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§3.1.1数系的扩充和复数的概念讲课教案


高中数学人教 A 版选修 2-2

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
江陵二中数学组 徐勤丰

【教材分析】
新课程中复数内容突出复数的代数表示, 同时也强调了复数的几何意义. 它的内容是分 层设计的:先将复数看成是有序实数对,再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量, 最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义。

同时,复数作为一种新的数学语言,也为 我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法,体现了数形结合思想。 本节课的学习,一方面让学生回忆数系扩充的过程,体会虚数引入的必要性和合理性。 另一方面, 让学生理解复数的有关概念, 掌握复数相等的充要条件, 为今后的学习奠定基础。 因此,本节课具有承前启后的作用,是本章的重点内容。

【教学目标】 1、理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件。 2、让学生回忆、归纳数系扩充的过程,感悟数系扩充的基本方法,领悟复数的有关理
论。

3、通过问题情境感受虚数引入的必要性,体会人类理性思维的作用,形成学习数学知
识的积极态度。

【教学重点】
感受数系扩充的过程,理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件。

【教学难点】
数系扩充的过程与原则。

【教学方法】结合以上教学问题诊断分析,本节课的教法主要采用问题驱动教学模式。通
过设置问题串,让学生形成认知冲突;通过设置问题串,引领学生追溯历史,提炼数系扩充 的原则;通过设置问题串,帮助学生合乎情理的建立新的认知结构,让数学理论自然诞生在 学生的思想中。

【教学过程】
1、设置情境,再现历史 五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题: 问题 1 将 10 分成两部分,使两者的乘积为 40. 问题 2 有没有两个数之和为 10 呢?之积为 40 呢? 问题 3 那为什么刚才的问题无解呢? 2、设计问题,追溯历史 问题 4 实数集中有没有这两个数? 问题 5 数集经历了哪几次扩充? 1) 、自然数的产生 2) 、负 数 的 出 现(负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾) 3) 、分 数 的 出 现(分数的引入, 解决了在整数集中不能整除的矛盾) 4) 、关于无理数的发现(无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾) 问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题? 问题 7 这几次扩充有什么共同的特点?

3、借鉴历史,生成理论 问题 8 你能写出卡当要找的数吗?(我们引入什么样的数,才能解决负数不能开平方 的矛盾呢?) 1545 年,卡尔丹在《大衍术》中写道:“要把 10 分成两部分,使二者乘积为 40,这是 不可能的,不过我却用下列方式解决了。”
10 ? 5 ? 40 ? 5 ?
? 1 5 能作为“数”吗?

?

?15 ? 5 ? ?15

? ?

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?

?

? ?5 ?

?

1637 年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数 1777 年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 规定: i2=-1 称 i 为虚数单位 新数 i 叫做虚数单位,并规定: (1)i 2 ? ?1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然 成立。 问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗? 问题 10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗? 1、复 数 的 概 念:(1)形如 a+bi 的数叫复数, 用字母 z 表示。 (2)形如 a ? b i ( a , b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 (3)全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 2、复数的分类 3、复数相等的定义 4、复数的定位
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

4、精选例题,学以致用 为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习: 例 1、请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C.

例 2、写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4, 2 ? 3i ,0, ?
1 2 ? 4 3 i ,5 ?
2 i

, 6i , 2 i

2

例 3、 实数 m 取什么值时, 复数 z ? m ( m ? 1) ? ( m ? 1)i 是: 实数? (2) (1) 虚数? (3)

纯虚数?

例 4、已知 ( x ? y ) ? ( x ? 2 y )i ? ( 2 x ? 5 ) ? (3 x ? y )i ,求实数 x , y 的值.

5、巩固练习: 1、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-
1 2

)

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

2、已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} , 则实数 m 的值为( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 3、满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 4、复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 5、设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 6、若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 7、已知 m∈R,复数 z=
m (m ? 2) m ?1

+(m2+2m-3)i,当 m 为何值时,

6、反思总结,提炼收获 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问 题,复数相等的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实 数的性质, 对复数的知识有较完整的认识, 以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们 采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要, 也是数学学科自身发展的需要;介绍数的概念的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史 和规律,各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类
王新敞
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§3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案
1、设置情境,再现历史 五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题: 问题 1 将 10 分成两部分,使两者的乘积为 40. 问题 2 有没有两个数之和为 10 呢?之积为 40 呢? 问题 3 那为什么刚才的问题无解呢? 2、设计问题,追溯历史 问题 4 实数集中有没有这两个数? 问题 5 数集经历了哪几次扩充? 1) 、自然数的产生 2) 、负 数 的 出 现(负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾) 3) 、分 数 的 出 现(分数的引入, 解决了在整数集中不能整除的矛盾) 4) 、关于无理数的发现(无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾) 问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题? 问题 7 这几次扩充有什么共同的特点? 3、借鉴历史,生成理论 问题 8 你能写出卡当要找的数吗?(我们引入什么样的数,才能解决负数不能开平方 的矛盾呢?) 1545 年,卡尔丹在《大衍术》中写道:“要把 10 分成两部分,使二者乘积为 40,这是 不可能的,不过我却用下列方式解决了。”
10 ? 5 ? 40 ? 5 ?
? 1 5 能作为“数”吗?

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1637 年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数 1777 年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 规定: i2=-1 称 i 为虚数单位 新数 i 叫做虚数单位,并规定: (1)i 2 ? ?1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然 成立。 问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗? 问题 10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗? 1、复 数 的 概 念:(1)形如 a+bi 的数叫复数, 用字母 z 表示。 (2)形如 a ? b i ( a , b ? R ) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 (3)全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 2、复数的分类 3、复数相等的定义 4、复数的定位
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4、精选例题,学以致用 为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习: 例 1、请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C. 例 2、写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4, 2 ? 3i ,0, ?
1 2 ? 4 3 i ,5 ?
2 i

, 6i , 2 i 2

例 3、 实数 m 取什么值时, 复数 z ? m ( m ? 1) ? ( m ? 1)i 是: 实数? (2) (1) 虚数? (3) 纯虚数?

例 4、已知 ( x ? y ) ? ( x ? 2 y )i ? ( 2 x ? 5 ) ? (3 x ? y )i ,求实数 x , y 的值.

5、巩固练习: 1、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-
1 2

)

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

2、已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} , 则实数 m 的值为( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 2 2 3、满足方程 x -2x-3+(9y -6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 4、复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 5、设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 6、若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 7、已知 m∈R,复数 z=
m (m ? 2) m ?1

+(m2+2m-3)i,当 m 为何值时,

数系的扩充的说课稿
1 教材内容分析 1.1 本质、地位及作用 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 但是, 复数它完全没有按照教科书所 描述的逻辑连续性.实际的需要使实数具有某种实在感.可是,复数的情形却不一样,是纯 理论的创造. 新课程中复数内容突出复数的代数表示, 同时也强调了复数的几何意义. 它的内容是分 层设计的:先将复数看成是有序实数对,再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量, 最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义.同时,复数作为一种新的数学语言,也为 我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法,体现了数形结合思想. 本节课的学习, 一方面让学生回忆数系扩充的过程, 体会虚数引入的必要性和合理性. 另 一方面, 让学生理解复数的有关概念, 掌握复数相等的充要条件, 为今后的学习奠定基础. 因 此,本节课具有承前启后的作用,是本章的重点内容. 1.2 教学重点难点 根据教学内容分析及学生已有的认知基础,本节课的教学重点、难点确定为: 重点:感受数系扩充的过程,理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件. 难点:数系扩充的过程与原则. 2 教学目标分析 遵循新课标,本节课的教学目标确定如下: 1、理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件. 2、让学生回忆并感知数系扩充的过程,感悟数系扩充的基本方法,领悟复数的有关理 论. 3、通过问题情境感受虚数引入的必要性,体会人类理性思维的作用,形成学习数学知识 的积极态度. 3 教学问题诊断分析 根据历史相似性原理,结合学生已有的认知基础,预测学生在学习本节内容可能产生 的认知障碍与学习困难:为什么要引入 i?如何引入?i 是什么? 根据教与学的关系,学生的学可以促进教师的教与学.教师通过学习数系的扩充历史, 了解数系扩充的原则与方法,从而为虚数单位 i 的引入奠定理论基础;虚数的引入虽然最先 由于数学本身的需要,但也只有当高斯用 a ? b i 表示一个向量的时候,复数在解决实际问题 中才得到广泛的应用,渐渐地才被大家接受.因此,i 是人类理性思维的产物,是一种创造. 4 教法特点 结合以上教学问题诊断分析, 本节课的教法主要采用问题驱动教学模式. 通过设置问题 串,让学生形成认知冲突;通过设置问题串,引领学生追溯历史,提炼数系扩充的原则;通 过设置问题串, 帮助学生合乎情理的建立新的认知结构, 让数学理论自然诞生在学生的思想 中,教师仅起到“助产士”的作用. 5 教学设计流程 从建构主义的角度来看, 数学学习是指学生自己建构数学知识的活动. 在数学活动过程 中,学生与教材及教师产生交互作用,形成了数学知识、技能和能力,发展了情感态度和思 维品质.基于这一理论,我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行,下面我向各位专家 作详细说明: 5.1 创设情境 以历史上卡当的源问题入手:

问题 1 将 10 分成两部分,使两者的乘积为 40. 引领学生重温历史,感悟数学发现并不神秘,数学家也是从常规问题入手.由此,提出 问题串: 问题 2 有没有两个数之和为 10 呢?之积为 40 呢? 问题 3 那为什么刚才的问题无解呢? 问题 4 实数集中有没有这两个数? 设计意图:一方面,让学生与数学大师一起思考问题、解决问题;另一方面,让学生处 于“愤悱”状态,形成认知冲突,感受到数已经不够用了,体现学习新知识的必要性,从而 引出课题. 数的历史源远流长,现在,就让我们沿着历史的足迹看看数集是如何发展壮大的. 5.2 建构理论 问题 5 数集经历了哪几次扩充? 设计意图:学生已经学习过一些数集,在此基础之上,帮助学生重新建构数集的扩充过 程,这是本节课的生长点. 此时,提出开放性问题: 问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题? 让学生充分交流、合作、讨论,师生共同完成数系扩充表.并感受到这些数的产生不是 从天而降,是数学内部发展的需要,也是社会发展的需要. 由此,追问: 问题 7 这几次扩充有什么共同的特点? 设计意图:一方面培养学生的归纳、概括与表达能力;另一方面通过对前几次数集扩充 的梳理, 为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础, 让学生感受到数系扩充的合 理性,并能提炼出数系扩充的一般原则.由此,突破本节课的难点. 然而,历史在前进,社会在发展,生活中的矛盾不断涌现.五百多年前一个怪东西摆在 卡当面前,即-15 开平方问题. (播放视频) 设计意图:教师引领学生再现卡当问题,将问题转化为找一个数的平方为-1,从而让 “引入新数”水到渠成. 此时,教师适时介绍与虚数单位 i 有关历史,如:为什么用 i?是谁引入了 i?,从而激 发学生学习的兴趣,强化对 i 的认识,并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛! 引入 i 后,给出问题串: 问题 8 你能写出卡当要找的数吗? 问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗? 问题 10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗? 设计意图:学生利用新知解决卡当问题,通过设计问题 7、8 的铺垫,引导学生由特殊 到一般,抽象概括出复数的代数形式,帮助学生主动建构复数的代数形式. 由此,追问: a ? b i ( a , b ? R ) 一定是虚数吗? 设计意图:引导学生自然而然地想到要对复数进行分类,从而深化对复数概念的理解, 攻克本节课的重点. 5.3 数学运用 为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习: 例 1.请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C. 例 2.写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.

4, 2 ? 3i ,0, ?

1 2

?

4 3

i ,5 ?

2 i

, 6i , 2 i 2

例 3. 实数 m 取什么值时, 复数 z ? m ( m ? 1) ? ( m ? 1)i 是: 实数? (2) (1) 虚数? (3) 纯虚数? 设计意图:例题 1 主要是前后照应,采用概念同化的方式完善认知结构;例题 2、例题 3 主要是巩固复数的分类标准.让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念,起到及时反 馈、学以致用的功效. 并追问:对于复数 z 1 ? a ? b i , z 2 ? c ? d i ( a , b , c , d ? R ) ,你认为在什么情况下相等 呢? 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能.并设置了: 例 4.已知 ( x ? y ) ? ( x ? 2 y )i ? ( 2 x ? 5 ) ? (3 x ? y )i ,求实数 x , y 的值. 设计意图: 强化复数相等的充要条件, 并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来 求解. 5.4 回顾反思 (播放视频) 回顾本节课,i 的引入者是欧拉,问题的提出者是卡当,卡当虽然没有解决问题,但他 依然是大数学家,因为,发现问题比解决问题更重要,哈尔莫斯说,问题是数学的心脏. 会不会还有复数以外的数呢,很好!数学是无穷的科学.我们就是一叶扁舟,在知识的 海洋探索永无止境,屈原说“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”以此和大家共勉. 设计意图:通过学生总结、教师提炼,深化内容,让学生体会数系扩充过程中蕴含的创 新精神和实践能力.最后,以三句名言作为结束语,期望与学生产生共鸣. 以上是我对数系的扩充的第一课时的构思与设计,请各位专家批评指正. 谢谢!


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