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高中数学必修4第一章


1 第一章 三角函数知识点
1、角的定义:
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? ? 任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ? ? ?零角:不作任何旋转形成的角

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角。 第一象限角的集合为 ?? 2k? ? ? ? 2k? ?

>
? ?

?

? , k ? ?? 2 ?

第二象限角的集合为 ?? 2k? ?

? ?

?

? ? ? ? 2k? ? ? , k ? ?? 2 ? 3? ? , k ? ?? 2 ?

第三象限角的集合为 ?? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

? ?

第四象限角的集合为 ?? 2k? ?

? ?

3? ? ? ? ? 2k? ? 2? , k ? ? ? 2 ?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k? , k ? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ??

?

?

? ?

? ? k? ?
??

?

? , k ? ?? 2 ?

终边在坐标轴上的角的集合为 ??

? ?

k? ? , k ? ?? 2 ?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? 2k? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
?

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起, n
*

依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度。

n

终边所落在的区域。

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l 。 r

? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? , 1? ? ? ? 57.3 180 ? ? ?
? ?

?

?

8 、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 。 2 2
9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 P 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的 y P T v O M A x 距 离 是

1

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

x y y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? 。 r x r

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正。 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? 。 (如图) 12、同角三角函数的基本关系:

(1) sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?
(2) sin ? sin ? ? ? ? tan ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? cos ? tan ? ? ?
sin

13、三角函数的诱导公式:

cos

tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?

cot ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? cot ?

?? ? ?? ? ?? 2? ? ? 2 k? ? ?

? sin ? + in ? ? sin ? ? sin ?
? sin ?

? cos? ? cos? ? cos? ? cos? ? cos?

三角函数 值等于 ? 的同名三 角 函 数 值,前面 加上一个 把 ? 看作

锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限

sin

cos
? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ?

tan
? cot ? ? cot ?
? cot ?

cot
? tan ? ? tan ?
? tan ?

?
2

??

? cos?
? cos?
? cos? ? cos?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

?

? cot ?

? tan ?

三角函数 值等于 ? 的异名三 角 函 数 值,前面 加上一个 把 ? 看作 锐角时, 原三角函 数值的符

号;即:函数名改变,符号看象限 14、(1)函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图

象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? Asin ??x ? ? ? 的图象。
(2)函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? x 的图象;

? 个单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 ?

,得到函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A 倍(横坐标不变) 图象。
2

(3)函数 y ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: A ;②周期: T ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? 。 T 2?

(4) 函 数 y ? As i n ?? x? ? ? ? B, 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin ; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则

A?

1 1 T ? ym a x? y m i?n, B ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 。 2 2 2
函 性 质 数

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?
最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
奇函数 在 ? 2k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

周期性 奇偶性

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心

? k? ,0?? k ???
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

对称轴

?
2

?k ? ??

3

4


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