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几种常见数列求和方式及其相应练习题


数列——数列求和
【考题回放】 1. (北京卷)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于( D ) A.

2 n (8 ? 1) 7

B.

2 n ?1 (8 ? 1) 7

C.

2 n ?3 (8 ? 1) 7

D.

2 n?4 (8 ? 1) 7

2. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( B ) A.9 B.10 C.11 D.12

3. (福建)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( B ) n(n ? 1)

5 6

C.

1 6

D.

1 30

S3 1 S6 4. (全国 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12
A. 3 10 1 B. 3 1 C. 8 D. 1 9

解析:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10

5. (天津卷)已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且

a1 ? b1 ? 5 , a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于(
A.55 B.70 C.85 D.100



解:数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 ,

a1 , b1 ? N * . 设 cn ? abn ( n ? N * ), 则 数 列 {cn } 的 前 10 项 和 等 于
ab1 ? ab2 ? ? ? ab10 = ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? ab1 ?9 , ab1 ? a1 ? (b1 ?1) ? 4 ,∴ ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? ab1 ?9
= 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 85 ,选 C. 6. (江苏卷)对正整数 n, 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 {

an } 的前 n 项和的公式是 n ?1
n?1

解: y? ? nx

? (n ? 1) xn ,曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n
n n n

切点为(2,-2 ),所以切线方程为 y+2 =k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2 ,令 bn=

an ? 2 n .数 n ?1

数列——数列求和
列?

? an ? 2 3 n n+1 ? 的前 n 项和为 2+2 +2 +…+2 =2 -2 ?n ?1 ?

数列求和常用方法
一、直接求和法(或公式法) 将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前 n 项和公式求得.

①等差数列求和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2

? na1 ? q ? 1? ? ②等比数列求和公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q (切记:公比含字母时一定 ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
要讨论)
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1
n

?k
k ?1

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ?? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? k 3 ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? ? ? ? 2 ? ? k ?1
n

例 1: (07 高考山东文 18) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 已 知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ?,

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 .由题意得 q ? 1 , ?q ? 2 . 2

解得 q1 ? 2,q2 ?

数列——数列求和
?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 由(1)得 a3n?1 ? 23n , 2, ?,

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 ,

又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列.

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 ?
故 Tn ?

3n( n ? 1) ln 2 . 2

例 2:已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

解:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
n

(利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2
针对训练 1:
设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N ,求 f (n) ?
*

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2
(利

解:由等差数列求和公式得 S n ? 用常用公式) ∴ f ( n) ?

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

数列——数列求和
∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f ( n) max ? 50 8

二、错位相减法
设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解, 均可用错位相减法。

若 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是公比为 q 等比数列,令

Sn ? b c 1 c 1? b 2 ? 2 ??
则 qSn ?

n ?

b1 ?1 ? n c

n

bn c b n c 1?
n ?n

b1 c2? b2 c ? 3 ??

n?

b c1

两式相减并整理即得
例 2(07 高考天津理 21)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) , 其中 ? ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅰ)解:由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , ? ? 0 ,

?2? 可得 n?1 ? ? ? ? ??? an?1
所以 ?

n ?1

?2? ? n ? ? ? ?1, ? ??? an

n

? ? an

?2? ?? ? n ? ?? ? ? ?

n

n ? an ? 2 ? ? 为等差数列, 其公差为 1 , 首项为 0 , 故 所以数列 ?an ? ? ? ? ? ? n ?1 , ? ? ? ? ? n ?

的通项公式为 an ? (n ?1)? n ? 2n . (Ⅱ)解:设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ? ?? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n , ① ②

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ??? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1
当 ? ? 1 时,①式减去②式, 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)?
2 3 n n ?1

?

? 2 ? ? n?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 1? ?

Tn ?

? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? ? . (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2

数列——数列求和
这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 当 ? ? 1 时, Tn ?

(n ? 1)? n? 2 ? n? n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 2 (1 ? ? )

n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 2

例 3: (07 高考全国Ⅱ文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且

a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 . (Ⅱ)

所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 .

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 Sn ? 1 ?

1 1 ? n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 1 1 2 n ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 2 ? 2 ? 2 2 1? 2
小结: 错位相减法的求解步骤: ①在等式两边同时乘以等比数列 ?cn ? 的公比
q ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前 n 项和的公式求和.

针对训练 2:
设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * , a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

数列——数列求和
解 (I) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3
2 n ?1

an ?

3n ?1 an ?

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

n n ?1 , a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 3 1 an ? n (n ? 2). 3

验证 n ? 1 时也满足上式, an ?

1 (n ? N * ). n 3
① ②
n?1

(II) bn ? n ? 3n , Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n

3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1
① - ② :

?2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? n ? 3
2 3 n

3 ? 3n ?1 ? ? n ? 3n ?1 , 1? 3

? Sn ?

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4

2. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①
解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 通项之积 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n …………. ②
n ?1

}的

(设制错位)

①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) Sn ? (1 ? x) 2

3.求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ……………… …② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

数列——数列求和
三、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的 . 通项分解(裂项) 如: (1)a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?

(3) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(4) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(5)

(6)

n ? n!? (n ? 1)!?n!

(7)

n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

(8) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(1)

1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ,特别地当 k ? 1 时, n ? n ? 1? n n ? 1 n?n ? k ? k ? n n ? k ?
1 1 ? n?k ? n k 1 1? 2 ,

(2)

?

n ? k ? n ,特别地当 k ? 1 时 1 1 n ? n ?1

?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

例 1: 求数列

2? 3 1

,? ? ?,

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 例 2: ( 06 湖北卷理 17 )已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为

数列——数列求和
f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像
上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 1 , Tn 是数列 {bn }的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的 20 an an ?1

最小正整数 m; 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x.
2 2 2

又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

3 1 1 1 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

1 1 1 m m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥ 2 2 20 6n ? 1 20 10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.
因此,要使 评析: 一般地, 若数列 ?an ? 为等差数列, 且公差不为 0, 首项也不为 0, 则求和:

?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

首先考虑
n

1 ? ? i ?1 ai ai ?1
1

n

n 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ) 则 = ( ? 。下列求和: )? ? ? d a1 a n?1 a1a n?1 ai ?1 i ?1 d a i i ?1 ai ai ?1

n

?
i ?1

ai ? ai ?1

也可用裂项求和法。

针对训练 3:

数列——数列求和
1.在数列{an}中, an ? 和. 解:

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2
∵ an ? ∴ 数列{bn}的前 n 项和

(裂项)

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1
2: 求证:

(裂项求和)

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

解:设 S ?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

(裂项)

∴S ? =

(裂项求和)

1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin 1


1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?

∴ 原等式成立

四、分组求和法
所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例 1: 数列{an}的前 n 项和 S n ? 2an ? 1 , 数列{bn}满 b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 解析: (Ⅰ)由 S n ? 2an ? 1, n ? N ? ,? S n?1 ? 2an?1 ? 1,

数列——数列求和
两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an , ? an?1 ? 2an , n ? N ? .同a1 ? 1知an ? 0 ,

?

an?1 ? 2, 同定义知 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. an

(Ⅱ) an ? 2 n?1 , bn?1 ? 2 n?1 ? bn

bn?1 ? bn ? 2 n?1 ,

b2 ? b1 ? 2 0 , b3 ? b2 ? 21 , b4 ? b3 ? 2 2 , ?

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得:
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?2 ? 3 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2, 1? 2

?Tn ? (20 ? 2) ? (21 ? 2) ? (22 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n
=

1 ? 2n ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1. 1? 2

4 , 6 例 2: 求数列 2 ,

1 4

1 8

1 1 , ?, 2n ? n ?1 , ? 的前 n 项和 Sn . 16 2
1 ? 1 ? ,而数列 {2n} 是一个等差数列,数列 ? n ?1 ? 是一个等 n ?1 2 ?2 ?

分析:此数列的通项公式是 an ? 2n ? 比数列,故采用分组求和法求解. 解: Sn ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? ?

1 ? 1 1 ?1 1 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n(n ? 1) ? ? n?1 . 2 2 ? 2 2 ?2 2 2

针对训练 4:
?1 4 ?3 ? 25 ? 求和: Sn ? ? 2 ? 3? 5 ??? ? ? ? ? ? 6? ?3 ?3 ?5? ? ? n ? 2 ?n

3 ? 5

解: Sn ? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 5? n ?
? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 3 ? 5?1 ? 5?2 ? 5?3 ? ? ? 5? n ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 5? ?5? ? n ? n ? 1? ? 3 ? ? 1 1? 5

n

? ? n ? ? ? n2 ? n ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 4? ? ?5? ? ?

小结:这是求和的常用方法,按照一定规律将数列分成等差(比)数列或常 见的数列,使问题得到顺利求解.

五、并项求和法:
针对一些特殊的数列, 将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此, 在求数列的前 n 项和时,可将这些项放在一起先求和.

数列——数列求和
例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ?1?
n ?1

? n ,求 S100 .

解: S100 ? ?1? 2? ? ?3 ? 4? ? ?5 ? 6? ??? ?99 ?100? ? ? ?1? ? 50 ? ?50 小结:并项求和法的关键是寻找哪些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 一旦找到问题就可以顺利的解决.
例 2: 在各项均为正数的等比数列中, 若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 ) (合并求和)
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

例 3:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

(分组) (分组求和)

针对训练 5:
1: 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°) + ( cos2°+ cos178°) + (cos3°+ cos177°) +· · · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0

数列——数列求和
2:求 S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1)n?1 n2 ( n ? N? ) 解:⑴ 当 n 为偶数时,

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 1)2 ? n2 ] ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ?
⑵ 当 n 为奇数时,

n(1 ? n) ; 2
n(n ? 1) 1 ? n2 ? (n2 ? n) 2 2

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 2)2 ? (n ? 1)2 ] ? n2 ? ?[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n2 ? ?

综上所述, S ? (?1)n?1 n(n ? 1) .

1 2

六、倒序相加法:
类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 ?an ? ,与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用正序写和与倒序写和的两个和式 相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例 1:已知函数 f ? x ? ?

2x 2x ? 2

(1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1;
?1? (2)求 f ? ? ? ? 10 ? ? 2? f ? ? ?? ? ? 10 ? ?8? f ? ?? ? 10 ? ?9? f ? ? 的值. ? 10 ?

解: (1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,
?1? f ? ?? ? 10 ? ?9? ? 2? f ? ? ? f ? ?? ? 10 ? ? 10 ? ?8? ? 5? f ? ? ??? f ? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 5? f ? ? ?1 ? 10 ?

?1? ?2? ?8? ?9? 令S ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ?9? 则S ? f ? ? ? ? 10 ? ?8? f ? ? ??? ? 10 ? ?2? f ? ?? ? 10 ? ?1? f? ? ? 10 ?

两式相加得:

? 2S ? 9 ? ? ?

?1? f ? ?? ? 10 ?

? 9 ?? f ? ?? ? 9 ? 10 ? ?

所以 S ?

9 . 2

小结:解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加 法求和.
例 2: (07 豫理 22.)设函数 f ( x) ?

2x 的图象上有两点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2),若 2x ? 2

OP ?

1 1 (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2

数列——数列求和
(I)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
* (II)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N , 求S n ;

1 n

2 n

3 n

n n

(III)略 (I)∵ OP ? ∴P 是

1 1 (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2
的中点,且

PP
1

2

x ?x
1

2

?1
x x ? 2 2 ?
1 2

y ?y
1

2

?

2 x1 ? 2

2x

1

?

2x

2x
2 2

2

? 2 ? 2x2

? 2
1

?2x ?
2

?

?2x ? 2 ? 2?
1

?

4? 2 4 ? 2 2 x 2 ? 2 x1

?

?

?2x ? 2x ? ? 1
? x ? ? f ? x ? ? 1, 且f ?1? ? 2 ?
1 2

? y ?1
p

由(I)知,

x ?x
1

2

?1 f

2

?1? ?2? ? n ?1 ? ?n? 又S n ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ?1? ?n? ?n? ? n ? ?n? , (1)+(2)得: ?n? ? n ?1 ? ?2? ?1? ?? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 2? Sn ? f ? ?n? ? n ? ?n? ?n?
? ?1? 2S n ? f ?1? ? ? f ? ? ? ? ?n? n ?3? 2 2 2 ? n ? 1 ?? ? ? 2 ? f? ?? ? ? f ? ? ? ? n ?? ? ? n ? ? ?n? ? n ? 2 ?? f? ?? ? ? ? ? f ? ? ? ? n ?? ? ?n? ? 1 ?? f ? ? ? ? f ?1? ? n ??

? 2 f ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 3 ? 2 2 ?S n ?

针对训练 6:
1: 求

12 22 32 102 ? ? ? ? ? 的和. 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12

分析:由于数列的第 k 项与倒数第 k 项的和为常数 1,故采用倒序相加法求和. 解:设 S ?

12 22 32 102 ? ? ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12

102 92 82 12 ? ? ??? 2 2 . 则S ? 2 10 ? 12 22 ? 92 32 ? 82 10 ? 1
两式相加,得

2S ? 1? 1 ??? ? 1 , 1? 0S ? . 5

0 1 2 n 2:求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

数列——数列求和
0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn 0 1 n?1 n ①+②得 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n (反序相加)

(反序)



S n ? (n ? 1) ? 2 n

小结:对某些具有对称性的数列,可运用此法.


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