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河北省保定市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


河北省保定市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},则 A∪B=() A.(﹣4,3) B.(﹣4,2] C.(﹣∞,2] 2. (5 分)设 A.0 ,则 tan(π+x)等于() B. C .1 D.

D.(﹣∞,3)

r />
3. (5 分)函数 y=log3(x﹣1)+ A.(1,2]

的定义域为() C.(2,+∞) D.(﹣∞,0)

B.(1,+∞)

4. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 ﹣74 14.5 ﹣56.7 ﹣123.6 则函数 y=f(x)在区间上的零点至少有() A.2 个 B.3 个 C .4 个 D.5 个 5. (5 分)角 α 满足条件 sinα?cosα>0,sinα+cosα<0,则 α 在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

6. (5 分)如图所示,在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,则下列说法中错误说法的个数是() ①图中所标出的向量中与 ②图中所标出的向量与 ③ ④ 的长度恰为 与 相等的向量只有 1 个(不含 的模相等的向量有 4 个(不含 倍 本身) 本身)

长度的

不共线.

A.4

B.3

C .1

D.0

7. (5 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x)=() A.﹣x﹣1 B.﹣x+1 C.x+1 D.x﹣1

8. (5 分)把函数 y=cos(x+ π)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得到的函数图象正好关于 y 轴对 称,则 φ 的最小值为() A. π B. π C. D. π

9. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

x

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 0 成立,则 a 的取值范围是() A.(0, ] B.( ,1)

,若对任意 xx≠x2,都有



C.(1,2)

D.(﹣1,2)

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)已知函数 f(x)= ,则 f(0)+f(1)=.

12. (4 分)如果角 α 的终边过点(2sin30°,﹣2cos30°) ,则 sinα 的值等于. 13. (4 分)设 a=log33,b=log43,c= ,则 a,b,c 之间的大小关系是.

14. (4 分)已知 表示“向东方向航行 1km”, 表示“向南方向航行 1km”,则 ﹣ 表示“”

15. (4 分)当 0<x<

时,函数 f(x)=

的最大值是.

三、解答题 16. (8 分)已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣1≤x≤m+1} (1)若 m=5,求 A∩B (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围.

17. (8 分)已知 (1)若

=(6,1) , ,求 x 的值

=(x,8) ,

=(﹣2,﹣3)

(2)若 x=﹣5,求证:



18. (10 分)某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价为 5 元,销售单 价与日均销售量的关系如表所示: 销售价格/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 (1)设经营部在进价基础上增加 x 元进行销售,则此时的日均销售量为多少桶? (2)在(1)中,设日均销售净利润(除去固定成本)为 y 元,试求 y 的最大值及其对应的销售单价.

19. (10 分)设 =(1,

) , =(cos2x,sin2x) ,f(x)=2

(1)求函数 f(x)的单调递增区间 (2)若 x ,求函数 f(x)的最大值、最小值及其对应的 x 的值.

20. (14 分)若函数 f(x)在定义域 D 内某区间 1 上是增函数,而 F(x)=

在 1 上是减函数,则

称寒素 y=f(x)在 1 上是“弱增函数” 2 (1)请分析判断函数 f(x)=x﹣4,g(x)=﹣x +4x 在区间(1,2)上是否是“弱增函数”,并简要说明理 由 (2)若函数 h(x)=x ﹣(sinθ﹣ )x﹣b(θ,b 是常数) ,在(0,1]上是“弱增函数”,请求出 θ 及 b 应 满足的条件.
2

河北省保定市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2},则 A∪B=() A.(﹣4,3) B.(﹣4,2] C.(﹣∞,2]

D.(﹣∞,3)

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集的运算法则求解即可. 解答: 解:集合 A={x|﹣4<x<3},B={x|x≤2}, 则 A∪B={x|﹣4<x<3}∪{x|x≤2}={x|x<3}, 故选:D. 点评: 本题考查集合的并集的求法,考查并集的定义以及计算能力.

2. (5 分)设 A.0

,则 tan(π+x)等于() B. C. 1 D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

运用诱导公式化简求值. 计算题. 先利用诱导公式化简 tan(π+x) ,将 x 的值代入,求出正切值. 解:∵tan(π+x)=tanx 时,tan(π+x)=tan =

故选 B. 点评: 给角的值求三角函数值时,应该先利用诱导公式化简三角函数,在将 x 的值代入求出值. 3. (5 分)函数 y=log3(x﹣1)+ A.(1,2] B.(1,+∞) 的定义域为() C.(2,+∞) D.(﹣∞,0)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数式的真数大于 0,根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组,求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得:1<x≤2. 的定义域为(1,2].

∴函数 y=log3(x﹣1)+

故选:A. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题. 4. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 ﹣74 14.5 ﹣56.7 ﹣123.6 则函数 y=f(x)在区间上的零点至少有() A.2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据根的存在定理,判断函数值的符号,然后判断函数零点个数即可. 解答: 解:依题意,∵f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0, ∴根据根的存在性定理可知,在区间(2,3)和(3,4)及(4,5)内至少含有一个零点, 故函数在区间上的零点至少有 3 个, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点个数的判断,用二分法判断函数的零点的方法,比较基础. 5. (5 分)角 α 满足条件 sinα?cosα>0,sinα+cosα<0,则 α 在()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: sinα?cosα>0 得到 sinα 和 cosα 同号;再结合 sinα+cosα<0 即可得到 sinα<0,cosα<0;进而得 到结论. 解答: 解:因为 sinα?cosα>0 ∴sinα 和 cosα 同号. 又∵sinα+cosα<0 ∴sinα<0,cosα<0. 即 α 的正弦和余弦值均为负值. 故 α 的终边在第三象限. 故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数值的符号和象限角.是对基础知识的考查,要想做对,需要熟练掌握三角 函数值的符号的分布规律. 6. (5 分)如图所示,在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,则下列说法中错误说法的个数是() ①图中所标出的向量中与 ②图中所标出的向量与 ③ ④ 的长度恰为 与 相等的向量只有 1 个(不含 的模相等的向量有 4 个(不含 倍 本身) 本身)

长度的

不共线.

A.4

B. 3

C. 1

D.0

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: ①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误; ②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误; ③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误. ④利用向量共线定理即可判断出 与 共线,即可判断出正误. 相等的向量只有 1 个 , , , , (不含 (不含 长度的 本身) ,正确; 本身) ,正确; 倍,正确.

解答: 解:①图中所标出的向量中与 ②图中所标出的向量与

的模相等的向量有 4 个

③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得: ④ 与 共线,因此不正确.

的长度恰为

因此说法中错误说法的个数是 1. 故选:C. 点评: 本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简 易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f(x)=() A.﹣x﹣1 B.﹣x+1 C.x+1 D.x﹣1 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,x<0 时,﹣x>0,求出 f(﹣x)的表达式,再利用奇函数求出 f(x)的表达式. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且 x>0 时,f(x)=﹣x+1, ∴当 x<0 时,﹣x>0, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)+1=x+1; 又 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴﹣f(x)=x+1, ∴f(x)=﹣x﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题,是基础题目.

8. (5 分)把函数 y=cos(x+ π)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得到的函数图象正好关于 y 轴对 称,则 φ 的最小值为() A. π B. π C. D. π

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,可得结论. 解答: 解:把函数 y=cos(x+ π)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得到的函数图象对应的函数的 解析式为 y=cos(x﹣φ+ ) , =kπ,k∈z,即 φ= ﹣kπ,故 φ 的最小值为 ,

由于所得图象正好关于 y 轴对称,则﹣φ+

故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于基础题. 9. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 解答: 解:函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=a 的图象向下平移 个单位得到的. 当 a>1 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B. 当 1>a>0 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数函数的图象变换, 指数函数的单调性和特殊点, 体现了分类讨论的数学思想, 属于基础题.
x x x x

10. (5 分)已知函数 f(x)= 0 成立,则 a 的取值范围是() A.(0, ] B.( ,1)

,若对任意 xx≠x2,都有



C.(1,2)

D.(﹣1,2)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 0 分析: 由条件可得,f(x)在 R 上是单调递减函数,则 0<a<1①,a﹣2<0,即 a<2②,a ≥(a﹣2) ×0+2a③,求出它们的交集即可. 解答: 解:由于对任意 x1≠x2,都有 则 f(x)在 R 上是单调递减函数, 当 x<0 时,y=a 为减,则 0<a<1;① 当 x≥0 时,y=(a﹣2)x+5a 为减,则 a﹣2<0,即 a<2;② 由于 f(x)在 R 上是单调递减函数, 则 a ≥(a﹣2)×0+2a,解得 a≤ .③ 由①②③得,0<a≤ . 故选 A. 点评: 本题考查分段函数及运用,考查分段函数的单调性,注意各段的单调性,以及分界点的情况,属 于中档题和易错题. 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)已知函数 f(x)= ,则 f(0)+f(1)=1.
0 x

<0 成立,

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 直接利用分段函数,化简求解函数值即可. 解答: 解:函数 f(x)= ,则 f(0)+f(1)=(0﹣1)+(1+1)=1;

故答案为:1. 点评: 本题考查分段函数以及函数值的求法,考查计算能力.

12. (4 分)如果角 α 的终边过点(2sin30°,﹣2cos30°) ,则 sinα 的值等于



考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先利用角 α 的终边求得 tanα 的值,进而利用点(2sin30°,﹣2cos30°)判断出 α 的范围,进而利 用同角三角函数的基本关系求得 sinα 的值. 解答: 解:依题意可知 tanα= ∵,﹣2cos30°<0,2sin30°>0 ∴α 属于第四象限角 ∴sinα=﹣ =﹣ =﹣

故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用.解题的关键是利用 α 的范围确定 sinα 的正负. 13. (4 分)设 a=log33,b=log43,c= ,则 a,b,c 之间的大小关系是 c<b<a.

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的性质进行计算即可. 解答: 解:∵ = < <1= ;

∴c<b<a, 故答案为:c<b<a. 点评: 本题考查了对数函数的性质,是一道基础题.

14. (4 分)已知 表示“向东方向航行 1km”, 表示“向南方向航行 1km”,则 ﹣ 表示“向东北方向航行 km;” 考点: 向量的几何表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量表示的几何意义,画出图形,进行解答即可. 解答: 解:∵ 表示“向东方向航行 1km”, 表示“向南方向航行 1km”,

∴﹣ 表示“向北方向航行 1km”,

∴ ﹣ 表示“向东北方向航行

km”如图所示.

故答案为:向东北方向航行 km. 点评: 本题考查了平面向量的几何意义,是基础题目.

15. (4 分)当 0<x<

时,函数 f(x)=

的最大值是﹣ .

考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 1 的代换,利用换元法将函数进行转化,利用一元二次函数的性质进行求解. 解答: 解:f(x)= 设 t=tanx, ∵0<x< ,∴0<tanx<1, = =tanx﹣(tanx) ﹣1,
2

即 0<t<1, 则函数 f(x)等价为 y=﹣t +t﹣1=﹣(t﹣ ) ﹣ , ∴当 t= 时,函数取得最大﹣ , 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查函数最值的求解,根据条件利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本 题的关键. 三、解答题 16. (8 分)已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣1≤x≤m+1} (1)若 m=5,求 A∩B (2)若 B?A,求实数 m 的取值范围. 考点: 交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合.
2 2

分析: (1)若 m=5,求出集合 B,即可求 A∩B (2)若 B?A,根据集合关系即可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)因为 m=5,所以 B={x|4≤x≤6}.…(1 分) 所以 A∩B={x|4≤x≤6}…(3 分) (2)易知 B≠?,…(4 分) 所以由 B?A 得 …(7 分)

得﹣1≤m≤4…(8 分) 点评: 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

17. (8 分)已知 (1)若

=(6,1) , ,求 x 的值

=(x,8) ,

=(﹣2,﹣3)

(2)若 x=﹣5,求证:



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由 (2)当 x=﹣5 时,可得 解答: 解: (1)∵ 又∵ 解得 x= (2)当 x=﹣5 时, ∵ ∴ =(6,1) ,∴ . = + + =(4+x,6)=(﹣1,6) , 可得﹣3x=﹣2×8,解方程可得; 的坐标,可得 =0,可判垂直.

=(x,8) ,

=(﹣2,﹣3)

,∴﹣3x=﹣2×8,

=﹣1×6+6×1=0

点评: 本题考查数量积与向量的垂直关系和平行关系,属基础题. 18. (10 分)某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价为 5 元,销售单 价与日均销售量的关系如表所示: 销售价格/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 (1)设经营部在进价基础上增加 x 元进行销售,则此时的日均销售量为多少桶? (2)在(1)中,设日均销售净利润(除去固定成本)为 y 元,试求 y 的最大值及其对应的销售单价. 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)利用表格的特征变化规律,推出关系式,即可在经营部在进价基础上增加 x 元进行销售, 求出此时的日均销售量的桶数. (2)在(1)中,设日均销售净利润(除去固定成本)为 y 元,求出函数的解析式,利用二次函数的最值 求解最大值及其对应的销售单价. 解答: 解: (1)由表可以看出,当销售单价每增加 1 元时,日均销售量将减少 40 桶.…(2 分) 当经营部在进价基础上增加 x 元进行销售时,此时的日均销售量为: 480﹣40(x﹣1)=520﹣40x(桶)…(5 分) (2)因为 x>0,且 520﹣40x>0,所以 0<x<13…(6 分) 2 所以 y=(520﹣40x)x﹣200=﹣40x +520x﹣200,0<x<13.…(8 分) 易知,当 x=6.5 时,y 有最大值 1490 元. 即只需将销售单价定为 11.5 元,就可获得最大净利润 1490 元.…(10 分) (本题改编自教科书 104 页例 5) 点评: 本题考查函数的最值,实际问题的应用,考查分析问题解决问题的能力.

19. (10 分)设 =(1,

) , =(cos2x,sin2x) ,f(x)=2

(1)求函数 f(x)的单调递增区间 (2)若 x ,求函数 f(x)的最大值、最小值及其对应的 x 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1) 由两角和与差的正弦函数公式化简可得 ( f x) =4sin (2x+ (k∈Z)可解得函数 f(x)的单调递增区间. (2)由 x 其对应的 x 的值. 解答: 解: (1)f(x)=2(cos2x+ 由 2k ≤2x+ ≤2k sin2x)=4( cos2x+ sin2x)=4sin(2x+ (k∈Z) )…(3 分) ,可得 2x+ ∈,由正弦函数的图象和性质即可求函数 f(x)的最大值、最小值及 ) , 由 2k ≤2x+ ≤2k

(k∈Z)可解得:kπ﹣

≤x≤kπ

故函数 f(x)的单调递增区间是: (k∈Z)…(5 分) (2)∵x ∴当 x= 当 x= ,∴2x+ ∈,…(6 分)

时,函数 f(x)的最大值为 4…(8 分) 时,函数 f(x)的最大值为﹣2…(10 分)

点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知 识的考查.

20. (14 分)若函数 f(x)在定义域 D 内某区间 1 上是增函数,而 F(x)= 称寒素 y=f(x)在 1 上是“弱增函数”

在 1 上是减函数,则

(1)请分析判断函数 f(x)=x﹣4,g(x)=﹣x +4x 在区间(1,2)上是否是“弱增函数”,并简要说明理 由 (2)若函数 h(x)=x ﹣(sinθ﹣ )x﹣b(θ,b 是常数) ,在(0,1]上是“弱增函数”,请求出 θ 及 b 应 满足的条件. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据“弱增函数”的定义,判断 f(x) 、g(x)在(1,2)上是否满足条件即可; (2)根据“弱增函数”的定义,得出①h(x)在(0,1)上是增函数, 出不等式组,求出 b 与 θ 的取值范围. 解答: 解: (1)由于 f(x)=x﹣4 在(1,2)上是增函数,且 F(x)= 增函数, 所以 f(x)=x﹣4 在(1,2)上不是“弱增函数”…(2 分) g(x)=﹣x +4x 在(1,2)上是增函数,但
2 2 2

2

在(0,1)上是减函数,列

=1﹣ 在(1,2)上也是

=﹣x+4 在(1,2)上是减函数,

所以 g(x)=﹣x +4x 在(1,2)上是“弱增函数”…(4 分) (2)设 h(x)=x ﹣(sinθ﹣ )x﹣b(θ、b 是常数)在(0,1)上是“弱增函数”, 则①h(x)=x ﹣(sinθ﹣ )x﹣b 在(0,1)上是增函数,
2 2

由 h(x)=x ﹣(sinθ﹣ )x﹣b 在(0,1)上是增函数得 ∴sinθ≤ ,θ∈(k∈Z) ; ②H(x)= …(8 分)

2

≤0,…(6 分)

=x﹣ + ﹣sinθ 在(0,1)上是减函数,

记 G(x)=x﹣ ,在(0,1)上任取 0<x1<x2≤1, 则 G(x1)﹣G(x2)= (x1x2+b)>0 恒成立,…(11 分)

又∵

<0,∴x1x2+b<0 恒成立,

而当 0<x1<x2≤1 时,0<x1x2<1,∴b≤﹣1; (如果直接利用双沟函数的结论扣 2 分) ∴b≤﹣1; 且 θ∈(k∈Z)时,h (x)在(0,1]上是“弱增函数”.…(14 分) 点评: 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了函数与导数的应用问题,考查了新定义 的应用问题,考查了分析与解决问题的能力,是综合性题目.


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