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北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案


海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(文科)
答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2015.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目 要求的一项。 1.已知集合 P { | A.1 - ≤0},M {0,1,3,4},则集合 P ? M 中元素的个数为 B.2 C. 3 D.4

2.下列函数中为偶函数的是 A. 3.在 B. 中,∠A 60°,| B.}的前 项和 ,若 - B.1 | | | 2,| C. | 1,则 的值为 D.-1 D.

A. 4.数列{ A.0 5.已知函数 A. C. 6. “

C. 1

2 -1( ≥2),且 C. 3

3,则

1 的值为

D.5

,下列结论中错误 的是 .. B. 的最小正周期为 的值域为[ , ]

的图象关于直线 ”是“

对称 ”的

D.

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( >0,且

7.如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1).若函数
≠1)及



,且 ≠1)的图象与线段 OA 分别交于

点 M,N,且 M,N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 , 满 足

-1-

A. < <1 C. > >1

B. < <1 D. > >1

? ?1, x ? ?1, 1 ? 2 8.已知函数 f ? x ? ? ? x, ?1 ? x ? ?1, ,函数 g ( x) ? ax ? .若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰好有 2 4 ?1, x ? 1, ?
个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 A. (0, ?? ) B. (??,0) ? (2, ??) C. (??, ? ) ? (1, ??) D. (??, 0) ? (0,1) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.函数 f ( x) ? 2 x ? 2 的定义域为_____. 10.若角 ? 的终边过点(1,-2) ,则 cos(? ?

1 2

?
2

) =_____.

11. 若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? ?4 , a3 ? a9 ? a10 ? a8 ,则 an = ______. 12.已知向量 a ? (1, 0) ,点 A? 4,4? ,点 B 为直线 y ? 2 x 上一个动点.若 AB // ,则点 B 的坐 标为____. 13. 已知函数 f ( x) ? sin( . 若 f ( x ) 的图像向左平移 ? x ? ? )( ? ? 0)

??? ?

? 个单位所得的图像与 3

f ( x) 的图像重合,则 ? 的最小值为____.
14.对于数列 ?an ? ,若 ?m , n ? N (m ? n) ,均有
?

am ? an ? t (t为常数) ,则称数列 ?an ? 具 m?n

有性质 P(t ) . (i)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ,且具有性质 P(t ) ,则 t 的最大值为____;
2 (ii)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ?

a ,且具有性质 P (7) ,则实数 a 的取值范围是____. n

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分)

-2-

已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,且 a1 ? 1 , 4a3 ? a2 a4 (Ⅰ)求公比 q 和 a3 的值; (Ⅱ)若 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证

.

Sn ? 2. an

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?

) ? cos(2 x ? ) . 6 6

?

(Ⅰ)求 f ?

?? ? ? 的值; ?6?

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四边形 ABCD 中,AB=8,BC=3,CD=5,

?A ?

? 1 , cos ?ADB ? . 3 7
(Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求 ?BCD 的面积.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 . 3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, a? 上单调递增,求 a 的取值范围.

-3-

19.(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的各项均不为 0,其前 项和为 Sn,且满足 a1 = a , 2 S n = an an?1 . (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求{ an }的通项公式; (Ⅲ)若 a ? ?9 ,求 Sn 的最小值.

20.(本小题满分 14 分) 已知 x 为实数, 用[ x ]表示不超过 x 的最大整数, 例如 ?1.2? ? 1 , ??1.2? ? ?2 , ?1? ? 1 . 对于函数 f ( x ) ,若存在 m ? R 且 m ? Z ,使得 f ? m ? ? f 数.
2 (Ⅰ)判断函数 f ? x ? ? x ?

?? m ?? ,则称函数 f ( x) 是 ? 函

1 x , g ? x ? ? sin ? x 是否是 ? 函数; (只需写出结论) 3

(Ⅱ)已知 f ? x ? ? x ?

a ,请写出 a 的一个值,使得 f ? x ? 为 ? 函数,并给出证明; x

(Ⅲ) 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数, 其最小周期为 T .若 f ( x ) 不是 ? 函数, 求T 的最小值.

-4-

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数学(文科) 2015.11
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. B 2.B 3. C 4. A 5.D 6. C 7. A 8. D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. [1, ??) 13. 6 10.

2 5 5

11. n ? 5

12. (2,4)

14. 3; [12, ??)

说明;第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ)法一因为 4a3 ? a2a4 所以 4a3 ? a32 ,所以 a3 ? 4 , 因为 q2 ? ----------------------3 分

a3 ? 4 ,所以 q ? ?2 , 1
---------------------------6 分

因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 .

法二:因为 4a3 ? a2a4 ,所以 4a1q2 ? a1q4 ,所以有 q2 ? 4 ,所以 q ? ?2 . 因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 . 所以 a3 ? a1q2 ? 4 . (Ⅱ)当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ? ---------------------------3 分 --------------------------6 分 -------------------------8 分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 . an 2 2
--------------------------13 分

因为

S 1 1 ? 0 ,所以 n ? 2 ? n ?1 ? 2 n ?1 an 2 2

-5-

法二:当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 . 所以 Sn ?

-------------------------8 分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 . an 2 2
S Sn 1 ? 2 ? ? n ?1 ? 0 ,所以 n ? 2 . an an 2
--------------------------13 分

所以

法三:当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ?

-------------------------8 分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q

--------------------------10 分

要证

Sn ? 2 ,只需要 Sn ? 2an ,只需 2n ? 1 ? 2 n , an
--------------------------13 分

上式显然成立,得证. 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )

π 6

π 6

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) 6 6 6 6
-------------------------4 分

π π 3 3 ? 3 sin( ) ? cos( ) ? ? ? 3 6 6 2 2
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 所以 f ( x ) ? 2(

π 6

π 6

3 π 1 π sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )) 2 6 2 6

π π π π ? 2[cos sin(2 x ? ) ? sin cos(2 x ? )] 6 6 6 6 π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 6 6
? 2 sin 2 x
所以周期 T ? 令 2kπ ? ------------------------8 分

2π ? π. 2

--------------------------10 分 --------------------------11 分

π π ? 2 x ? 2kπ+ , 2 2

-6-

π π ? x ? kπ+ , k ? Z . 4 4 π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ+ ), k ? Z . --------------------------13 分 4 4 π π 法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 6 6 π π π π 所以 f ( x) ? 3(sin2 x cos ? cos2 x sin ) ? (cos2 x cos ? sin2 x sin ) --------------6 分 6 6 6 6
解得 kπ ?

? 3(

3 1 3 1 sin 2 x ? cos2 x ) ? ( cos2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
-------------------------8 分

? 2 sin 2 x
所以周期 T ?

2π --------------------------10 分 ? π, 2 π π 令 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ+ , --------------------------11 分 2 2 π π 解得 kπ ? ? x ? kπ+ , k ? Z , 4 4 π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ+ ), k ? Z . --------------------------13 分 4 4 1 17.解: (Ⅰ)在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? , ?ADB ? (0, π) , 7
所以 sin ?ADB ?

4 3 .--------------------------3 分 7
--------------------------6 分

BD AB , ? sin ?A sin ?ADB ? 代入 AB ? 8, ?A ? , 3
根据正弦定理,有 解得 BD ? 7 .法二:作 BE ? AD 于 E .

π π ,所以在 ?ABD 中, BE ? AB ? sin ? 4 3 .--------------------------3 分 3 3 1 在 ?BDE 中,因为 cos ?ADB ? , ?ADB ? (0, π) , 7
因为 AB ? 8, ?A ? 所以 sin ?ADB ? 所以 BD ?

4 3 ,--------------------------6 分 7
--------------------------7 分

BE ?7. sin ?BDE

(Ⅱ)在 ?BCD 中,根据余弦定理 cos ?C ?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 .--------------------------10 分 2 BC ? CD

-7-

代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ? 所以 S ?BCD ?

1 2π , ?C ? (0, π ) 所以 ?C ? ,-----------------------12 分 2 3

1 2π 15 3 ? 3 ? 5 ? sin ? --------------------------13 分 2 3 4

法二:作 CF ? BD 于 F . 设 DF ? x, 则 BF ? 7 ? x ,--------------------------7 分 所以在 ?BCD 中, 52 ? x 2 ? 32 ? (7 ? x)2 . 解得 x ?

65 . 14
15 3 14

--------------------------10 分

所以 CF ? 52 ? x 2 ?

S?BCD ?

1 1 15 3 15 3 ? BD ? CF ? ? 7 ? ? . 2 2 14 4

--------------------------13 分

18.解(Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ,---------------------------2 分 所以 f '(0) ? a ? ?3 ,---------------------------3 分 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

x
f '( x )

( ??, ?3)
?
?

?3
0 极大值

( ?3,1)
?
?

1
0 极小值

(1, +?)
?
?

f ( x)

---------------------------5 分 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) . ---------------------------7 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增, 所以 f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可. ---------------------------9 分
2 2 因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,

-8-

当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) , 解 f '(a)=a 2 ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立--------------------------11 分 当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 a ? 1 . ---------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因为 a1 ? a ? 0 ,所以 a2 ? 2 . ---------------------------2 分

(Ⅱ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2 Sn ?1 ? an ?1an ,两式相减, 得到 2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) , 因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 ,---------------------------4 分 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, 当 n ? 2 k ? 1 时, an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , 当 n ? 2k 时, an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k , --------------------------6 分 --------------------------8 分

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n ,
(Ⅲ)

?n ? 10, 当 a ? ?9 时, an ? ? ?n ,
因为 2Sn ? an an ?1 ,

n为奇数, n为偶数.

--------------------------9 分

?1 (n ? 10)(n ? 1), n为奇数, ? ?2 所以 Sn ? ? --------------------------11 分 ? 1 n(n ? 9) , n为偶数, ? ?2
所以当 n 为奇数时, Sn 的最小值为 S5 ? ?15 , 当 n 为偶数时, Sn 的最小值为 S4 ? ?10 ,--------------------------13 分 所以当 n ? 5 时, Sn 取得最小值为 ?15 .
-9-

--------------------------14 分

20.解: (Ⅰ) f ( x ) ? x 2 ? x 是 ? 函数, g ( x ) ? sin πx 不是 ? 函数; --------------------------4 分 (Ⅱ)法一:取 k ? 1 , a ? 则令 [m] ? 1, m ?

1 3

3 ? (1,2) ,--------------------------5 分 2

a 3 ? ,--------------------------7 分 1 2 3 3 此时 f ( ) ? f ([ ]) ? f (1) 2 2
所以 f ( x ) 是 ? 函数. 法二:取 k ? 1 , a ? --------------------------9 分

1 ? (0,1) ,--------------------------5 分 2 1 则令 [m] ? ?1, m ? ? ,--------------------------7 分 2 1 1 此时 f ( ? ) ? f ([? ]) ? f ( ?1) 2 2
所以 f ( x ) 是 ? 函数. (说明:这里实际上有两种方案: 方案一:设 k ? N* ,取 a ? (k 2 , k 2 ? k ) , 令 [m] ? k , m ? --------------------------9 分

a a ? k2 a ? (0,1) , ,则一定有 m ? [m ] ? ? k ? k k k

且 f (m) ? f ([m]) ,所以 f ( x ) 是 ? 函数. ) 方案二:设 k ? N* ,取 a ? (k 2 ? k , k 2 ) , 令 [m] ? ?k , m ? ?

a k2 ? a a ? (0,1) , ,则一定有 m ? [m ] ? ? ? ( ? k ) ? k k k

且 f (m) ? f ([m]) ,所以 f ( x ) 是 ? 函数. ) (Ⅲ) T 的最小值为 1. --------------------------11 分

因为 f ( x ) 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f (T ) ? f (0) . 假设 T ? 1 ,则 [T ] ? 0 ,所以 f ([T ]) ? f (0) ,矛盾. --------------------------13 分 所以必有 T ? 1 , 而函数 l ( x ) ? x ? [ x ] 的周期为 1,且显然不是是 ? 函数, 综上, T 的最小值为 1. --------------------------14 分

- 10 -


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