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2.1数列的概念与简单表示法教案


2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)教案
【教学目标】 一、知识与技能 1.理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; 2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式 教学;2.发挥学生的主体作用,作好探究性学习; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验.理论联系实际,激发学生对科学 的 探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点; 2.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣. 【教学重点与难点】 重点: 数列的概念,通项公式及其应用. 难点: 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 【学情分析】 “数列”这一章首先通过“三角形数” 、 “正方形数”等大量的实例引入数列的 概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等 比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让 学生体会到数学就在我们身边. 【教学情景设计】 1. 数学来源于生活,服务于生活.现实中的很多问题都可以用数学知识来解 决.在日常生活中,人们经常遇到的像存款利息、购房贷款等实际计算问题,都需 要用有关数列的知识来解决。来看一个实际问题:中国银行人民币定期存款年利率 为 3.5 0 0 .假设某人存入 10 万元后,既不加进存款也不取钱,每年到期利息连同本 金自动转存.如果不考虑利息税,那么每年到期后的存款余额就构成一个数列,这 就是我们这节课要研究的数列问题. 2.课题导入 1,2,3,4,5,6,7,8. ①
1 1 1 1 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,?.



1,1.4,1.41,1.414,?. ③ -1,1,-1,1,-1,1,?. ④ 2,2,2,2,2,?. ⑤ 观察这些例子,看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义) 上述例子的共同特点是:⑴均是一列数;⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义

1

教学过程 一、知识讲解 ⒈ 数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,?,第 n 项,?. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列 次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵概念中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项 3.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6.是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6?是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 请同学们观察:课本 P 29 的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆 动数列? 生 这六组数列分别是(1)递增数列,(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆 动数列,(6)1.递增数列,2.递减数列. [合作探究] 同学们看数列 2,4,8,16,…,256,…①中项与序号之间的对应关系, 项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示? 4. 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的 函数 an=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 .反过来,对于函数 y=f(x) , 如 果 f(i)(i=1 、 2 、 3 、 4…) 有 意 义 , 那 么 我 们 可 以 得 到 一 个 数 列 f(1),f(2),f(3),…,f(n),…. 师 说的很好. 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. [合作探究] 师 函数与数列的比较(由学生完成此表): 函数 数列(特殊的函数) * 定义域 R 或 R 的子集 N 或它的有限子集{1,2,…, n} 解析式 y=f(x) an=f(n) 图象 点的集合 一些离散的点的集合 5. 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来
2

表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?它的通项 公式可以是
an ?
n ?1 1 ? (?1) n ?1 a n ?| cos ?| 2 2 ,也可以是 .

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项 的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式, 这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 二、范例讲解 例 1 根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出前 5 项:
an ? n ; (2)a n ? (?1) n ? n n ?1

(1)

分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可得 到数列的前 5 项 解: (1)
n ? 1,2,3,4,5.a1 ? 1 2 3 4 5 ; a 2 ? ; a3 ? ; a 4 ? ; a5 ? ; 2 3 4 5 6
1 ; a 2 ? 2; a3 ? ?3; a 4 ? 4; a5 ? ?5; 2

(2)

n ? 1,2,3,4,5.a1 ?

变式训练 1 根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出前 5 项: ⑴ an ? 2n ? 1 ⑵ an ?
2n ( 2n ? 1)(2n ? 1)

9,17 ,33 ; 解:⑴ 3,5,



2 4 6 8 10 , , , 3 15 , 35 63 99

例 2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1)1,3,5,7;
1 1 1 1 (2)-- 1 ? 2 , 2 ? 3 ,-- 3 ? 4 , 4 ? 5 .

解: (1)项 1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1, ∴它的一个通项公式是: an ? 2n ? 1 ; (2) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数, 且奇数项为负,
3

偶数项为正,所以它的一个通项公式是:

a n ? (?1) n

1 n(n ? 1)

变式训练 2:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: 2 4 6 8 10 (1) 3, 5, 9, 17, 33,??; (2) , , , , , ??; 3 15 35 63 99 (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (4) 2, -6, 12, -20, 30, -42,??. 解:(1) an =2n+1;
2n 1 ? (?1) n (2) an = ; (3) an = ; 2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(4) 将数列变形为 1 × 2, - 2 × 3, 3 × 4, - 4 × 5, 5 × 6, ??,∴ an = ( - 1) n ?1 n(n+1) 例 3 数列 ?an ? 中, an ? n 2 ? 5n ? 4 . ⑴ 18 是数列中的第几项? ⑵ n 为何值时, an 有最小值?并求最小值. 解:⑴ 由 n 2 ? 5n ? 4 ? 18 ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,? 18 是数列中的第 7 项.
5 9 ⑵ ? a n ? n 2 ? 5n ? 4 ? ( n ? ) 2 ? , n ? N ? 2 4

? n ? 2 或 n ? 3 时, (an ) min ? 22 ? 4 ? 2 ? 5 ? ?2 .

变式训练 3:已知数列{an}的通项公式 an= 列的第几项? 解:令 an=

1 1 (n∈N*),那么 是这个数 120 n ( n ? 2)

1 1 1 ? 即 ,得 n=10,或 n=-12(舍去) 120 n(n ? 2) 120

1 是这个数列的第 10 项. 120 三、课堂小结: 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并 会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。 四、当堂检测 1.数列 1,0,1,0,1,??的一个通项公式是( )



1 ? ( ?1) n ?1 A.an= 2

1 ? ( ?1) n ?1 (?1) n ? 1 B.an= C.an= 2 2

? 1 ? (?1) n D.an= 2

4

【解析】将数列{ 【答案】B

1 (?1) n ?1 }与{ }对应项相加得到的数列即是. 2 2

2.设数列 2 , 5,2 2 , 11 ,??则 2 5 是这个数列的( A.第六项 B. C.第八项 D.



【解析】可观察所给数列的通项公式是 an= 3n ? 1 ,由 3n ? 1 ? 2 5 得 n=7 【答案】B 3.已知 an=n2+n,那么( ) A.0 B.21 是数列中的一项 C.702 中的一项 【解析】由 n2+n=702 即 n2+n-702=0 得:n=26 或 n=-27(舍去) 【答案】C 4.函数 f(n)= (?1)
n ( n ?1) 2

D.30 不是数列

当自变量依次取正整数 1,2,3,?,n,?时对应的函数值,以 ) B.-1,-1,1,1,-1,-1
n ( n ?1) 2

数列形式表示为( A.-1,1,-1,1

C.-1,-1,1,1,-1,-1,?,(?1)

D.-1,-1,1,1,-1,-1,?,(?1)

n ( n ?1) 2

, ?

【解析】显然数列{f(n)}为无穷数列 【答案】D
2 5.已知数列{an}的通项公式为 an=9n( )n,则此数列的前 4 项分别为______. 3 64 【解析】a1=6,a2=8,a3=8,a4= 9 64 【答案】6,8,8, 9 板书设计 数列的概念与简单表示法(一)

1.数列的概念 2.一般形式 3.数列的分类 4.数列与函数的关系 5.数列的通项公式

例1 例2 例3 课堂小结

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五、课后作业 一、选择题 1.数列 2,3,4,5,?的一个通项公式为( ) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n 答案 B 1+?-1?n+1 2. 已知数列{an}的通项公式为 an= , 则该数列的前 4 项依次为( ) 2 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 1 1 C.2,0,2,0 D.2,0,2,0 答案 A 3.若数列的前 4 项为 1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) 1 A.an=2[1+(-1)n-1] 1 B.an=2[1-cos(n· 180° )] C.an=sin2(n· 90° ) 1 D.an=(n-1)(n-2)+2[1+(-1)n-1] 答案 D 解析 令 n=1,2,3,4 代入验证即可. 4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 答案 C 解析 n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). 5.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是( ) n?n-1? A.an=n2-n+1 B.an= 2 n?n+1? C.an= 2 D.an=n2+1 答案 C 解析 令 n=1,2,3,4,代入 A、B、C、D 检验即可.排除 A、B、D,从而选 C. 1 1 1 1 6.设 an= + + +?+2n (n∈N*),那么 an+1-an 等于( ) n+1 n+2 n+3 1 1 A. B. 2n+1 2n+2 1 1 1 1 C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 答案 D 1 1 1 1 解析 ∵an= + + +?+2n n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 1 ∴an+1= + +?+2n+ + , n+2 n+3 2n+1 2n+2
6

1 1 1 1 1 ∴an+1-an= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 二、填空题 ?3n+1?n为正奇数? 7.已知数列{an}的通项公式为 an=? .则它的前 4 项依次为 ?4n-1?n为正偶数? ____________. 答案 4,7,10,15 1 1 8.已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*),那么120 是这个数列的第 n?n+2? ______项. 答案 10 1 1 解析 ∵ = , n?n+2? 120 ∴n(n+2)=10×12,∴n=10. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式 可以是______________. 答案 an=2n+1 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,?,∴an =2n+1. 10.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派 的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比 如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数, 则第 10 个三角形数是______.

答案 55 解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,?,第 10 个三角形数为:1+2+3+4+? +10=55. 三、解答题 11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3)2,4,-8,16,-32,64,? 3 7 9 (4)2,1,10,17,? (5)0,1,0,1,? 解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5)(n∈ N*).

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8 8 (2)数列变形为9(1-0.1),9(1-0.01), 1 ? 8 8? * (1 - 0.001) , ? ,∴ a n= ?1-10n?(n∈N ). 9 9? ? (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 此把第 1 项变为- 2 ,因此原数列可化为- 21 , 22 ,- 23 , 24 ,?, n n 2 -3 ∴an=(-1) · 2n (n∈N*). 3 5 7 9 (4)将数列统一为2,5,10,17,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1, 可得分子的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16?即 数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 (n∈N*). n +1 ?0 ?n为奇数? 1+?-1?n (5)an=? 或 an= (n∈N*) 2 ?1 ?n为偶数? 1+cos nπ 或 an= (n∈N*). 2 ?9n2-9n+2? ? ? ?; 12.已知数列? 2 ? ? 9n -1 ? ? (1)求这个数列的第 10 项; 98 (2)101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; ?1 2? (4)在区间?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. ? ? 9n2-9n+2 (1)解 设 f(n)= 9n2-1 ?3n-1??3n-2? 3n-2 = = . ?3n-1??3n+1? 3n+1 28 令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)=31. 3n-2 98 (2)解 令 = ,得 9n=300. 3n+1 101 98 此方程无正整数解,所以101不是该数列中的项. 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明 ∵an= = =1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N*,∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. ?3n+1<9n-6 3n-2 2 1 (4)解 令3<an= <3,则? , 3n+1 ?9n-6<6n+2
8

7 ? ?n>6 即? 8 n < ? ? 3

7 8 .∴6<n<3.

?1 2? 又∵n∈N*,∴当且仅当 n=2 时,上式成立,故区间?3,3?上有数列中的项, ? ? 4 且只有一项为 a2=7. 能力提升 13.数列 a,b,a,b,?的一个通项公式是______________________. a+b ?a-b? ? 答案 an= 2 +(-1)n+1? ? 2 ? a+b a-b a+b a-b 解析 a= 2 + 2 ,b= 2 - 2 , a+b ?a-b? ?. 故 an= 2 +(-1)n+1? ? 2 ? 14.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少 个点.

解 图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分支 有 1 个点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4)除中间 1 个点外,有四个分支,每个分支有 3 个点;?;猜测第 n 个图中除中间一个点外, 有 n 个分支,每个分支有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个数为 1+n(n-1)=n2-n +1.

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