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高中数学


分类加法计数原理和分步乘法计数原理
执教人:陈金宇

例 1: 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C 三所大学各有一些自己感兴趣的强 项专业,具体情况如下: A 大学 B 大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C 大学 机械制造 建筑学 广告学 汉语言文学 韩语

教学目标: 知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 过程与方法:培养学生的归纳概括能力 情感、态度与价值观:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原 理(乘法原理)的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体

生物学 化学 医学 物理学 工程学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?

思考 2:如果完成一件事情有三类不同方案,在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法,在第 2 类 方案中有 m 2 种不同的方法,在第 3 类方案中有 m 3 种不同的方法,那么完成这件事情有多少 种不同的方法? 思考 3:如果完成一件事情有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法,在第 2 类 方案中有 m 2 种不同的方法,? 有多少种不同的方法? 问题 3:从南京到上海,要从南京先乘火车到杭州,再于次日从杭州乘汽车到上海。一天中, 火车有 3 班,汽车有 2 班,那么两天中,从南京到上海共有多少种不同的走法? 问题 4:元旦放假老师准备先去南京后到上海游玩,他列出南京感兴趣的景点 6 处,上海感 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 兴趣的景点 9 处,如果他在两地各选一个景点,那么他共有多少种选择? 2、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 ?在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法,那么完成这件事情

教学过程: 一、情景引入: 问题 1:元旦放假老师准备去旅游,他列出南京感兴趣的景点 6 处,上海感兴趣的景点 9 处,如果他只能选一个景点,那么他共有多少种选择? 问题 2:从南京到上海,可以乘火车,也可以乘汽车。一天中,火车有 3 班,汽车有 2 班。那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 思考 1:你能说出这两个问题的共同特征吗? 二、新知探究: 1、分类加法计数原理

在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ?m?n
种不同的方法. 说明: (1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要计算方法种数,只需将各类 方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理 (2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分类标准下进行分类,然后对 每类方法计数.

步有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ? m?n
种不同的方法. 说明: (1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法 数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理 (2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准,然后对每步方法计数.
1

例 2.设某班有男生 30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共 有多少种不同的选法? 变式:若再要从语,数,外三个老师中选出一名带队参加比赛,那又共有多少种选法?

思考 6:分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系是什么: 加法原理 联系 区别一 乘法原理

回答的都是关于完成一件事情的不同方法的总数的问题。 完成一件事情共有 n 类 办法,关键词是“分类” 每类办法都能独立完成 完成一件事情, 共分 n 个步骤, 关键词是“分步” 任何一步都不能独立完成这件 事情,只有每个步骤完成了,才能 完成这件事情。

区别二 思考 4:如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同 的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有 多少种不同的方法? 思考 5: 完成一件事情需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同 的方法??做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的 方法. 例 3. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问 共有多少种不同的挂法? 区别三

这件事情

各类办法是互斥的、并 列的、独立的

各步之间是相互关联的

三、课堂练习: 1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 2.将 4 封信投入 3 个邮筒,有多少种不同的投法?

四、课堂小结: 分类加法计数原理 1、两个计数原理 分步乘法计数原理 分类讨论的思想 例 4. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放 2 本不同的体育书 ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 五、课后作业: 1、教材 P12 A 组 1,2 2、拓展作业: 根据自己的生活经验,举出一些可以用两个计数原理计数的实际例子。 2、两种思想 从特殊到一般的思想 类比的思想

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