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高中数学教学案例设计数列求和


河北教师教育学会中小学教师教学案例评选

数列求和

所属课程:高三复习课 所属专业:数学 授课课时:三课时 设 计 人:姜梅 工作单位:河北省大城县第一中学

高中数学教学案例设计

数列求和
一、教材分析 数列是《普通高中课程标准实验教科书 数学(必修(5) ) 》(人教 A 版)的第

二章,本节课围绕 2.3 等差数列求和、2.5 等比数列求和,以及非等差、非等比 数列的常见求和方法展开。数列在历年高考中占有较重要的地位,一般情况下一 至两个客观题和一个解答题(属于中档题) 。高考数列的题目基本是考察等差、 等比数列的基本公式和简单变形,并能解决简单的实际问题,高考方向主要有两 个方面:①数列基本概念、通项的运算;②数列的求和。数列在实际生活中有很 多应用,例如贷款、储蓄、购房等都用到数列的知识。让学生把理论和实际生活 紧密的联系在一起,这样可以大大的提高学生学习的积极性。 二、学生学习情况分析 学生在高一刚学习数列非常感兴趣,感觉很简单,能运用公式、基本知识和 性质灵活解题,到高三复习时,数列公式较多,题型多,伴随着综合题的出现让 大部分同学感觉有些困惑。 三、设计理念 教学过程教师是主导,学生是主体,教师应怎样教,才能让学生有效的学。 从教材和学生的实际出发,按照学生掌握知识的情况,引导学生分析数列,讨论 数列求和的解题方法。让学生真正弄懂、学会,充分发挥学生在学习中的主体作 用,教师运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性。 四、教学目标 数列求和作为高中数学教学中的难点和重点,是高考考核的重要部分之一,教 师应特别关注学生,结合学生的个人特点引导学生发挥其主体作用,鼓励学生创 新多种求和方法。培养数学的应用意识,运用数学知识解决实际问题,学习数学 的目的主要是运用数学知识解决实际问题。 本节的主要目标为: 1.熟练运用公式求和; 2.观察已知数列通项公式的特点,使用恰当的方法求和;

3.培养学生计算、观察、分类、转化、概括等能力; 4.进行数学应用教育,培养独立思考问题能力,利用理论知识解决实际问题。 五、教学重点与难点 教学重点: 1.等差、等比数列求和-----公式法求和(要求学生熟记求和公式) ; 2.非等差、 等比数列求和------裂项求和、 错位相减求和、 并项求和、 倒序相加、 分组求和(要求学生反复练习,孰能生巧) ; 3. 数列求和在实际问题中的应用。 教学难点: 1.裂项求和、错位相减求和; 2. 求和在实际问题中的应用(有一定的难度) 。 六、教学过程设计 第一课时: 1.复习数列求和的公式(提问学生---3 分钟) :
(a1 ? a n )n n(n ? 1) na1 ? d 2 2 等差数列的前 n 项和:Sn= =

? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 等比数列的前 n 项和:Sn= ? 1 ? q 1? q ?na ? n

( q ? 1) ( q ? 1)

(提问过程中发现有的学生公式记得不熟、混乱,应加强记忆,下节课还提问。 ) 2.教学内容设计: 下面介绍数列求和的常用方法 ⑴.公式法:对于等差数列、等比数列,只要抓住首项和公差、公比这两个基本 元素,其它的量都可以用其表示,然后再直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和。 例 1. (1)已知数列{an}中 a1 =8, a4 =2,且满足 an ? 2 ? an ? 2an ?1 , 求数列{an}的 前 n 项和 Sn. (2) 设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 S n . 解:(1)因为 an ? 2 ? an ? 2an ?1 ,所以{ an }为等差数列,

又因为 a1 =8, a4 =2 得 d=-2, Sn ? na1 ? (2)给学生时间自己算。 (2 分钟后)提问

n( n ? 1) d ? -n 2 ? 9n 2

学生甲:等比数列已知 a 2 ? 6 把后面的 a1 , a3 都用 a 2 表示,可以求出 q,然后求出 Sn。 老师: 思路清晰, 计算快。 下面我把过程写一下 (主要想照顾基础不太好的同学)

6a1 ? a3 ? 30 ?
?

6a 2 ? a2 q ? 30 q
36 ? 6 q ? 30 q
?a ? 3 ?a1 ? 2 得? 1 或? ?q ? 2 ?q ? 3

Sn ?

3(1 ? 2 n ) 2(1 ? 3 n ) ? 3 ? 2n ? 3 或 Sn ? ? 3n ? 1 1? 2 1? 3

本题讲完后让学生看看下面的例题用公式法能做吗? 例 2. 已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列 {an}的通项公式并求其前 n 项和 Sn. 我们一起分析:例 1 是求出通项后,代入公式求和,可是例 2 没有通项 崇宇:可猜出通项为: 3n ? 1 ? 2 .
n

老师:非常好,请坐!那么像这样的通项既不是等差数列,也不是等比数列,怎么 求和呢? 有的人在下面小声的说:拆开. 这道题就是咱们下面要讲的分组求和 ⑵. 分组求和 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. 解:由题意知 an = 3n ? 1 ? 2 ,其通项公式可拆成等差数列 an =3n-1 和等比数列
n

an = 2 两个数列分别求和。

n

? 2 ? 5 ? 8? ? 3n ? 1 ?

(3n ? 1)n 2

2 ? 22 ? 23 ? ?2n ?

2(1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

? Sn ?

(3n ? 1)n ? 2 n ?1 ? 2 2

规律方法:数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项(有的时候求通项需 用归纳猜想) ,然后对通项进行变形,转化为等差数列或等比数列分组求和。 ⑶.并项求和法 一个数列的前 n 项和中, 可两两结合求解, 则称之为并项求和. 形如 an=(- 1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例 3. (1)Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2 +1)=5 050. (2) 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 )

解析:让同学掌握(1)的形式特点,尝试着去做(2)------2 分钟思考 a1+a2+…+a10 =(-1+4)+(-7+10)+…=15.故选 A 点拨:解决本类题关键是要抓住数列的通项特点,两项合并求解。 ⑷.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n
?a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ? a ? an ?1 ? ? ? a1 ? S n 项和即是用此法推导的. ? n

(1) ( 2)

(1)+(2)推出 2S n ? ( a1 ? an ) n ? Sn ? 例 2. f ?x ? ? 1 3 ? 3x

(a 1 ? a n ) n n( n ? 1) ? na1 ? d 2 2

,求 f ?? 12? ? f ?? 11? ? ? f ?0? ? ? f ?12? ? f ?13? 的值.

(给学生 5 分钟想一想,然后提问 (我在教学中总结出这样的结论: 先把问题提出, 给学生少许时间,想好后举手,每个学生都有种跃跃欲试的感觉,争着要回答问 题,让老师的提问更有意义) ) 。 学生甲:把-12,-11,…12,13 代入 f(x)计算。 老师:这个想法可以,可是如果计算会很麻烦的。在数列中计算很多项的和时, 要先看看是否有规律?请同学们带着这样的疑问,再做一下。 (2 分钟后,就有 学生有思路了。 )

思路点拨:f(-12)+f(13)值可能为定值,但是要直接计算 f(-12)和 f(13)的值很 麻烦的,由于-12+13=1,-11+12=1,…0+1=1 共 12 对,为使计算更有说服力, 可以计算 f(x)+f(1-x),下面尝试一下解法:
f (1 ? x) ? 1 3 ? 31? x ? 3x 3 ? 3x ? 3

f ?x ? ?

1 3?3
x

, f ( x) ? f (1 ? x) ?

3x 3 ?3 ? 3
x

?

1 3?3
x

?

3 3

f ?? 12? ? f ?? 11? ? ? f ?0? ? ? f ?12? ? f ?13? =13 ?

3 13 3 = 3 3

说明:本题看似是函数的习题,但在计算过程中用到数列求和的倒序相加的方法 使计算更为简单。加深学生对函数的的认知,让学生构建数列与函数的联系。 3.小结:本课时主讲了公式法,以及公式法在分组求和法、并项求和法、倒序相 加法中的应用,同学们要仔细体会数列与函数思想、归纳猜想的密切联系。其它 求和方法下节课继续讲解。 4.作业:(1).(2012·大连模拟)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项 和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= (2).已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列
1 {a }的前 5 项和为 n 1 1 1 1 1 1 (1+2), (1+2+4), …(1+2+4+…+ n-1), …, 试求数列{an} (3). 数列{an}是 1, 2

的前 n 项和 Sn
(4).(2012·宁德模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n+c. (1)求 c 的值并求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=Sn+2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

第二课时: 1.回顾: (1)等差数列 Sn= ;等比数列 Sn= 。

(2)写出几个小题让学生观察用什么方法求和 ① a n ? 3n ? 5 (通项关于 n 的一次函数则等差数列) ② a n ? 4 n (通项关于 n 的指数函数则等比数列)

③ a n ? 3n ? 5 ? 4 n ----分组求和 ④ a n ? (3n ? 5) ? 4 n ----这就是今天即将要讲的错位相减法求和 2.教学内容设计: ⑸.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此 法推导的.错位相减求和是高考的热点,学生必须加强练习,才能提高学生的运 算能力。

s n ? a 1 ? a 2 ? a3 ? ? a n , s n ?a 1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? a1 q n ? 2 ? a1 q n ?1 qs n ? 0 ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n
n 在①式乘以 q 后,①-②得 (1 - q)s n ? a1 ? a1 q

① ② (要想错位用 0 补位)

a1 ? a1 q n a1 ? a n q sn ? ? 1? q 1? q 当 q≠1 时,

当 q=1 时, s n ? na1
? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ?na (q ? 1) ? n

此法求和体现了分类讨论的思想,如果某等比数列的公比未知,求 Sn 一定 要讨论 q 与 1 的关系,否则会丢解。 例 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
【思路点拨】 由 an+1=Sn+1-Sn 得 Sn 与 Sn+1 的递推关系,求得 Sn 和 an,由 an 的特征,利用错位相减求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴Sn+1=3Sn.

又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,因此 Sn=3n-1(n∈N*). 当 n ? 2, a n ? 2 S n ?1 ? 2 ? 3 n ? 2 ,当 n=1, a1 ? 1 不满足上式
?1, n ? 1 ? an ? ? n?2 ?2 ? 3 , n ? 2

?2? na n

?1, n ? 1 ?? n?2 ?2 n ? 3 , n ? 2

Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? (2n ? 2) ? 3 n ?3 ? 2n ? 3 n ? 2 ?1? 3Tn ? 1 ? 0 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? ?2 n - 2 ?3 n ? 2 ? 2 n ? 3n ?1 ?2 ?

(1)-(2)得 ? 2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 3 2 ? ?3 n ? 2 ) ? 2n ? 3 n ?1
=2 ? 2?

3 1 - 3 n -2 ) ( ? 2n ? 3 n ?1 ? ?1 ? ( 1 - 2n) 3 n -1 (中间有一些项是等比数列求和, 1? 3
共有几项学生一定要注意---易错)

Tn ?

1 1 ? (n ? ) ? 3 n ?1 2 2

应对措施:在(1)中求 a n 时易忽视讨论 n=1 的情形; (2) 中数列{ nan }的通项是{等差数列? 等比数列}的形式, 可采用错位相减求和; (3)相减后等比数列求和,需强调共有几项; (3)从本题中叫学生体会数列中的分类讨论思想。 延伸探究:已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2, a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 b n ? a n ? log 1 a n ,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n?2n+1>50 成立的正整数
2

n 的最小值. 【解】 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8, ∴a2+a4=20.

1 3 ?a1q+a1q =20 ?q=2 ?q= ,解得? 或? 2 . ∴? 2 ?a3=a1q =8 ?a1=2 ?a1=32 又{an}单调递增,∴q=2,a1=2, ∴an=2n. 2) b n ? a n ? log 1 a n =-n?2n,
2

∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n① ∴-2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1② ①-②得 Sn=2+22+23+…+2n-n?2n+1 2(1-2n) -n?2n+1=2n+1-2-n?2n+1, = 1-2 又 Sn+n?2n+1>50,即 2n+1-2>50,∴2n+1>52, 又当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52, 当 n≥5 时,2n+1≥26=64>52. 故使 Sn+n?2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 温馨提示:认真去做每一道用错位相减法求和的习题,反复练习才能正确求解! 把例 6 写黑板上,叫同学们尝试着做一下: 例 6. 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. bn (5 分钟后,老师走到学生中间看看。很多学生把 an 都解出来了,基础好的学生 。 已经求出 bn,老师又给 2 分钟后,所有学生放下笔,看黑板,听老师讲解) 1 2 2 2 (1)设数列{an}的公比为 q,由 a2 3=9a2a6,得 a3=9a4,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= .由 2a1+3a2=1. 3 1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= , 3

1 故数列{an}的通项公式为 an=( )n 3

1 log 3 an ? log 3 ( ) n ? ?n , bn=(-1)+(-2)+(-3)+…+(-n)=3

n (n ? 1) 2

1 好多学生写到这里不会写了,通项 用前面讲过的几种方法都不行。 bn 宏乐(站起来) :裂项,学生羡慕的目光转向他(他是我班数学尖子生) ,感叹: 厉害! 老师:很好!其他同学要像他学习。我来讲解一下具体过程: 1 2 1 1 =? ? -( 2 ? ) bn n(n ? 1 ) n n ?1 (注意的是隔项相消还是邻项消)

S n ? ?2(1 ?

1 1 1 1 1 ? 2n )? ? ? ?? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 本题求数列{ }的前 n 项和用的就是裂项相消法求和。 bn 老师:哪个同学能总结一下通项符合什么特点可用此法求和?(2 分钟思考) 白娜:数列的通项拆成两项之差,相互抵消求和。老师:很好。有谁补充吗? 贤玥:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项,然后观察哪些项抵消。 老师:两个同学说的都很好,我把通项特点总结一下: ⑹.裂项相消法 一般情况下通项是分式,数列中的每一项均可分裂成一正一负两项,且在求 和过程中能够前后相互抵消.一定要注意哪些项抵消了,留下哪些项,然后再求 和。 下面介绍几个常见的裂项求和的通项(需学生理解分裂过程,并记忆公式) : ①

1 1 1 1 ? ( ? ); n (n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 ? ( ? ); ② (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1


1 n?k ? n

?

1 k

?

n?k ? n .

?

牢记几种常见通项公式的裂项形式,做题才更灵活。 练习:已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等 比中项.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列{b }的前 n 项和 Tn.
n

(给学生 5 分钟思考,一会儿找学生说一下思路) 观察学生动态:大多数学生能快速做出(1)题,可是(2)题写出 bn+1-bn=2n +3 后不会写了. 老师提示:bn+1-bn=2n+3 这就是前面讲的由递推公式求通项的一个类型---累

5 分钟后老师开始讲解 (这时已经有很多学生做完) 。 加法, 好多学生动笔开始写,
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),

?6a1+15d=60, 则? 2 ?a1(a1+20d)=(a1+5d) , ?d=2, 解得? ?a1=5,
∴an=2n+3.

(2)由 bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1 =(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2). ∴bn=n(n+2)(n∈N*).

1 1 11 1 ∴b = =2(n- ) n(n+2) n+2 n 1 1 1 1 1 1 Tn=2(1-3+2-4+…+n- ) n+2 13 1 1 3n 2 ? 5n =2(2- - )= . n+1 n+2 4( n ? 1 ( ) n ? 2)
3.小结: 本节课主要讲了错位相减法求和、裂项相消法求和,使学生把这两类求和方 法的特点记住,达到看见数列的通项公式就知道要用什么方法。错位相减法求和

注意通项是{等差数列?等比数列}的形式,位置怎么错开的,第一个等式两边同 乘公比 q,两个式子减后求和的项数必须数对了;裂项相消法求和注意通项是分 式,把通项分裂成一正一负两项,且在求和过程中能够前后相互抵消.一定要注 意哪些项抵消了,留下哪些项,然后再求和,并记住常见的裂项求和的通项。 4.作业: (1). 数列 {an} 的通项公式 an =

1 n+ n+2

(n∈N*) ,若前 n 项和为 Sn ,则 Sn

=

.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 (2).已知数列{ an }:2,3+3,4+4+4,…,10+10+10+…+10,…,求数列 {
1 }的前 n 项和 Sn. an an ?1

(3).已知等差数列{ an }的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4.

①求数列{ an }的通项公式; ②设 bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 第三课时: 1.复习: (1)等差数列 Sn = 等比数列 Sn =

(2)写出几个小题让学生观察用什么方法求和 ① a n ? 3n ? 5 (通项关于 n 的一次函数则等差数列) ② a n ? 4 n (通项关于 n 的指数函数则等比数列) ③ a n ? 3n ? 5 ? 4 n ----分组求和 ④ a n ? (3n ? 5) ? 4 n ---错位相减法求和 ⑤ an ?
8 ----裂项相消法求和 (2n ? 1)(2n ? 1)

2.下面本节课主要讲数列求和在实际生活中的应用: 探究与发现 购房中的数学

方案 1 如果首付 3.6 万(约为住房总价的 30%) ,贷款 8.4 万,季利率 5.04% ÷4=1.26%,以贷款期 15 年为例。

每季度等额归还本金:84000÷(15×4)=1400 第一个季度的利息:84000×1.26%=1058.4 则第一个季度还款额为:1400+1058.4=2458.4 第二个季度的利息:(84000-1400×1)×1.26%=1040.76 则第二个季度还款额为:1400+1040.76=2440.76 … 第 60 个季度利息: (84000-1400×59)×1.26%=17.64 则第 60 个季度(最后一期)的还款额为:1400+17.76=1417.64 可见,这 15 年每个季度支付的利息成等差数列,公差 17.64,其和为:
1058.4 ? 17.64) ? 60 ( ? 32281.2 2

15 年中每个季度的还款额也成等差数列,公差 17.64。其和为:
(2458.4 ? 1417.64) ? 60 ? 116281.2 2

方案 2 首付 4 万,需要贷款 10.2 万,季利率 5.04%÷4=1.26%,以贷款期 15 年为例。 每季度等额归还本金:10200÷(15×4)=1700 第一个季度的利息:10200×1.26%=1258.2 则第一个季度还款额为:1700+1258.2=2985.2 第二个季度的利息:910200-1700×1)×1.26%=1263.78 则第二个季度还款额为:1700+1263.78=2963.78 … 第 60 个季度利息:10200-1700×59) ×1.26%=21.42 则第 60 个季度(最后一期)的还款额为:1700+21.42=1721.42 可见,这 15 年每个季度支付的利息成等差数列,公差 21.42,其和为:
1258.2 ? 21.42) ? 60 ( ? 39198.6 2

15 年中每个季度的还款额也成等差数列,公差 17.64。其和为:
(2985.2 ? 1721.42) ? 60 ? 141198.6 2

结论:建议这个居民采用方案 1,理由如下 ⑴居民的月收入 3000.偿还贷款的金额 600~900 较为合适,每个季度为 1800~

2700.采用方案 1 满足上述条件。如果采用方案 2,由于 15 年中每季度的还款额 时以 2958.2 为首项 21.42 为公差的等差的等差数列 a n =2958.2+21.42(n-1) >2700 n<15(个季度)时 a n >2700,偿还银行的钱占家庭收入的 30%,给家庭造成了较 大的负担。 ⑵以 15 年为例方案 2 比方案 1 多付利息 39198.6-32281.2=6917.4 练习:(2012·南昌模拟)小王每月除去所有日常开支,大约结余 a 元.小王决定采 用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次), 到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为 r,每期存款按单利计息.那 么,小王存款到期利息为________元. 3.小结 要求学生能在具体的问题情境中识别是等差数列关系或等比数列关系,并能 用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的实际问题。 七.教学反思 教学过程教师是主导,学生是主体,充分的调动学生的积极性和主动性,使 学生很快的把握学习方法,这是任何教师上好每节课的主导思想。在复习的过程 中教师应有针对性的选择典型习题,要重视教材,深挖教材,狠抓基础,注重学 生分类思想、函数思想、归纳猜想和能力的考查,真正使学生做到“解一题,会 一类” ,不断地完善教与学的方式,创建高效课堂。


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