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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期末考试 高二数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1、命题“若 ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0 C.若 ab ? 0, 则a ? 0且b ? 0 )

B. 若a ? 0或b ? 0, 则ab ? 0 D. 若a ? 0且b ? 0, 则ab ? 0 )

2、命题 p : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,若 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, 4? B. ? 0, 4? C. (??,0) ? [4,??) D. ? ??,0? ? ? 4, ???

3、下列各数中最大的数为( ) A.101111(2) B.1210(3) C.112(8) D.69(12) 4、如图所示的程序框图,若输出的 S=31,则判断框内填入的条件是( ) A. i ? 4? B. i ? 5? C. i ? 4? D. i ? 5? 5、从某小学随机抽取 200 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 36 人参加一项活动,则从身高 在[140,150]内的学生中选取的人数应为( ). A.3 B.6 C.9 D.12

(第 4 题图)

(第 5 题图) )

6、袋中装有 3 个黑球、2 个白球、1 个红球,从中任取两个,互斥而不对立的事件是(

A. “至少有一个黑球”和“没有黑球” B. “至少有一个白球”和“至少有一个红球”C. “至少有一[来源:学科网]个 白球”和“红球黑球各有一个” D. “恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 7、利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000,001,002,?,499 的产品进行抽样检验,抽取一个容量为 10 的样本,若选定从第 12 行第 4 列的数开始向右读数, (下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行) ,根据下 图,[来源:学科网]读出的第 3 个数是( )
1

A.584

B.114

C.311

D.160

8、 a, b, c 是空间的一个单位正交基底, p 在基底 a, b, c 下的坐标为 (2,1,5) , 则 p 在基底 a ? b, b ? c, a ? c 下的坐标为( A. (?1, 2,3) ) B. (1, ?2,3) C. (1, 2, ?3) D. (?3, 2,1)

?

? ? ?

?

??

?

? ? ?

?

??

?

? ? ? ? ? ?

?

9、假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机,若这两条短信进入手机的时间之 差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为( ) A.

4 25

B.

9 25

C.

16 25

D.

24 25

10、已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于点 A、 a 2 b2
) D.

B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( A.4 B. C.

11、已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ?

f ( x) ? 0 ,若 a ? f (1) , x

1 1 ) b ? ?2 f (?2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( 2 2 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b
12、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,直线 y ? kx ? 1 与该抛物线交于第一象限内的两点 A,B,若 AF ? 4 FB , 则 k 的值是( A. ) B.

5 4

3 2 4

C.

17 4

D.

2 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13、由曲线 y ?
2

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
2



14、 椭圆 ax ? by ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 与直线 y ? 1 ? 2 x 交于 A, B 两点, 过原点与线段 AB 中点的直线的斜[来源:学科网Z-XK]率



a 3 ,则 的值为 b 2



2

15、 下列命题: ①命题“ 若x2 ? 1, 则x ? 1”的否命题为“ 若x2 ? 1, 则x ? 1”; ②命题“ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的否定是“ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ” ③对于常数 m, n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示的曲线是双曲线” 的充要条件;④“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的必要不充分条件;⑤已知向量 OA, OB, OC 不共面,则向量 OA 可以 与向量 OA ? OB 和向量 OA ? OC 构成空间向量的一个基底.其中说法正确的有 的编号) . 16、设定义域为 ?0,??? 的单调函数 f ( x) ,对任意的 x ? ?0,??? ,都有 f [ f ( x) ? log3 x] ? 4 ,若 x0 是方程 (写出所有真命题

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

f ( x) ? 2 f ?( x) ? 3 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1), a ? N * ,则实数 a ?



三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分) 设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

(1)若 a 是从 1,2,3,4 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有两个 不等实根的概率; (2)若 a 是从区间 ?1, 4? 任取的一个数, b 是从区间 ? 0, 2? 任取的一个数,求上述方程有实根的 概率. 18、(本小题满分 12 分) 某厂采用新技术改造后生产甲产品的产量 x(吨)与相应的生产成本 y(万元)的几组对照 数据.

x y
(1)请画出上表数据的散点图;

3 3

4 3.5

5 4.5

6 5

^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)已知该厂技改前生产 50 吨甲产品的生产成本为 40 万元.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 50 吨甲 产[来源:学+科网ZXK]品的生产成本比技改前降低多少万元? ( 参 考 数 据 :

? xi2 ? 86
i ?1

4

? yi2 ? 66.5
i ?1

4

?x y
i ?1 i

4

i

? 75.5 ,

b?

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

)[来源:学+科网ZXK]

19、(本小题满分 12 分) 如图:四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, 且 AC ? BD ,PA ? 底面ABCD ,PA ? AB ? 1 ,BC ? 3 , 点 F 是 PB 的中点, 点 E 在边 BC 上移动. (1)证明:当点 E 在边 BC 上移动时,总有 EF ? AF ; (2)当 CE 等于何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

3

20、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln x(a ? R) , g ( x ) ? ? x ?
3

5 2 x ? 2x ? 6 2

(1)若 f ( x) 的一个极值点为 1,求 a 的值; (2)设 g ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 b ,当 x ??1, ?? ? 时, f ( x) ? b 恒成立,求 a 的取值范围. 21、(本小题满分 12 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴的椭圆过点 E (1,?

2 3 ) ,且焦距为 2,过点 P(1,1) 分别 3

作斜率为 k1 , k2 的椭圆的动弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)当 k1 ? k2 ? 1 ,直线 MN 是否恒过定点?如果是,求出定点坐标.如果不是,说明理由. 22、(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? x 2 ? a[ x ? f ?( x)] ? 2 x ,讨论函数 F ( x) 的单调性; (3)在第二问的基础上,若方程 F ( x) ? m ,( m ? R )有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,求证: x1 ? x2 ? a .

4

大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期末考试 高二数学(理)参考答案 DCDAB CCACB DA 13.

16 3

14.

3

15. ③⑤

16. 2

17. 解:设事件 A 为“方程有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程有实根的充要条件为 a>b (1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共 12 个: (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (3,2) (4,0) (4,1) (4,2) ??????2 分 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, ??????4 分 ∴事件 A 发生的概率为 P ?

9 3 ? 12 4

??????5 分

(2)由题意知本题是一个几何概型, 试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|1≤a≤4,0≤b≤2} 满足条件的构成事件 A 的区域为{(a,b)|1≤a≤4,0≤b≤2,a≥b}??????8 分

1 ?1?1 11 2 ∴所求的概率是 P ? 1 ? ? 2?3 12
18. 解(1)略 (2)由已知

??????10 分 ??????2 分

?x
i ?1

4

2 i

? 86

?y
i ?1

4

2 i

? 66.5

?x y
i ?1 i

4

i

? 75.5

x ? 4.5

y?4

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

b=
^

^

75.5 ? 4 ? 4 ? 4.5 ? 0.7 86 ? 4 ? 4.52
^

??????5 分[来源:学*科网] ??????7 分 ??????8 分

a= y -b x =4-0.7×4.5=0.85
^ 因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.85

(3)由(2)的回归方程及技改前生产 50 吨甲产品的生产成本,得降低的生产成本为: 40-(0.7×50+0.85)=4.15(万元). ??????12 分

19. 解 解: (1)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴,建立如图所示空间坐标 系 则可得 P(0,0,1) ,B(0,1,0) ,F(0, , ) ,D( 设 BE=x,则 E(x,1,0) 得 可得 ∴ =(x,1,﹣1) [来源:学科网] ,0,0)

=x?0+1× +(﹣1)× =0 ,即 AF⊥PE 成立; ??????5 分
5

(2)求出

=(

,0,﹣1) ,设平面 PDE 的一个法向量为



,得

??????7 分

∵PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°, ∴sin45°= = ,得

=(0,0,1) = ??????9 分

解之得 x= ∴BE=

或 x=

∵BE=x



??????11 分

,即当 CE 等于 2 时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°. ?????12 分

20. 解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ?

a ,令 f ?(1) ? 2 ? a ? a ? 0 ,则 a=1??????3 分 x

经检验,当 a=1 时,1 是 f ( x) 的一个极值点??????4 分 (2) g ?( x) ? ?3x 2 ? 5x ? 2 ? ?( x ? 2)(3x ? 1) , 所 以 g ( x) 在 [1,2] 上 是 增 函 数 , [2,4] 上 是 减 函 数

g ( x) max ? g (2) ? 0

??????7 分

f ( x) ? 0 在 x ??1, ??? 上恒成立,
由 x∈[1,+∞)知,x+ln x>0,
2

??????8 分

所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤ 令 h(x)=

x 在 x∈[e,+∞)时恒成立,??????9 分 x+ln x x?x-1+2ln x? >0,??????10 分 2 ?x+ln x?

x2

x+ln x

,x∈[1,+∞),有 h′(x)=

所以 h(x)在[1,+∞)上是增函数,有 h(x)≥h(1)=1,所以 a≤1 ??????12 分
' 21. 解: (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F (1,0)

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ? 2 3 ??????2 分 3 3

? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

??????4 分

(2)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( xM , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ??????5 分

6

? xM ?

? 3k1k 2 2k 2 , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ? 3k1k 2 2k1 , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

??????7 分

同理? x N ?

??????8 分

当 k1k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?

y M ? y N 10 ? 6k1k 2 ??????9 分 ? xM ? x N ? 9k1k 2

直线 MN 的方程为 y ?

2k 2 10 ? 6k1k 2 ? 3k1k 2 ? (x ? ) ??????10 分 2 ? 9k1k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1k 2 2 2 x ? 此时直线过定点(0, ? ) 3 ? 9k1k 2 3
2 )??????12 分 3

又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ?

当 k1k 2 ? 0 时,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? 综上,直线过定点(0, ?

2 ) 3
.?????2 分

22. (1)解:f′(x)=lnx+1(x>0) ,令 f′(x)=0,得 ∵当 ∴当 时, 时,f′(x)<0;当 .??????3 分

时,f′(x)>0

(2) F′(x)=2x﹣(a﹣2)﹣

(x>0) .

当 a≤0 时,F′(x)>0,函数 F(x)在(0,+∞)上单调递增,函数 F(x)的单调增区间为(0,+∞) . 当 a>0 时,由 F′(x)>0,得 x> ;由 F′(x)<0,得 0<x< . 所以函数 F(x)的单调增区间为 ,单调减区间为 .??????7 分

(3)证明:因为 x1、x2 是方程 F(x)=m 的两个不等实根,由(1)知 a>0. 不妨设 0<x1<x2,则 两式相减得 即 +2x1﹣ ﹣(a﹣2)x1﹣alnx1=c, ﹣(a﹣2)x2﹣alnx2=c.

﹣(a﹣2)x1﹣alnx1﹣

+(a﹣2)?x2+alnx2=0,

﹣2x2=ax1+alnx1﹣ax2﹣alnx2=a(x1+lnx1﹣x2﹣lnx2) .[来源:学科网Z-XK]

所以 a=

.因为 F′

=0,

即证明 x1+x2>


7

即证明



+(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)<

+2x1﹣

﹣2x2,

即证明 ln



.设 t=

(0<t<1) .

令 g(t)=lnt﹣

,则 g′(t)=



因为 t>0,所以 g′(t)≥0,当且仅当 t=1 时,g′(t)=0,所以 g(t)在(0,+∞)上是增函数. 又 g(1)=0,所以当 t∈(0,1)时,g(t)<0 总成立.所以原题得证 ??????12 分

8


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