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山西省2015届高三第三次四校联考数学(理)试卷


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2015 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学试题(理)
命题:临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中
(满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正 确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 4, x ? R}, B ? {x | x ? 4, x ? Z},则 A ? B ? A. (0 , 2) B. [0 , 2] C. {0 , 1 , 2} D. {0 , 2} 2. 复数 z ?

2 ? 4i ( i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i A. (3,1) B. (?1,3) C. (3, ?1) D. (2, 4)
A. ?

3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

8 3

B.

16 ? 3

C. 8?

D. 16?

4. 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 an ? 0 ,q ? 1,

a3 ? a5 ? 20, a2a6 ? 64 ,则 S5 ?
A.31 B. 36 C. 42 D.48

?x ? 2 y ? 0 ? 5. 设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大为 6 ,则 z 的最小值为 ?0? y?k ?
A. ?3 B. ?2 C. ?1 D. 0 6. 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每 个班至少去一名的不同分派方法种数为 A. 150 B. 180 C. 200 D. 280

7. 执行如图的程序框图,则输出 S 的值为 A. 2016 8. 若 ( x ?
6

B. 2

C.

1 2

D.

1 x x

) n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于
B. 4 C. 5 D. 6

A. 3

9. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列, 把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 得到函数 g ( x) 的图象.关于函数 6

? 2

g ( x) ,下列说法正确的是

-1-

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A. 在 [

? ?

, ] 上是增函数 4 2

B. 其图象关于直线 x ? ? D. 当 x ? [

?
4

对称

C. 函数 g ( x) 是奇函数

? 2

2 x sin( ? 6 x) 2 10. 函数 y ? 的图象大致为 x 4 ?1

?

, ? ] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?2 , 1] 6 3

11. 在正三棱锥 S ? ABC 中,M 是 SC 的中点,且 AM ? SB ,底面边长 AB ? 2 2 ,则正三棱 锥 S ? ABC 的外接球的表面积为 A. 6? B. 12?
2 2

C. 32?

D. 36?

12. 过曲线 C1 :

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切点 2 a b 为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,若

MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为
A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 D.

5 ?1 2

第Ⅱ卷(非选择题

90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知 a ? (1, ?2), a ? b ? (0, 2) ,则 | b |? ____________. 14. 设随机变量 X ~ N (3, ? 2 ) ,若 P( X ? m) ? 0.3 ,则 P( X ? 6 ? m) ? ____________.

?1 ? x 2 , x ? 1 1 15. 函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? mx ? 恰有四个不相等的实数根, 则实数 m 的 2 ?ln x, x ? 1
取值范围是____________. 16. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a2 ? 1 ,?nSn ? (n ? 2)an ? 为等差数列,则 ?an ? 的 通项公式 an ? ____________. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 a cos (1)求证: a、b、c 成等差数列; (2)若 B ?
2

C A 3 ? c cos 2 ? b 2 2 2

?
3

, S ? 4 3,求 b .

18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别

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为 2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手分别从甲、乙两袋 中取球. (1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的 成功取法次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分)

E ,F 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
分别是 CC1 、 BC 的中点, AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二

B1

D

A1 C1

A B F

E

14 面角的余弦值为 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说 14
明理由. 20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C :

C

x2 y 2 4 b ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经过 3 3 a 2 b2

椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直 线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ?

a ? ln x (e , f (e)) 处的切线与直线 e 2 x ? y ? e ? 0 垂直 ,若曲线 f ( x) 在点 x

(其中 e 为自然对数的底数). (1)若 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

f ( x) 2e x ?1 (2)求证:当 x ? 1 时, . ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)
请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM ,

M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、

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B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O
于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽ △ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? (?为参数) .以 O 为极点, x 轴的 ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、P,

与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x ) =| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求 f ( x) ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. |a|

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2 015 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考 理 科 数 学 参 考 答 案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5: CABAA 6-10:ABCDD 11-12:BD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

17

14. 0.7

15. ( ,

1 1 ) 2 e

16.

n 2 n ?1

三、解答题: 17.解: (1)由正弦定理得: sin A cos

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? sin C ? sin B 即 sin A 2 2 2 ∴ sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3 sin B 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3 sin B ∵ sin(A ? C ) ? sin B ∴ sin A ? sin C ? 2 sin B 即 a ? c ? 2b ∴ a、b、c 成等差数列。
2

???2 分 ???4 分

???6 分 ???8 分 ???10 分 ???12 分

1 3 ∴ ac ? 16 ac sin B ? ac ? 4 3 2 4 又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? 3ac 2 2 由(1)得: a ? c ? 2b ∴ b ? 4b ? 48 2 ∴ b ? 16 即b ? 4 18.解: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” ,
(2)∵ S ? 则 P( A) ? 1 ?

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? 9?9 3

???4 分

(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 左手所取的两球颜色相同的概率为 ? 2 C9 18

???6 分

右手所取的两球颜色相同的概率为

C32 ? C32 ? C32 1 ? C92 4

???7 分

5 ?? 1 ? 13 3 13 ? P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24
P( X ? 1) ?
P ( X ? 2) ?

5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 18 4 18 4 18
5 1 5 ? ? 18 4 72
X 0 1 2 ???10 分

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所以X的分布



13 24

7 18

5 72

列为:

E( X ) ? 0 ?
19. (1)证明:

13 7 5 19 ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36
AE ? A1B1 , A1B1 ∥ AB

???12 分

? AB ? AE



AB ? AA1


? AB ? 面 A1 ACC1

A E? A1A ? AC ? 面 A1 ACC1

A
B1 D

z A1 C1

???2 分 ? A B? A C 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz 则 A? 0,0,0? , E ? 0,1, ? , F ? , ,0 ? , A 1 (0,0,1) , B 1 (1,0,1) 设 D ? x, y, z ? 且 ? ? [0,1] , 即 :
A x B F

? ?

? x,

y, z ? 1 0D ? ?, 0 ,?1 ? ? ? ? 1, 0 ? ,?

?1 1 ? ?2 2 ? , A 1D ? ? A 1B 1

1? 2?

E C y

1 ?1 ? ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ?2 ? 1? ? ? AE ? ? 0 , 1 , ? 2? ? 1 1 ? DF AE ? ? ? 0 ? DF ? AE 2 2
(2)假设存在,设面 DEF 的法向量为 则 ?

???5 分 ???6 分

n ? ? x, y, z ? ,

? n FE ? 0 ?n DF ? 0

1 ? 1 1 1? ?1 ? FE ? ? ? , , ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ? 2 2 2? ?2 ?

1 1 ? 1 ? x? y? z ?0 ? 2 2 ? 2 ?? 1 1 ? ?? ???x? y? z ? 0 ? ? 2 ? ?? 2

? n ? ?3 , 1 ? ? 2 ,? 2? ? 1 ?? .

3 ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? z ? 即: ? ? y ? 1 ? 2? z ? 2 ?1 ? ? ? ?

令 z ? 2 ?1 ? ? ?

???8 分 ???9 分

由题可知面 ABC 的法向量 m ? ? 0,0,1? 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面的余弦值为

14 14
2 2

? cos m, n ?
?? ?

?

?

mn m n

?

14 14

即:

2 ?1 ? ? ? 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?

?

14 14

1 7 或? ? (舍) 2 4 ? 当点 D 为 A1B1 中点时,满足要求.

???11 分 ???12 分

20.解: (1) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

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4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3
又点 P 在椭圆 C 上,?

① ② ③

???1 分

16 b2 ? ? 1, ? a2 ? 2 9a2 9b2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

???3 分 ???4 分 ???5 分

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
d1 ? d 2 ? ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

???8 分

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立, k2 ?1
?? ? 1 ?? ? ?1 解得, ? 1 或? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意. 总上,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1. ???12 分 21.解: (1)∵ f ?( x) ?

1 ? a ? ln x x2 1 a 1 由已知 f ?(e) ? ? 2 ∴ - 2 ? ? 2 得a ?1 e e e 1 ? ln x ln x f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) ∴ f ( x) ? x x 当 x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。 ∴ x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点 又 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值 ∴ m ? 1 ? m ?1 即0 ? m ?1 (0,1 ) 故实数 m 的取值范围是

???2 分

???4 分

???5 分

(2)

f ( x) 2e x ?1 ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

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1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x ???6 分 e ?1 x xe ? 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) 令 g ( x) ? x [( x ? 1)(ln x ? 1)]? x ? ( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x ? 则 g ?( x) ? x2 x2 1 x ?1 ? 1? ? 再令 ?(x) ? x ? ln x 则 ? ?(x) x x ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ ? ?( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在 上是增函数 ∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ∴ g ?( x) ? 0 ( 1, ? ?) ∴ g ( x) 在 上是增函数 g ( x) 2 ? ∴ x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 故 ???9 分 e ?1 e ?1 2e x ?1 令 h( x ) ? xe x ? 1 e x ?1 ( xe x ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) 则 h?( x) ? 2 ? ( xe x ? 1) 2 ( xe x ? 1) 2 x ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ 1 ? e ? 0 ∴ h ?( x) ? 0 即 h( x) 上是减函数 2 ∴ x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? ???11 分 e ?1 g ( x) f ( x) 2e x ?1 ? h( x ) , 即 所以 ???12 分 ? e ?1 e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1) 22. 证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, PN NA 2 2 ? ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴ , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . ???5 分
即为 (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ???10 分 23.解: (1)圆 C 的普通方程为 ( x ?1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ???5 分
2 2

? ? ? 2 cos ? (2)设 P( ?1 ,?1 ) ,则由 ? ? ? ?? ? 3 ?

解得 ?1 ? 1, ?1 ?

?
3

???7 分

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 Q( ?2 ,?2 ) ,则由 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ???9 分 ? ? 3 ? ? ? 3 ? | PQ | ? 2 所以 ???10 分

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24.解: (1)由 f ( x) ? x ? 2 得:
? x?2?0 ? x?2?0 ? x?2?0 ? ? ? 或 或 ???3 分 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 1 ?x ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?

解得 0 ? x ? 2 所以 f ( x) ? x ? 2 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} (2) | a ? 1| ? | 2a ? 1| ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3
|a| a a a a

???5 分

当且仅当 ?1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 时,取等号.
? ? ?? a ?? ? a?

???8 分

由不等式 f ( x) ? | a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,可得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3
|a|

解得: x ? ?

3 3 或x? . 2 2 3 2 3 2
???10 分

故实数 x 的取值范围是 ( ??, ? ] ? [ , ??)

-9-


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