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导数复习讲练


导数的概念练习:
2 P ( 1 , 2 ) 1.已知点 是曲线 y ? 2x 上一点,则 P

处的瞬时变化率为



3 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1,3) 处的切线的倾斜 2.曲线

角为



切线方程:
例1

求曲线 y ? 5 x 与直线 y ? 2 x ? 4 平行的切线 的方程.

例2 已知曲线 C : y ? x 3 ? x ? 2 和点 线在点 A 处的切线方程.

A(1,2)

,求曲

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x) g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

导数的计算
1.用公式法求下列导数:
(1) y ? x ? 2 (3x ? 1) 2

(2) y ? e cos x
2x

(3) y ? ln(x ? sin x)

(4) y ? log3 ( x2 ?1)

2 已知 f ( x ) ? 2 x ? 3xf ?(1),则f ?(0) ? _____ 2.



2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/ f (x)

;

③解不等式 f/(x)>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/(x)<0 得f(x)的单调 递减区间.

1.函数

f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ?在 1

上是减函数,求 R

a 的取值范围.
2. 函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 有极值的充要条件是
3
3 2 f ( x ) ? x ? 3 ax ? 2bx 在点 x ? 1处有 3、已知函数 极小值,试确定 a , b 的值,并求出 f ( x) 的单

调区间.

4.已知函数 , 求:(1)函数的单调区间; ? 1, e? 上的最小值 ( 2 )若函数在区间 3 为 2 ,求实数 a 的值.

f ( x) ? ln x ?

a x

例题解析
3 2 f ( x ) ? ax ? bx 已知函数 在x=1时有极大值3,

求 含在 有区 参间 数上 的的 函最 数值 问 题

(1)求a,b的值 (2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值最小值
3 2 2 ( 1 ) f ( x ) ? ax ? bx , f ' ( x ) ? 3 ax ? 2bx 解:

由题意可知:
?a ? ?6 ? f ' (1) ? 3a ? 2b ? 0 ? ? ? b?9 ? f (1) ? a ? b ? 3 (2) f ( x) ? ?6x3 ? 9x2 , f ' ( x) ? ?18x 2 ? 18x

?

0

?

? ?18x( x ? 1)
1

?

x=0是极小值点 x=1是极大值点

在[-3,3]中,f (0) ? 0, f (1) ? 3, f (3) ? ?81 f (?3) ? 243 ∴f(x)在[0,3]中有最大值243,最小值-81.

例题解析
3 2 f ( x ) ? ax ? 6 ax ? b(a ? 0) 在[-1,2]上的 例3:已知函数 最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.

解: f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b
f ' ( x) ? 3ax2 ? 12ax ? 3ax( x ? 4) 令f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? 0, x2 ? 4 是极值点

在[-1,2]中, f (0) ? b, f (?1) ? ?7a ? b, f (2) ? ?16a ? b

?a ? 0
? f (0) ? f (?1) ? f (2)
b?3 ? 由题意得? ?? 16a ? b ? ?29
?a ? 2 ? ?b ? 3

例题解析
已知函数
1 2 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 5 2
3

当x ?[?1,2]时,f ( x) ? m恒成立,求实数 m的取值范围

解: f ' ( x) ? 3x 2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ?1)
2 令f ' ( x) ? 0, 解得 x1 ? ? , x2 ? 1 3

?
? 2 3

?

?
1

2 x ? 1是极小值点, x ? ? 是极大值点 3

在[-1,2]中,

f (?2) ?

11 2 157 , f (2) ? 7, f (? ) ? 2 3 27

∴f(x)在[-1,2]中有最大值7. 要使f(x)<m恒成立,则m>7.

三、回顾小结
导数的概念、几何意义、运算及其在函数 研究中的作用.


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