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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.4 复数


§ 12.4





1.复数的有关概念 (1)定义: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a 叫做实部,b 叫做虚部.(i 为虚数单位) (2)分类: 满足条件(a,b 为实数) a+bi 为实数?b=0 复数的分类 a+bi 为虚数?b≠0 a+bi 为纯虚数?a=0 且 b≠0 (3)复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (5)模: → 向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|= a2+b2(a,b∈R). 2.复数的几何意义 → 复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R

(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. → → → 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2, → → → Z1Z2=OZ2-OZ1.

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【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2+x+1=0 没有解.( × )

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) )

(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的 模.( √ )

?1+i?3 1.(2014· 课标全国Ⅰ) 等于( ?1-i?2 A.1+i C.-1+i 答案 D 解析 方法一 = = ?1+i?3 ?1+i??1+i?2 = ?1-i?2 -2i

)

B.1-i D.-1-i

?1+i??1+i2+2i? -2i -2+2i 1-i = i -2i

=-1-i.故选 D. 方法二 ?1+i?3 ?1+i?2 =? ? (1+i)=i2(1+i)=-1-i. ?1-i?2 ?1-i?

2.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i 答案 C 解析 ∵A(6,5),B(-2,3), ∴线段 AB 的中点 C(2,4),则点 C 对应的复数为 z=2+4i. 3.(2013· 四川)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,由图中表示 z 的共轭复数的点是(
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) B.8+2i D.4+i

)

A.A C.C 答案 B

B.B D.D

解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称,∴B 点表示 z .选 B. 4.(2013· 广东)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 3+4i 解析 由题意知 x+yi= =4-3i, i 所以|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5. )

题型一 复数的概念 z1 z1 例 1 (1)已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( z2 z2 2 A.1 B.i C. 5 D.0 ) )

(2)若 z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

思维点拨 (1)若 z=a+bi(a,b∈R),则 b=0 时,z∈R;b≠0 时,z 是虚数;a=0 且 b≠0 时, z 是纯虚数. (2)直接根据复数相等的条件求解. 答案 (1)A (2)A z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 解析 (1)由 = = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 =i,其虚部 z2 1-2i 5 5 5 z2 为 1.
2 ? ?m +m+1=3, ? (2)由 2 解得 m=-2 或 m=1, ?m +m-4=-2, ?

所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 思维升华 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把
-3-

复数问题转化成实数问题来处理. 10 (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位. 若复数 a- (a∈R)是纯虚数, 则 a 的值为( 3-i A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)(2014· 浙江)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)A 10 解析 (1)a- =a-(3+i)=(a-3)-i,由 a∈R, 3-i 且 a- 10 为纯虚数知 a=3. 3-i ) )

(2)当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2=2i;
2 2 ? ?a -b =0, 当(a+bi) =2i 时,得? ?ab=1, ? 2

解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件. 题型二 复数的运算 3?1+i?2 例 2 计算:(1) =________; i-1 1+i 6 2+ 3i (2)( )+ =________. 1-i 3- 2i 思维点拨 复数的除法运算,实质上是分母实数化的运算. 答案 (1)3-3i (2)-1+i 3?1+i?2 3×2i 6i 解析 (1) = = i-1 i-1 i-1 6i?i+1? =- =-3i(i+1)=3-3i. 2 ?1+i?2 6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? (2)原式=[ ]+ 2 ? 3?2+? 2?2 =i6+ 6+2i+3i- 6 =-1+i. 5

思维升华 (1)复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分母的 共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式.
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(2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. 1+i 1-i ①(1± i)2=± 2i; =i; =-i. 1-i 1+i ②i(a+bi)=-b+ai. ③i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,
+ + +

i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,n∈N*.
+ + +

(1)(2014· 广东)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z 等于( A.-3+4i C.3+4i B.-3-4i D.3-4i

)

?1+i?2=________. (2)(2014· 北京)复数? ? ?1-i?
答案 (1)D (2)-1 解析 (1)方法一 由(3+4i)z=25, 得 z= 25?3-4i? 25 = =3-4i. 3+4i ?3+4i??3-4i? 设 z = a + bi(a , b∈R) ,则 (3 + 4i)(a + bi) = 25 ,即 3a - 4b + (4a + 3b)i = 25 ,所以

方法二

?3a-4b=25, ?a=3, ? ? ? 解得? 故 z=3-4i. ?4a+3b=0, ? ? ?b=-4,

?1+i?2=1+i +2i= i =-1. (2)? ? ?1-i? 1+i2-2i -i
题型三 复数的几何意义 例 3 如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i, -2+4i,试求: → → (1)AO、BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)B 点对应的复数. 思维点拨 结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即可求解. → → → 解 (1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)OB=OA+AB=OA+OC,

2

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→ ∴OB所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的

复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. (1)(2014· 重庆)在复平面内复数 Z=i(1-2i)对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 答案 A 解析 ∵复数 Z=i(1-2i)=2+i, ∵复数 Z 的实部 2>0,虚部 1>0, ∴复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限. z (2)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面内对应的点在 2-i 第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 B.第二象限 D.第四象限 )

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ? ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? ?8?a-2?>0, ?

解得 2<a<6, ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

解决复数问题的实数化思想 典例:(12 分)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. 思维点拨 (1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数问 题转化为实数问题. 规范解答 解 设 x=a+bi (a,b∈R),

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则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,[3 分] 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,[5 分]
2 ? ?4a =4, ? 根据复数相等得 [7 分] 2 2 ?-3?a +b ?=-6, ?

? ? ? ? ?a=1, ?a=1, ?a=-1, ?a=-1, 解得? 或? 或? 或? [9 分] ?b=1 ? ?b=1 ? ? ?b=-1 ? ?b=-1.

故所求复数为
?x=1+i, ?x=1-i, ?x=-1+i, ?x=-1-i, ? ? ? ? ? 或? 或? 或? [12 分] ? ? ? ? ?y=1-i ?y=1+i ?y=-1-i ?y=-1+i.

温馨提醒 法.

(1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方

(2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数 学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.

方法与技巧 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的 过程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题,平移往 往和加法、减法相结合. 3.实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系,即
一一对应 一一对应 → 复数z=a+bi ― ― → 复平面内的点Z?a,b? ― ― → 平面向量OZ

4.复数运算常用的性质: 1+ i 1-i (1)①(1± i)2=± 2i;② =i, =-i; 1-i 1+i 1 3 (2)设 ω=- + i, 2 2 则①|ω|=1;②1+ω+ω2=0;③ ω =ω2. (3)in+in 1+in 2+in 3=0(n∈N*).
+ + +

失误与防范 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
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2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方程 的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,z2∈C,
2 2 z2 1+z2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.若复数 z=(x -1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 答案 A 解析
2 ? ?x -1=0, ? 由复数 z 为纯虚数,得 解得 x=-1,故选 A. ?x-1≠0, ? 2

)

→ → → 2.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的 复数是( A.1-2i C.3+4i 答案 D → → → 解析 因为CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i. z 3.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是( 1+i ) ) B.-1+2i D.-3-4i

A.E B.F C.G D.H 答案 D 解析 由题图知复数 z=3+i, ∴ 3+i ?3+i??1-i? 4-2i z = = = =2-i. 2 1+i 1+i ?1+i??1-i?

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z ∴表示复数 的点为 H. 1+i ?2-i?2 4.(2013· 山东)复数 z= (i 为虚数单位),则|z|等于( i A.25 C.5 答案 C 3-4i 解析 z= =-4-3i, i 所以|z|= ?-4?2+?-3?2=5. 5.(2014· 江西) z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z 等于( A.1+i C.-1+i 答案 D 解析 方法一 设 z=a+bi,a,b 为实数,则 z =a-bi. ∵z+ z =2a=2,∴a=1. 又(z- z )i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故 z=1-i. 2 方法二 ∵(z- z )i=2,∴z- z = =-2i. i 又 z+ z =2,∴(z- z )+(z+ z )=-2i+2, ∴2z=-2i+2,∴z=1-i. 6.(2013· 天津)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=________. 答案 5-5i 解析 (3+i)(1-2i)=3-5i-2i2=5-5i. 3+bi 7.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i 答案 3 解析 = 3+bi ?3+bi??1+i? 1 = = [(3-b)+(3+b)i] 2 2 1-i B.-1-i D.1-i ) B. 41 D. 5 )

3-b 3+b + i. 2 2
? ?a=0, 解得? ∴a+b=3. ?b=3. ?

b , ?a=3- 2 ∴? 3+b ? 2 =b,

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8.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是________. 2 答案 m< 3 解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1)在第三象限内, 2 故 3m-2<0 且 m-1<0,∴m< . 3 9.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 是实数, 求 z2. 解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. 10.复数 z1= 解 3 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a

3 2 z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

3 2 =?a+5+1-a?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ? = a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 11.下面是关于复数 z= 2 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( )

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 答案 C 解析 ∵z= 2 =-1-i, -1+i

∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,
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∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4.

?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( 12.设 f(n)=? ? ? ? ?1-i? ?1+i?
A.1 B.2 C.3 D.无数个 答案 C

)

?1+i?n+?1-i?n=in+(-i)n, 解析 f(n)=? ? ? ? ?1-i? ?1+i?
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,? ∴集合中共有 3 个元素. 13.(2014· 陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 答案 B 解析 原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不一定互为共轭复数,同时因为逆 B.假,假,真 D.假,假,假 )

命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选 B. i 14.在复平面内,复数 对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 答案 A i?1-i? 1+i 1 1 i 解析 ∵复数 = = = + i, 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? 1 1 ∴复数对应的点的坐标是( , ), 2 2 i ∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限. 1+i 15.已知集合 M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},则实数 m 的值为 ________. 答案 3 或 6 解析 ∵M∩N={3},∴3∈M 且-1?M, ∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3 或 m=3, ∴m2-5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3,
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)

B.第二象限 D.第四象限

解得 m=6 或 m=3. 16.若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则 b=________,c= ________. 答案 -2 3 解析 ∵实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个虚根为 1+ 2i, ∴其共轭复数 1- 2i 也是方程的根. 由根与系数的关系知,

??1+ 2i?+?1- 2i?=-b, ? ??1+ 2i??1- 2i?=c,

∴b=-2,c=3.

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