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高中数学


复数的几何意义
复习
练习巩固

复数的意义 探究

复数的向 量表示

练习巩固

作业:课本 P A 组第 5、6 题 119

(星期四限时训练,星期五不上新课.段考范围:导数其 运用、推理与证明)

复数的几何意义
上节课,我们大胆假设存在一个新数 i (叫 做虚数单位). 2 规定:① i ? ?1 ; ② i 可以和实数进行运 算,且原有的运算律仍成立. 1.复数 z ? a ? bi (a, b ? R) a ─ 实部 b ─ 虚部 2.复数相等 (a, b, c, d ? R) a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d 注:复数不能比较大小.

练习巩固: 1.已知 (1 ? 2i ) x ? (3 ? 10i ) y ? 5 ? 6i 且 x , y ? R , 1 则 x ? ___, y ? ____ ; 2 2.已知 x ? x ? 6 ? ( x ? 5 x ? 6)i ? 0 ( x ? R) , 6 则 x ? ___ .
2 2

思考: 虚数单位 i 是数学家想象出来的,由此可以得 到复数集.实数恰可以看成是特殊的复数(虚部为 零的),另外,由复数相等的意义可以知道复数由实 部和虚部唯一确定,那么复数集还有什么性质和特 点呢?复数有什么作用呢?

探索复数集的性质和特点 探索途径:
(1) 实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集?

(2)从复数的特点出发,寻找复数集新的(实数集所不具 有)性质和特点?

想一想,实数集有些什么性质和特点?
(1)实数可以判定相等或不相等; (2)不相等的实数可以比较大小; (3)实数可以用数轴上的点表示; (4)实数可以进行四则运算; (5)负实数不能进行开偶次方根运算; ……
复数的几何意义 继续

我们知道实数可以用数轴上的点来表示。 一一对应 实数 数轴上的点 (数) 实数的几何模型: (形)

0

1

x

注:规定了正方向,原点,单位长度的直线叫做数轴.

由复数相等的内涵可知,复数 z ? a ? bi (a, b ? R) 与有序实数对 (a , b) 可建立一一对应的关系. 能否找到用来表示复数的几何模型呢?

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数)
y 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)

b

建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 y轴——虚轴 a x

0

这是复数的一种几何意义.

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数)
y z=a+bi 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)
一一对应

b

Z(a,b)

0

a

x

??? ? 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi 的模,记作 z 或 a ? bi .

??? ? 平面向量 OZ

z ? a 2 ? b2 易知

这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值

复数的模 的几何意义: 实数绝对值的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 面上对应的点Z(a,b)到 对应的点A到原点O的 原点的距离. 距离. a

A |a| = |OA|

O

x

z=a+bi Z(a,b) O
|z|=|OZ|?

y

?a(a ≥ 0) ?? ? ?a(a ? 0)

x

a ?b
2

2

复数的模其实是实数绝对值概念的推广

练习:
1.下列命题中的假命题是( ) D (A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( C ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二、四象限,求实数m的取值范

围.

?m ?3 ? m ? ?2或1 ? m ? 2?
3变式

变式题:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 求证:对一切实数m,此复数所对应的点不可 能位于第四象限.

解题思考: 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)

知识点: (1)复平面 (2)复数的模 思想方法: (1)类比思想 (2)转化思想 (3)数形结合思想

本课小结:

选做作业:
1.若 复数 (m2 ? m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i (m ? R) 在 复 平面 内的对应的点位于虚轴上,则 m 的值为( B ) (A)1 (B) 2 , ? 1 (C) ? 1 (D) ?1 , 1, 2

2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上 将构成怎样的图形?
作业:课本 P A 组第 5、6 题 119
(星期四限时训练,星期五不上新课.) (段考范围:导数其运用、推理与证明)

例2 实数x分别取什么值时,复数
x ? y ? 3 ? 0 上?

z ? x 2 ? x ? 6 ? ( x 2 ? 2 x ? 15)i

对应的点Z在(1)第三象限?(2)第四象限?(3)直线

? x 2 ? x ? 6 ? 0, 解:(1)当实数x满足 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0. 即 ? 3 ? x ? 2 时,点Z在第三象限. ? x 2 ? x ? 6 ? 0, (2)当实数x满足 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0.
即 2 ? x ? 5 时,点Z在第四象限.
2 2 (3)当实数x 满足 ( x ? x ? 6) ? ( x ? 2 x ? 15) ? 3 ? 0

即 x ? ?2 时,点Z在直线 x ? y ? 3 ? 0 上 .


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