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广东省江门市普通高中2013-2014学年高一调研测试数学试题


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2014 年普通高中高一调研测试





本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟。不能使用计算器. 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2. 做选择题时,必

须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

?? ?x ? a ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 y ? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

? x. ? ? y ?b ,a

? x)

2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈设 A ? x | x 2 ? 4x ? 5 ? 0 , B ? x | x 2 ? 1 ,则 A ? B ? A. ?1 ? A. ? 4 B. ? ? 1 ? C. ? ? 1 , 1 , 5 ? C. ? 9 D. ? ? 1 , 1 , ? 5 ? ⒉若向量 a ? (2 , 3) 与 b ? (m , ? 6) 共线,则实数 m ? B. 4 D. 9 ⒊如图 1,右边长方体中由左边的平面图形(其中,若干矩形被涂黑)围成的是

?

?

?

?

A. 图1 C. A.至多有一次中靶 C.两次都不中靶 B.两次都中靶 D.只有一次中靶
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B.

D.

⒋一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

⒌某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人 数如右表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19 .现用 分层抽样的方法在全校抽取 80 名学生,则 应在三年抽取的学生人数为 A.30 B.25 C.24 D.20 ⒍图 2 是一个计算 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2014 的程序框图,则 框图的判断框内应填写的条件是 A. i ? 2014 C. i ? 2014 ⒎直线 B. i ? 2014 D. i ? 2013 女生 男生

一年级 二年级 三年级 373 377
开始

x
370

y

z

i ? 1, S ? 0
i ? i ?1 S ? S ?i
是 否 输出 S 结束

x y ? ? 1 与 4 x ? y ? 4 ? 0 相交于 P ,这两直线与 3 2

x 轴分别相交于 A1 、 A2 ,与 y 轴分别相交于 B1 、 B2 ,
若 ?PA1 A2 、 ?PB1 B2 的面积分别为 S1 、 S 2 ,则 A. S1 ? S 2 C. S1 ? S 2 B. S1 ? S 2 D.以上皆有可能

图2

D1

⒏如图 3, ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体,在底面 A1 B1C1 D1 上任取一点 M ,则 ?MAA 1 ? A.

A1

?
6

M B1

C1

的概率 P ?

? 15

B.

? 12

C.

? 9

D.

? 6

D A
图3

C
B

⒐将 y ? cos(

x ? ? ? ) 的图象向右平移 个单位,所得曲线对应的函数 2 6 2

A.在 (0 ,

?
2

) 单调递减

B.在 (0 ,

?
2

) 单调递增

? C.在 ( , ? ) 单调递减 2

? D.在 ( , ? ) 单调递增 2

⒑任意向量 a ? (a1 , a2 ) ,b ? (b1 , b2 ) ,定义运算 ? : a ? b ? (a2b2 , a1b1 ) ,下列 等式中( “ ? ”和“· ”是通常的向量加法和数量积, ? ? R ) ,不恒成立 的是 .... A. a ? b ? b ? a C. ? a ? b ? ? b ? a B. a ? b ? c ? a ? b ? a ? c

? ?

?

?

D. a

·

? ? ?b ? c ? ? ?a ? b ?

·c

高一数学试题

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 ⒒经过坐标原点且与 l : 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是
? ?x , ⒓已知 f ( x) ? ? x ? ?? 9 ,
4


开始

1 ,则 f ( ) ? 2 x ? 1.

x ? 1,



k ? 3, S ?1

⒔执行如图 4 所示的算法,输出的结果 S ?
1 1 ? ⒕若 tan ? ? ? ,则 2 2 sin ? cos ? ? sin 2 ?

. .

S ? S ? logk (k ? 1)
k ? k ?1 k ?8
否 输出 S 结束 是

图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒖(本小题满分 12 分) 已知点 A(1 , 2) , B(2 , 3) , C (?2 , 5) . ⑴求证: AB ? AC ; ⑵若向量 a ? (1 , ? 2) 可表示为 a ? m AB ? n AC ,求实数 m , n 的值. ⒗(本小题满分 13 分) 学校组织学生参加模块测试,测试后随机抽查部分学生的成绩,成绩的频率 分布直方图如图 5,数据的分组依次为[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100], 低于 60 分的人数是 6 人. ⑴被抽查的学生有多少人? ⑵从被抽查低于 60 分的 6 人中随机选取 2 人, 求这 2 人在同一分数组的概率.
频率 组距 0.02 0.015 0.01 0.005 0 20 40 60 图5 80 100 成绩/分

高一数学试题

第 3 页 共 7 页

⒘(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

), x ? R .

? ⑴求 f (? ) 的值; 2

⑵设 ? 是第二象限角, sin ? ? ⒙(本小题满分 14 分)

1 ? ,求 f (? ? ) 的值. 3 6

如图 6,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? a , AA1 ? 2a . ⑴求证:平面 AB1 D1 // 平面 C1 BD ; ⑵求两平面 AB1 D1 与 C1 BD 之间的距离. (注:两平行平面之间的距离是其中一个平面上任意一点
到另一个平面的距离)

D1

A1

C1 B1

D A B

C
图6

⒚(本小题满分 13 分) 某数学老师身高 175 cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 172 cm 、169 cm 和
181cm .已知儿子的身高与父亲的身高有关.

⑴列表 (用表格表示题目中父子之间儿子的身高 y 与父亲的身高 x 对应关系) ; 父亲的身高 x( cm ) 儿子的身高 y( cm ) ⑵用线性回归分析的方法预测该教师孙子的身高. ⒛(本小题满分 14 分) 已知点 O(0 , 0) , A(?2 , a) ( a ? R 是常数) ,动点 P 满足 PO ? PA ? 3 . ⑴求动点 P 的轨迹; ⑵若直线 l :x ? 2 y ? 2 ? 0 上有且仅有一点 Q , 使 QO ? QA ? 3 , 求常数 a 的值; 并求此时直线 l 与直线 OA 夹角的余弦值.

高一数学试题

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评分参考
一、选择题 二、填空题 三、解答题 ⒖⑴(方法一) AB ? (1 , 1) , AC ? (?3 , 3) ??2 分 BADCD ACBCD ⒒ 4x ? y ? 0 ⒓? 3 ⒔2 ⒕?1

AB ? AC ? ?3 ? 3 ? 0 ??4 分,所以 AB ? AC ??5 分
(方法二) | AB |? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 2) 2 ? 2 , | AC |? 3 2 , | BC |? 2 5 ?? 3 分

| BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 ??4 分,所以 ?CAB ?

?
2

, AB ? AC ??5 分

⑵(方法一) a ? m AB ? n AC ? m(1, 1) ? n(?3 , 3) ? (m ? 3n , m ? 3n) ??8 分

?m ? 3n ? 1 1 1 所以 ? ??10 分,解得 m ? ? , n ? ? ??12 分 2 2 ?m ? 3n ? ?2
(方法二)由⑴ a ? AB ? (m AB ? n AC) ? AB ? m | AB |2 ?n AB ? AC ? m | AB |2 ??8 分,所以 m ?
1 ? ? ??10 分 2 | AB |
2

a ? AB

同理, n ?

1 ? ? ??12 分 2 | AC | 2

a ? AC

⒗⑴低于 60 分的频率为 0.005 ? 20 ? 0.01 ? 20 ? 0.3 ??3 分 被抽查的学生有 6 ? 0.3 ? 20 (人)??5 分 ⑵由⑴知,[20,40)分数组的学生有 20 ? (0.005? 20) ? 2 (人) ,[40,60)分 数组的学生有 4 人??7 分 记这 6 人分别为 a1 、 a2 , b1 、 b2 、 b3 、 b4 ( a 、 b 表示不同分类组) ,从中随 机选取 2 人,不同的选法有 a1 a2 、a1 b1 、a1 b2 、a1 b3 、a1 b4 、a2 b1 、a2 b2 、a2 b3 、

a2 b4 、 b1 b2 、 b1 b3 、 b1 b4 、 b2 b3 、 b2 b4 、 b3 b4 ??9 分,共 15 种??10 分
2 人在同一分数组的选法有 a1 a2 、b1 b2 、b1 b3 、b1 b4 、b2 b3 、b2 b4 、b3 b4 ?? 11 分,共 7 种??12 分 不同选法等可能,所以 2 人在同一分数组的概率 P ?
7 ??13 分 15

高一数学试题

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? ? ? 3 ⒘⑴ f (? ) ? cos(?? ? ) ? ? cos ? ? ??5 分(第二个等号 3 分,其他各 1 分) 2 6 6 2 ? ? ⑵ f (? ? ) ? cos( 2? ? ) ? ? sin 2? ? ?2 sin ? cos ? ??9 分(第三个等号 2 分,其 6 2 他各 1 分) 1 2 2 sin ? ? , ? 是第二象限角, cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ??12 分(第一个 3 3 等号 2 分)
1 2 2 4 2 ??14 分 ) ? ?2 ? ? (? )? 6 3 3 9 ⒙⑴ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, 所以 BB1 // AA1 // DD1 且 BB1 ? AA1 ? DD1 ??1 分

所以 f (? ?

?

BB1 D1 D 是平行四边形, BD // B1 D1 ??2 分
又 B1 D1 ? 平面 C1 BD , BD ? 平面 C1 BD ,所以 B1 D1 // 平面 C1 BD ??4 分 同理 AD1 // 平面 C1 BD ??5 分 又 AD1 ? B1 D1 ? D1 ,所以平面 AB1 D1 // 平面 C1 BD ??6 分 ⑵(方法一)连接 B1 D ,得三棱锥 B1 ? C1 BD ,设平面 AB1 D1 与 C1 BD 之间的距 1 离为 h ,依题意, VB1 ?C1BD ? ? S ?C1BD ? h ??7 分 3 1 1 1 1 VB1 ?C1BD ? VD ? BB1C1 ? ? S ?BB1C1 ? CD ? ? ? BB1 ? B1C1 ? CD ? a 3 ??9 分(有 3 3 2 3 一步正确的中间过程 1 分,结果正确 1 分) 连接 AC ,设 AC ? BD ? O ,连接 C1O ,则 BO ? DO ?
2 a ??10 分 2

BC1 ? DC1 ? 5a ??11 分
3 2 a ??12 分 2 1 1 1 1 1 3 2 1 ? ? BD ?C1O ? h ? a 3 ,即 ? ? 2a ? a ? h ? a 3 ??13 分 3 2 3 3 2 2 3 2 2 解得 h ? a ,即平面 AB1 D1 与 C1 BD 之间的距离为 a ??14 分 3 3 (方法二)连接 AC 、 A1C1 ,设 AC ? BD ? O 、 A1C1 ? B1 D1 ? O1 ,连接 OO1 、
从而 C1O ? BD ,且 C1O ? BC1 ? BO 2 ?
2

C1O ,作 O1 E ? C1O ,垂足为 E ??7 分
依题意, A1 A ? 平面 ABCD ,所以 A1 A ? BD ??8 分

ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, AB ? BC ,所以 AC ? BD , A1 A ? AC ? A ,所
以 BD ? 平面 ACC1 A1 ??9 分
BD ? 平面 C1 BD ,所以平面 C1 BD ? 平面 ACC1 A1 ??10 分
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O1 E ? 平面 C1 BD , O1 E 是平面 C1 BD 与平面 AB1 D1 之间的距离??11 分
在 ?OO1C1 中, OO1 ? AA1 ? 2a , O1C1 ?
2 a ??12 分 2
2 2

OO1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , ?OO1C1 ? 900 , OC1 ? OO1 ? O1C1 ?
所求距离 O1 E ? ⒚⑴

3 2 a ??13 分 2

OO1 ? O1C1 2 ? a ??14 分. OC1 3
172 169 169 175 175 181

父亲的身高 x ( cm ) 儿子的身高 y ( cm )

??6 分(每列 2 分)
?? ⑵直接计算得 b

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x) 2

18 ? 1 ??9 分(求得 x 、 y 中任何一个给 1 18

分,求得分子、分母中任何一个给 1 分,其他 1 分)

? x ? 175? 1?172 ? 3 ??11 分 ? ? y ?b a

?x?a ? ? 1?181? 3 ? 184??13 分 预测该教师孙子的身高 y ? b
⒛⑴设 P( x , y) ,则 PO ? (?x , ? y) , PA ? (?2 ? x , a ? y) ??2 分 由 PO ? PA ? 3 得 ? x(?2 ? x) ? (? y)(a ? y) ? 3 ??3 分
a 1 即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? a 2 ??4 分 2 4 1 4 ? a 2 ? 0 ,点 P 的轨迹为圆??5 分 4

?? x(?2 ? x) ? (? y)(a ? y) ? 3 ⑵由 ? 得 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
(2 y ? 2)(2 y ? 4) ? y 2 ? ay ? 3 ? 0 ??6 分, 5 y 2 ? (a ? 12) y ? 5 ? 0 ??7 分
依题意, ? ? [?(a ? 12)]2 ? 4 ? 5 ? 5 ? 0 ??9 分,解得 a ? ?2 或 a ? ?22 ??10 分 直线 l 与坐标轴的交点分别为 M (2 , 0) , N (0 , 1) , MN ? (?2 , 1) ??11 分 直线 l 与直线 OA 夹角的余弦值 cos ? ?
a ? ?2 时, cos? ?

| MN ? OA | | MN | ? | OA |

?

|a?4| 5 ? a2 ? 4

??12 分

10 9 610 ??13 分; a ? ?22 时, cos? ? ??14 分. 10 610
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