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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3三个正数的算术—几何平均不等式学案 新人教A版选修4-5


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3 三个正数的算术—几何平 均不等式学案 新人教 A 版选修 4-5
【学习目标】1.了解三个正数的算术—几何平均不等式; 2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题. 【重点难点】三个正数的算术—几何平均不等式的应用. 【学习过 程】 一、问题情景导入: 1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系,这个不等式能否推广呢?例 如,对于 3 个正数,会有怎样的不等式成立?
3 3 3 2.证明:已知 a, b, c ? R? , 那么 a ? b ? c ? 3abc,当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立.

二、自学探究: (阅读课本第 8- 9 页,完成 下面知识点的梳理 ) 1. 定 理 3. 如 果 a, b, c ? R? , 那 么 时,等号成立. 即:三个正数的

a?b?c 3
.

,当且仅当

不小于它们的

2 推广:对于 n 个正数 a 1 , a2 ,?, an ,它们的算术平均 它们的几何平均 . ,即 时,等号成立. 二、例题演练: 题型一.应用三个正数的算术—平均不等式求函数的最值: 例 1 若 x ? 0 ,则 4 x ? A.9 B. 33 36 ,当 且仅当

9 的最小值是( x2
C.13



D.不存在

变式.:若 2a ? b ? 0 ,则 a ? A.3 B.1

4 的最小值为( ?2a ? b? ? b
D.12



C.8

题型二.应用三个正数的算术—几何平均 不等式 证明不等式:
1

例 2.已知 a, b, c ? R? ,求证: ?

? a b c ?? b c a ? ? ? ?? ? ? ? ? 9 ? b c a ?? a b c ?

变式 :设 a, b, c ? R? ,求证:

1 1 1 ? 2 ? 2 ? abc ? 2 3 2 a b c

题型三.应用三个正数的算术—几何平均不等式解决实际问题:

1 1 的时间以速度 q 行走,最后用 的时间 3 3 1 1 1 以速度 r 行走;乙在前 的路程用速度 p 行走,中间 的路程用速度 q 行走,最后 的路 3 3 3
例 3 甲乙两人同时从 A 地出发走向 B 地 ,甲先用 程用速度 r 行走 ? p ? q ? r ? ,问甲、乙两人谁先到达 B 地,为什么?

【课堂小结与反思】

2

【课后作业与练习】 1.函数 f ?x ? ? x?5 ? 2 x ? ? 0 ? x ?
2

? ?

5? ? 的最大值是 2?

.

2.求函数 y ? 2 x ?
2

3 ( x ? 0) 的最小值. x

3.设 x, y, z ? R? 且 x ? y ? z ? 6 ,则 lg x ? lg y ? lg z 的取值范围是( A. ?? ?, lg 6? C. ?lg 6,??? B. ?? ?,3 lg 2? D. ?3 lg 2,???



4.若正数 x, y .满足 xy ? 4 ,则 x ? 2 y 的最小值为
2

.

? 1 1 1? 5.已知 a, b, c 均为正数,证明:a ? b ? c ? ? ? ? ? ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等 ?a b c?
2 2 2

2

号成立.

3

6.设 a, b, c ? 0 ,求证: ?a ? b ? c ??

1 1 ? 9 ? 1 ? ? ?? . ?a?b b?c a?c? 2

7.函数 y ? x 2 ?1 ? 5 x ?? 0 ? x ?

? ?

1? ? 的最大值是 5?

.

8.设 x, y, z ? R? 且 x ? 3 y ? 4 z ? 6 ,则 x 2 y 3 z 的最大值是 .

9.已知 a, b, c 为正数,求证:

b?c?a c?a?b b?a?c ? ? ?3. a b c

10.把一块边 长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形 ,把它折转做成一个无盖 方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?

4


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