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解三角形的必备知识和典型例题及详解


解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90° ,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90° ; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=
a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c

c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2 R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA; (4)余弦定理的推论:
b2 ? c 2 - a 2 cos A ? ; 2bc a 2 ? c 2 - b2 cos B ? ; 2ac a 2 ? b2 - c 2 cosC ? . 2ab

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

3.三角形的面积公式: 1 1 1 (1) S ? = aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 4.三角形中的三角变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

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二、典例解析 题型 1:正、余弦定理解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个 元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 例:已知 ?ABC 中,a=10,A=30o,C=45o,解三角形 第 2、已知两边和其中一边的对角,求其他边角. 注意可能有两解的情形 例:已知 ?ABC 中,a= 2 ,A=30o,b=2,解三角形 (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第 1、已知三边求三角. 例,已知 ?ABC 中, a : b : c ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,求各角度数 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 例:已知 ?ABC 中,a=1,C=15o,b= 2 ,解三角形 变式练习:已知 ?ABC 中, cosA ?
1 ,a=4,b+c=6 且 b<c,求 b,c 的值 4

题型 2:正、余弦定理判断三角形形状 已知三角形中的边角关系式,判断三角形形状有两条思路:一是化边为角,再进行三角 恒等变换求出三个角之间的关系式;二是化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式 例:在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 解析:2sinAcosB=sinC 2sinAcosB =sin(A+B) 2sinAcosB =sinAcosB+cosAsinB 2sinAcosB- sinAcosB-cosAsinB=0 sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0,∴A=B 另解:角化边 练习:1. 已知 ?ABC 中,bsinB=csinC,且 sin2A=sin2B+sin2C, 判断三角形的形状
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B.直角三角形 D.等边三角形

2. 已知 ?ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 确定三角形的形状 3. 已知 ?ABC 中,B=60o,2b=a+c,判断三角形的形状

题型 3:三角形面积 三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选择最合适的面积公式.
1 1 1 S ? = absinC= bcsinA= acsinB 公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又 2 2 2

由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边的乘积, 在余弦定理中也有. 例:在 ?ABC 中,已知 a ? 2 2, b ? 2 3, A ? 45o ,求三角形的面积. 练习: 1.在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a ? 2c sin A , (1)确定角 C 的大小 (2)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为 2.(2011 山东高考题) 17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知
sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4 3.(2012 山东高考题) (17)(本小题 满分 12 分)

3 3 ,求 a+b 的值 2

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

(Ⅰ)求

在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

题型 4:正余弦定理的实际应用 例.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 0 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,
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0

然后求 BD 的距离 解:在△ABC 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30o, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180° -60° - 60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA,

AB AC ? , 在△ABC 中, sin ?BCA sin ?ABC
ACsin60 ? 3 2? 6 ? , ? 即 AB= sin 15 20

因此,BD=

3 2+ 6 20

三、思维总结 1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,… 3.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解”。

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