在取得合格品前取出的不合格品数为 ? ,则 ? 是一个随机变量,且取值 0,1,2,3

? =0 表示从 12 个零件中取 1 件,取到合格品,其概率为
1 A9 9 3 p(? ? 0) ? 1 ? ? , A12 12 4

? =1 表示从 12 个零件中取 2 件,第 1 次取到不合格品,第 2 次取到合格品,其概率为
p(? ? 1) ?
1 1 A3 A9 3? 9 9 ? ? . 2 12 ? 11 44 A12 1 A32 A9 3? 2 ? 9 9 ? ? . 3 12 ? 11? 10 220 A12

同理,有 p(? ? 2) ?

3 1 A3 A9 3 ? 2 ? 1? 9 1 p(? ? 3) ? 4 ? ? . 12 ? 11? 10 ? 9 220 A12

∴所求分布列为

?
P

0

1

2

3

3 4

9 44

9 220

1 220

20. (1)证:连 AC 交 BD 于 O,连 EO 由四边形 ABCD 为正方形,得 O 为 AC 的中点 在△PAC 中,由中位线定理得 EO//PA 又 EO ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB; ∴PA//平面 EDB (2)证:由平面 PDC⊥平面 ABCD,BC⊥DC,得 BC⊥平面 PDC,又 DE ? 平面 PDC, 则 BC⊥DE E 为 PC 的中点,△PDC 为正三角形, ∴DE⊥PC BC∩PC=C, ∴DE⊥平面 PBC, 又 DE ? 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 PBC (3)作 EF⊥PB 于 F,连 DF,由 DE⊥平面 PBC 及三垂线定理,得 DF⊥PB∠DFE 是所求

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二面角的平面角 设 BC=4,则 PC=4 在等边△PDC 中求出 DE=2 3 在 Rt△PFE 中,∠EPF=45°,PE=2,可求出 FE= 2 ∴tan∠DFE=

DE FE

=

2 3 2

= 6 21.易知直线 AB 不与 y 轴平行,设其方程为 y-1=k(x-2) 由?

? y ? 1 ? k ( x ? 2),
2 2 ?3 x ? y ? 3,

得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2k (2k ? 1) x ? 4(k 2 ? k ? 1) ? 0 设此方程两实根为 x1 ,x2 , 则 x1 ? x 2 ?

2k (2k ? 1) k2 ?3

又 P(2,1)为 AB 的中点, 所以

2k (2k ? 1) ?4 k2 ?3

解得,k=6 当 k=6 时 , 直 线 与 双曲 线 相 交 , 即上 述 二 次 方 程的 △ >0 所 求直 线 AB 的 方 程 为

y ? 1 ? 6( x ? 2), 化成一般式为 6x-y-11=0.
2 2 ∴ | AB |? 1 ? k ? ( x1 ? x 2 )

? 37 ? 16 ? 4 ?

31? 4 4 2442 ? 33 33
t ? 2 2 t2 ) ? . 2 4

22. (1) 设 f ( x) ? a( x ? ∵f(1)=0,

t ? 2 2 t2 ) ? ? 0, 从而a ? 1 ∴ a(1 ? 2 4
∴f(x)=x2-(t+2)x+(t+1). (2) f(x)=x2 -(t+2)x+(t+1)=(x-1)(x-t-1) ∴(x-1)(x-t-1)g(x)+an x+bn =xn+1.

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将 x=1,x=t+1 分别代入上式,得

?a n ? bn ? 1 ? n ?1 ?(t ? 1)a n ? bn ? (t ? 1)
∵t≠0, ∴ a n ? [( t ? 1) n ?1 ]

1 t t ?1 bn ? [1 ? (t ? 1) n ] t

(3) ∵ an ? bn ? 1, ∴圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上 ∴ | On On?1 |?

2 | an?1 ? an |? 2 (t ? 1) n?1 2 (t ? 1) n?1

又圆 Cn 与 Cn+1 外切,故 rn ? rn?1 ? 设{rn }的公比为 q,则

?rn ? qrn ? 2 (t ? 1) n ?1 ? ? ?rn ?1 ? qrn?1 ? 2 (t ? 1) n ? 2 ?
(2)÷(1) ,得 q ?

(1) (2)

rn?1 ? t ?1 rn

于是 rn ?

2 (t ? 1) n?1 t?2

? S n ? ? (r12 ? r22 ? ? ? rn2 )

?

?r12 (q 2n ? 1)
q2 ?1 2? (t ? 1) 4 [(t ? 1) 2n ? 1] 3 t (t ? 2)

?

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