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数学错题


数学错题

江苏卷
10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ? [m, m ? 1] , 都有 f ( x) ? 0 成立 , 则实数 m 的取 值范围是 ▲ .

11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ?

b (a,b 为常数) 过点 P (

2,?5) ,且该曲线在 x 点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 ▲ .

【答案】 ?2 【 解析 】曲 线 y ? ax ?
2

b b b 过 点 P( 2,? 5),则 4a ? ? ?5 ① ,又 y ' ? 2ax ? 2 , 所 以 x 2 x

4a ?

?a ? ?1, b 7 ? ? ②,由①②解得 ? 所以 a ? b ? ?2 . 4 2 ?b ? ?1,

14. 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ . 19. 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1,??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,并证明你的结论.

20. 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? a m ,则称
{a n } 是“H 数列”.

(1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {a n } 是“H 数列”; (2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {a n } 是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列”{bn } 和 {c n } ,使得 a n ? bn ? cn ( n ? N ? )成立. 21D. 已知 x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy. 23. 已知函数 f 0 ( x) ? sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 为 f n?1 ( x ) 的导数, n ? N ? . x (1)求 2 f1 ? ? ? f 2 ? 的值; 2 2 2 (2)证明:对任意的 n ? N ? ,等式 nf n?1 ? ? ? f n ? ? 2 成立. 4 4 4 2

??

??

??

??

湖北卷
9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. )

?
3

,则椭

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时,f ( x) ? 若 ?x ? R ,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为 A.[ ?

1 ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) . 2

1 1 , ] 6 6

B.[ ?

6 6 ] , 6 6

C.[ ?

1 1 , ] 3 3

D.[ ?

3 3 ] , 3 3

14.设 f ?x ? 是 定 义 在 ?0,??? 上 的 函 数 , 且 f ?x ? ? 0 , 对 任 意 a ? 0, b ? 0 , 若 经 过 点

?a, f ?a??, ?b, f ?b??的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a, b 关于函数 f ?x ? 的平均数,记
为 M f (a, b) , 例如, 当 f ?x ? ? 1( x ? 0) 时, 可得 M f ( a, b) ? c ? 的算术平均数. (1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (2)当当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 21.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的 轨迹为 C. (1)求轨迹为 C 的方程 设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点, 三个公共点时 k 的相应取值范围。 22.(满分 14 分) ? 为圆周率,e=2.71828?为自然对数的底数。 ⑴求函数 f ( x ) ?
3 e

a?b , 即 M f (a, b) 为 a , b 2

2 ab ; a?b

ln x 的单调区间; x
e

⑵求 e ,3 , e , ? ,3 , ? 这六个数中的最大数与最小数;
3

?

?

⑶将 e ,3 , e , ? ,3 , ? 这六个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论。
3 e e 3

?

?

安徽卷
8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60 ? 的共有( A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 9.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ? 1 或 ? 4 D. ? 4 或 8 ) )

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a, b, a ? b ? 1, a ? b ? 0, 点 Q 满足

OQ ? 2(a ? b) .曲线 C ? P OP ? a cos? ? b sin ? ,0 ? ? ? 2? ,区域
? ? P 0 ? r ? PQ ? R, r ? R .若 C ? ? 为两段分离的曲线,则(
A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3
n

)

D. 1 ? r ? 3 ? R

? x? 13. 设 a ? 0, n 是大于 1 的自然数, ?1 ? ? 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? an x n .若点 ? a?
Ai (i, ai )(i ? 0,1,2) 的位置如图所示,则 a ? ______

15. 已知两个不相等的非零向量 a, b, 两组向量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 和 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个

a 和 3 个 b 排列而成.记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , Smin 表示 S 所有可能
取值中的最小值.则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号). ① S 有 5 个不同的值. ②若 a ? b, 则 Smin 与 a 无关. ③若 a ∥b, 则 Smin 与 b 无关. ④若 b ? 4 a ,则 Smin ? 0 . ⑤若 b ? 4 a , Smin ? 8 a , 则 a 与 b 的夹角为
2

? 4

21. 设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ? N .
*

(I)证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) p ? 1 ? px ;

p ?1 c 1? p (II)数列 ?an ? 满足 a1 ? c , an ?1 ? an ? an ,证明: an ? an?1 ? c p p p

1 p

1

全国新课标 1
5、4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六周日都有同学参加公 益活动的概率为 A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6、如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足 为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x ) ,则

y ? f ( x) 在 [0, ? ] 的图像大致为

8、设 ? ? (0,

?

? 1 ? sin ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A. 3? ? ? ? C. 2? ? ? ?

?
2

B. 3? ? ? ? D. 2? ? ? ?

?
2

?
2

?
2

3 2 11、已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x 0 ? 0 ,则 a 的取值

范围是 A. (2, ??)

B. (1, ??)
x

C. (??, ?2)

D. (??, ?1)

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae ln x ?

bex ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的 x

切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

四川卷
10.(5 分)(2014?四川)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, A.2 ? =2 (其中 O 为坐标原点) , 则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 ( B.3 C. D. )
2

14.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于 点 P ( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是 。 15.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合: 对于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如, 当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ? 2 ( x) ? B 。现有如下命题: ①设函数 f ( x) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , f (a ) ? b ”; ②函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 其中的真命题有

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

。(写出所有真命题的序号)

16.已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)。

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 3 5 4 x 19.设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N * )。
(2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ? (1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2)若 a1 ? 1 ,函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ? 列{

?

1 ,求数 ln 2

an } 的前 n 项和 Tn 。 bn
x 2

21.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 为自然对数的底数。 (1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围


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