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山西省晋中市2013届高三第一次四校联考数学(理)试题


命题: 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中 (满分 150 分,考试时间 120 分)
[来源:学优高考网 GkStK]

一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2x ? x2 ? 0},

集合B ? { y | y ? e x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x |1 ? x ? 2} 2. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 B. {x | x ? 2} C. {x | x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2}

1 ?1 的 a
B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分但不必要条件 C. 充要条件

3.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 1, 则其通项公式 an ? A.

3 ? 2 n?1

B.

2 ? 3n?1

C.

2n

D. 3

n

4. 已知 sin

?

3 ? 4 ? , cos ? ? ,则 ? 是第( )象限角: 2 5 2 5
B .第二象限 C .第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限

5. 已知数列 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2, a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A. -7 B. -5 C. 5 D. 7

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. -3 B. 2 C. 4 D. 5 ) D. 2

7.在 ? ABC,已知 AB ? AC ? AB ? CB ? 1 ,则| AB |的值为: ( A.1 B.

2

C.

3

8.如果函数 f ( x ) ? A. [?1, 1]

2x ? a (a ? 0) 是奇函数,则函数 y ? f ( x) 的值域是 a ? 2x ? 1
B. (?1, 1] C. (?1, 1) D. (??, ?1) ? (1, ??)

9.已知 f ( x) ? ln(a x ? b)(a ? 0, 且a ? 1) 的定义域为 (-?,1] ,值域为 [0,??) , 则 a ? b 的取值范围是 A. (??,1] B. [1,??) C.{1} D. (0,1]

10.已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点, 则 DE ? DF ? A. ?3

??? ?

????

???? ????

B. ?4

C. ?8

D. ?6

11.定义在R上的偶函数 f ( x)满足f (x) ? f ( x ? 2), 当 x ? [3,4) 时, f ( x) ? (log3 2) x ? 2, 则

f (sin1)与f (cos1)的大小关系为
A. C.

f (sin1) ? f (cos1)
f (sin1) ? f (cos1)

B. f (sin1) ? f (cos1) D. 不确定

12. 函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 cos x ? 2 的导函数 f ?(x) 的图象大致是 4

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 的单调递增区间为_____________________. 3
.

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

14. 若不等式 | ax ? 2 |? 6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 的值为 15.若直角坐标平面内 M、N 两点满足:
[来源:学优高考网 GkStK]

①点 M、N 都在函数 f(x)的图像上; ②点 M、N 关于原点对称,则称这两点 M、N 是函数 f(x)的一对“靓点”。 已知函数 则函数 f(x)有 对“靓点”。 .

16. 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,若 1 ? 为 .

tan A 2c a2 ? ,则 的最小值 tan B b bc

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? ( ) (I)求 A ? B ; (II)若 C ? {x | a ? x ? 2a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

1 2

x

(?1 ? x ? 0) 的值域为 B.

18. (本小题满分 12 分)已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , S k ?2 成等比数列,求正整数 k 的值

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

20.(本小题满分 12 分)

?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 m ? (3,2 sin A), n ? (sin A,1 ? cos A),
满足 m // n ,且 7 (c ? b) ? a (1)求角 A 的大小; (2)求 cos( C ?
[来源:GkStK.Com]

?
6

) 的值

21. (本小题满分 12 分)某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本 为 14000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之间的

? 1 2 x , 0? x ? 4 0 0 ? 关 系 为 f ( x) ? ? 625 每 件 产 品 的 售 价 g ( x) 与 产 品 x 之 间 的 关 系 为 ?256, x ? 400, ? ? 5 0 ?? x ? 7 5 0 , ? x ? g ( x) ? ? 8 ?400, x ? 400 ? 400

(I)写出该陶瓷厂的日销售利润 g ( x) 与产量 x 之间的关系式; (II)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润.

22.(本题满分 12 分). 已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2(a ? 0). x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的单 调区间; (2)若对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求实数 a 的取值范围; (3)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b(b ? R ) ,当 a=1 时,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,求 实数 b 的取值范围。
?1

四校一联理科数学参考答案
一、选择题:DABDA, CBDCC, AC 二、13. (??,1),(3, ??) ;14. -4; 15.一对 ;16. 1 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ )由题意得: A ? {x | x ? 2} ……………………………2 分

B ? { y | 1 ? y ? 2} ……………………………………………………4 分 A ? B ? {2} ……………………………………………………………5 分
(II)由(1)知: B ? { y | 1 ? y ? 2} ,又 C ? B (1)当 2a ? 1 ? a 时,a<1, C ? ? ,满足题意.……………………6 分 (2)当 2a ?1 ? a 即 a ? 1 时,要使 C ? B ,则 ? 解得 1 ? a ?

?a ? 1 …………8 分 ? 2a ? 1 ? 2

3 2

………………………………………………………9 分

综上, a ? (??, ]

3 2

………………………………………………10 分

18.解: (I)设数列 {an } 的公差为 d,由题意得 ?

?2a1 ? 2d ? 8 , ?2a1 ? 4d ? 12

解得: a1 ? 2, d ? 2 …………………………………………………3 分 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n …………………5 分 (II)由(I)可得: S n ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ……8 分 2 2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所以 a2k ? a1Sk ?2
2 从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k ? 5k ? 6 ? 0 ………………………10 分
2

解得: k ? 6或k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 . …………………12 分

19.解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈ Z), 故 f(x)的定义域为{x∈ R|x≠kπ,k∈ Z}. ?? 3 分

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x

=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin?2x-4?-1, ?? 6 分 ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. ?? 8 分 2 π π (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?(k∈ ? ? Z). π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈ Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈ Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈ ? ? ? ? Z). ?? 12 分

? m // 20. 解(12 分)⑴
即 2 cos A ? 3 cos A ? 1 ? 0
2

n

2 ?3(1 ? c o s ) ? 2 s i n A A

1 2 ? cos A ? ? 或 -(舍去) ? A ? ? ………………5 分 1 2 3
⑵ ? (c ? b) ? a 7 而 a ? b ? c ? bc
2 2 2

? 7(c 2 ? b 2 ? 2bc) ? a 2
? 2c 2 ? 5bc ? 2b2 ? 0

? c ? 2b或c ?

1 b(? c ? b, 舍去) ………………8 分 2 ? sin C ? 2 sin B

与 7 (sin C ? sin B) ? sin A ?

3 联立 2

可得 sin C ?

21 2 7 …………………………10 分 , cos C ? 7 7

? 3 1 3 21 ………12 分 ? cos(C ? ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 14
21. 解:(I)总成本 c( x) ? 14000 ? 210 x ,所以日销售利润

……5 分 (II)① 0 ? x ? 400 时, Q?( x) ? ? 当

3 2 12 x ? x ? 210 . 1000 5

令 Q?( x) ? 0 ,解得 x ? 100或x ? 700 (舍去). 当 0 ? x ? 100 时, Q?( x) ? 0 ,当 100 ? x ? 400 时, Q?( x) ? 0 .因为 Q(0) ? Q(400) 所以 x ? 400 时, Q ( x) 取得最大值,且最大值为 30000; ………8 分 ②x ? 400 时,

………11 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. ………12 分 22.解: (1) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1. 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? 所以 f ?(1) ? ?

2 a ? , x2 x

2 a ? ? ?1 ,解得 a ? 1 ………2 分 12 1 2 x?2 所以 f ( x) ? ? ln x ? 2 , f ?( x) ? x x2

由f ?( x) ? 0 ,得 x>2; 由f ?( x) ? 0 得 0<x<2
所以 f(x)的单调递增区间是(2,+ ? ),单调递减区间(0,2)………4 分 (2) f ?(x) = ?

2 a ax ? 2 ? = ,? a ? 0 , x2 x x2

2 2 ,由f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a a 2 2 所以 f(x)的单调递增区间是( ,+ ? ),单调递减区间(0, ) a a 2 2 当 x= 时, f (x) 取极小值,也就是最小值 f (x) min = f ( ) ………6 分 a a 2 ? 对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,∴ f ( ) >2( (a ? 1) a

由f ?( x) ? 0 得 x ?

2
2 a

? a ln

2 ? 2 >2( (a ? 1) ,………8 分 a
ln

2 2 2 ? 1 , 0 ? a ? .实数 a 的取值范围(0, )………9 分 a e e 2 (3) 当 a=1 时, g (x) = ? ln x ? x ? 2 ? b ,(x>0) x
∴a ln

2 ? a, a

g ?(x ) =

x2 ? x ? 2 ,由 g ?(x ) >0 得 x>1, 由 g ?(x ) <0 得 0<x<1. x2

所以 g (x) 的单调递增区间是(1,+ ? ),单调递减区间(0, 1) x=1 时 g (x) 取得极小值 g (1) . ………10 分

[来源:GkStK.Com]

? g (e ?1 ) ? 0 ? ?1 因为函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ? 0 …11 分 ? g (1) ? 0 ?
解得 1 ? b ≤

2 ? e ?1. e 2 ? e ? 1] . e
……………12 分

所以 b 的取值范围是 (1,

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