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第六章第6讲数学归纳法


第 6 讲 数学归纳法

,[学生用书 P122])

数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立.

1.辨明两个易误

点 (1)数学归纳法证题时,误把第一个值 n0 认为是 1,如证明多边形内角和定理(n-2)π 时, 初始值 n0=3. (2)数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: ①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题 时要搞清从 n=k 到 n=k+1 增加了哪些项或减少了哪些项. 2.明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法, 它们的表述严格而且规范, 两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着 “已知条件”的作用,在 n=k+1 时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键 是“一凑假设,二凑结论”.

1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( 2

)

A.1 B.2 C.3 D.0 答案:C 2.用数学归纳法证明 1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从 n=k 到 n=k+1,左 边需增添的代数式是( ) A.2k+2 B.2k+3 C.2k+1 D.(2k+2)+(2k+3) 答案:D

考点一 用数学归纳法证明等式[学生用书 P122] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n + + +?+ = (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) 4(n+1) 1 1 [证明] (1)当 n=1 时,左边= = , 2×1×(2×1+2) 8 右边= 1 1 = . 4×(1+1) 8

左边=右边,所以等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*且 k≥1)时等式成立,即有 1 1 1 1 k + + +?+ = , 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) 4(k+1) 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 + + +?+ + 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) 2(k+1)[2(k+1)+2] = = = = k(k+2)+1 k 1 + = 4(k+1) 4(k+1)(k+2) 4(k+1)(k+2) (k+1)2 4(k+1)(k+2) k+1 4(k+2) k+1 . 4(k+1+1)

所以当 n=k+1 时,等式也成立, 由(1)、(2)可知,对于一切 n∈N*等式都成立. 用数学归纳法证明恒等式的注意事项 (1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时等式成立. (2)由 n=k 证明 n=k+1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法. 1 1 1 1.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*).求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n) 2 3 n -1](n≥2,n∈N*). 证明:(1)当 n=2 时,左边=f(1)=1,

1 ? 右边=2? ?1+2-1?=1,左边=右边,等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k) =(k+1)f(k)-k 1 =(k+1)?f(k+1)-k+1?-k

?

?

=(k+1)f(k+1)-(k+1) =(k+1)[f(k+1)-1], 所以当 n=k+1 时结论仍然成立. 由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).

考点二 用数学归纳法证明不等式[学生用书 P123] 2+1 4+1 2n+1 · ·?· > n+1. 2 4 2n

用数学归纳法证明不等式

3 [证明] (1)当 n=1 时,左式= ,右式= 2, 2 左式>右式,所以结论成立. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立, 即 2+1 4+1 2k+1 · ·?· > k+1, 2 4 2k

2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 2k+3 则当 n=k+1 时, · ·?· · > k+1· = , 2 4 2k 2(k+1) 2(k+1) 2 k+1 由 2k+3 (k+1)+(k+2) 2k+3 = > (k+1)(k+2),可得 > k+2, 2 2 2 k+1

所以,当 n=k+1 时,结论成立. 2+1 4+1 2n+1 由(1)(2)可知,n∈N*时,不等式 · · ?· > n+1成立. 2 4 2n 数学归纳法证明不等式的注意事项 (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学 归纳法; (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 成立,推证 n=k+1 时也成立,证明时用 上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.
2 * 2.已知数列{an},an≥0,a1=0,a2 an<an n+1+an+1-1=an.求证:当 n∈N 时,
+1

. 证明:(1)当 n=1 时,因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的正根,所以 a1<a2.

(2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,0≤ak<ak+1, 2 2 2 则由 a2 k+1-ak =(ak+2+ak+2-1)-(ak+1+ak+1-1) =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得 ak+1<ak+2,即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立. 根据(1)和(2),可知 an<an+1 对任何 n∈N*都成立.

考点三 归纳—猜想—证明[学生用书 P123] 1 1 1 1 3 1 已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N*. 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. [解] (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1, 所以 f(1)=g(1); 9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= , 8 8 所以 f(2)<g(2); 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= ,所以 f(3)<g(3). 216 216 (2)由(1)猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时不等式成立, 1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k 那么,当 n=k+1 时, 1 3 1 1 f(k+1)=f(k)+ < - 2+ , (k+1)3 2 2k (k+1)3 1 k+3 1 1 ?1 ? 因为 2- 2k2- (k+1)3?=2(k+1)3-2k2 2(k+1) ? = -3k-1 <0, 2(k+1)3k2

3 1 所以 f(k+1)< - =g(k+1), 2 2(k+1)2 由①、②可知,对一切 n∈N*, 都有 f(n)≤g(n)成立.

“归纳——猜想——证明”的模式 “ 归纳 —— 猜想 —— 证明 ” 的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模 式. 其一般思路是: 通过观察有限个特例, 猜想出一般性的结论, 然后用数学归纳法证明. 这 种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是

归纳、猜想出公式. 3.(2016· 南京模拟)已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论. 3 7 15 1 解:(1)将 n=1,2,3 分别代入可得 a1= ,a2= ,a3= ,猜想 an=2- n. 2 4 8 2 (2)证明:①由(1)得 n=1 时,命题成立. 1 ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,即 ak=2- k, 2 那么当 n=k+1 时, a1+a2+?+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+?+ak=2k+1-ak, 所以 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 1 1 所以 2ak+1=2+2- k,ak+1=2- k+1, 2 2 即当 n=k+1 时,命题也成立. 1 根据①、②得,对一切 n∈N*,an=2- n都成立. 2

1.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:选 C.边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对 角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n-1 条. 2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是( ) * A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(其中 k∈N ) B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(其中 k∈N*) C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(其中 k∈N*) D.假设 n=k 时正确,再推 n=k+2 时正确(其中 k∈N*) 解析:选 B.因为 n 为正奇数,所以 n=2k-1(k∈N*). 1 1 1 3.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等 2 3 2 -1 式成立,推理 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 1 1 1 解析:当 n=k 时,要证的式子为 1+ + +?+ k <k;当 n=k+1 时,要证的式子为 2 3 2 -1

1 1 1 1 1 1 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 <k+1.左边增加了 2k 项. 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 答案:2k 1 1 1 5 4. (2016· 九江模拟)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*), 经计算得 f(4)>2, f(8)> , f(16)>3, 2 3 n 2 7 f(32)> ,则其一般结论为________. 2 n+2 4 5 6 7 解析:因为 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> ,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 2 2 2 2 n+2 答案:f(2n)> (n≥2,n∈N*) 2 5.求证:(n+1)(n+2)· ?· (n+n)=2n·1·3·5·?·(2n-1)(n∈N*). 证明:(1)当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立; (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立, 即(k+1)(k+2)· ?· (k+k) k =2 ·1·3·5·?·(2k-1), 那么当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)· ?· (k+1+k+1) =(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k·1·3·5·?·(2k-1)(2k+1)· 2 + =2k 1·1·3·5·?·(2k-1)(2k+1). 这就是说当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可知,对所有 n∈N*等式成立. 6.(2014· 高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*, 且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由题意知 S2=4a3-20,所以 S3=S2+a3=5a3-20. 又 S3=15,所以 a3=7,S2=4a3-20=8. 又 S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, 所以 a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 综上知,a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,结论显然成立; ②假设当 n=k(k≥1)时,ak=2k+1, k[3+(2k+1)] 则 Sk=3+5+7+?+(2k+1)= =k(k+2). 2 又 Sk=2kak+1-3k2-4k, 所以 k(k+2)=2kak+1-3k2-4k, 解得 2ak+1=4k+6, 所以 ak+1=2(k+1)+1,即当 n=k+1 时,结论成立. 由①②知,对于?n∈N*,an=2n+1.


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