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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限时跟踪练57


分层限时跟踪练(五十七)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

【解析】 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 【答案】 C 2.[x]表示不超过 x 的最大整数,例如:[π ]=3.

S1=[ 1]+[ 2]+[ 3]=3, S2=[ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10, S3=[ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21,
?, 依此规律,那么 S10 等于( A.210 ) D.240

B.230 C.220

【解析】 ∵[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴S1=[ 1]+[ 2]+[ 3]=1×3=3,

S2=[ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=2×5=10, S3=[ 9]+[ 10]+?+[ 15]=3×7=21
?,

Sn=[ n2]+[ n2+1]+[ n2+2]+?+[ n2+2n]=n(2n+1),
∴S10=10×21=210. 【答案】 A 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P?ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 =( A. 1 8

V1 V2

) B. 1 9

1

C.

1 64

D.

1 27

V1 1 【解析】 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27
【答案】 D 4. (2015·上海模拟)如图 11?2?3 所示,有一个六边形的点阵,它的中心是 1 个点(算 第 1 层),第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,?,依此类推,如果一个六边形点 阵共有 169 个点,那么它的层数为( )

图 11?2?3 A.6 C.8 B.7 D.9

【解析】 由题意知,第 1 层的点数为 1,第 2 层的点数为 6,第 3 层的点数为 2×6, 第 4 层的点数为 3×6, 第 5 层的点数为 4×6, ?, 第 n(n≥2, n∈N )层的点数为 6(n-1). 设 一 个 点 阵 有 n(n≥2 , n ∈ N ) 层 , 则 共 有 的 点 数 为 1 + 6 + 6×2 + ? + 6(n - 1) = 1 + 6+6?n-1? 2 2 ×(n-1)=3n -3n+1,由题意得 3n -3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0, 2 所以 n=8,故共有 8 层. 【答案】 C 5.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 述结论,在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( A. C. 6 a 3 3 a 3 B. D. 6 a 4 3 a 4 ) 3 a,类比上 2
* *

【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥, 它们的体积之和为正四面体的 体积,设点到四个面的距离分别为 h1,h2,h3,h4,每个面的面积为 为 2 3 a, 12 1 3 2 2 3 则有 × a (h1+h2+h3+h4)= a , 3 4 12 3 2 a ,正四面体的体积 4

2

得 h1+h2+h3+h4= 【答案】 A 二、填空题

6 a. 3

1 1 1 9 6.(2015·枣庄模拟)在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在凸四边形 ABCD 中,不 A B C π 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 等式 + + + ≥ 成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,?, A B C D 2π A B C D E 3π 1 1 1 依此类推,在凸 n 边形 A1A2?An 中,不等式 + +?+ ≥____________成立.

A1 A2

An

1 1 1 9 3 1 1 1 1 16 4 1 1 1 1 1 25 5 【解析】 ∵ + + ≥ = ,+ + + ≥ = ,+ + + + ≥ = , ?, A B C π π A B C D 2π 2π A B C D E 3π 3π ∴ + +?+ ≥ (n∈N ,n≥3). A1 A2 An ?n-2?π 【答案】 1 1 1

2

2

2

n2

*

n2
?n-2?π

(n∈N ,n≥3)

*

7.在平面几何中:△ABC 中∠C 的平分线 CE 分 AB 所成的线段的比为

AC AE = (如图 BC BE

11?2?4(1)).把这个结论类比到空间:在三棱锥 A?BCD 中(如图 11?2?4(2)),面 DEC 平分二 面角 A?CD?B 且与 AB 相交于 E,则类比得到的结论是______________.

图 11?2?4 【解析】 由平面中线段的类比空间中面积的比可得 【答案】

AE S△ACD = . EB S△BCD

AE S△ACD = EB S△BCD

8.(2015·陕西高考)观察下列等式 1 1 1- = , 2 2 1 1 1 1 1 1- + - = + , 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + , 2 3 4 5 6 4 5 6 ?,

3

据此规律,第 n 个等式可为______________. 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 等式的左边的通项为 - ,前 n 项和为 1- + - +?+ - ; 2n-1 2n 2 3 4 2n-1 2n 右边的每个式子的第一项为 1

n+1

,共有 n 项,故为

1

n+1 n+2



1

+?+

1

n+n

.

1 1 1 1 1 1 1 1 【答案】 1- + - +?+ - = + +? 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 三、解答题 9.观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 016 是第几行的第几个数? 【解】 (1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2 , ∴第 n 行的最后一个数是 2 -1. (2)2 =
n-1 n n

+(2

n-1

+1)+(2

n-1

+2)+?+(2 -1)
2n-3

n

?2

n-1

+2 -1?·2 2
11

n

n-1

=3·2

-2

n-2

.

(3)∵2 =1 024,2 =2 048,1 024<2 016<2 048, ∴2 016 在第 11 行,该行第 1 个数是 2 =1 024, 由 2 016-1 024+1=993,知 2 016 是第 11 行的第 993 个数. 10.(2015·沈阳二模)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点, 点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之 积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1 写出类似的性质. 【解】 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是 双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是 与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M、P 的坐标分别为(m,n)、(x,y), 则 N(-m,-n). 因为点 M(m,n)在已知双曲线上,
4
10

10

x2 y2 a b

x2 y2 a b

所以 n = 2m -b . 同理,y = 2x -b .
2

2

b2 a

2

2

b2 a

2

2

b2 2 2 2?x -m ? y-n y+n y2-n2 a 则 kPM·kPN= · = 2 2= x-m x+m x -m x2-m2
= 2(定值). [能 力 练] 扫盲区 提素能 1.(2015·南昌模拟)如图 11?2?5 所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=a, CD=b(a>b).

b2 a

图 11?2?5 若 EF∥AB,EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m∶n,则可推算出:EF=

ma+nb .用类比的方 m+n

法,推想出下面问题的结果.在上面的梯形 ABCD 中,分别延长梯形的两腰 AD 和 BC 交于 O 点,设△OAB,△ODC 的面积分别为 S1,S2,则△OEF 的面积 S0 与 S1,S2 的关系是( A.S0= )

mS1+nS2 m+n m S1+n S2 m+n

B.S0=

nS1+mS2 m+n n S1+m S2 m+n

C. S0=

D. S0=

【解析】 在平面几何中类比几何性质时, 一般是由平面几何中点的性质类比推理线的 性质;由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质.故由 EF= 的面积 S0 与 S1,S2 的关系是 S0= 【答案】 C 2.(2015·杭州模拟)设 f 为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数 如下表所述:

ma+nb 类比到关于△OEF m+n

m S1+n S2 . m+n

f(x)-20=0 f(x)-10=0 f(x)=0

1 3 3

f(x)+10=0 f(x)+20=0

1 1

关于 f 的极小值 α ,试问下列选项中正确的是(

)
5

A.0<α <10 C.-10<α <0

B.-20<α <-10 D.α 不存在

【解析】 f(x)分别向上向下平移 10 个单位和 20 个单位分别得到 f(x)+10,f(x)+ 20,f(x)-10,f(x)-20,由题意可近似画出 f(x)的草图,由图可知 f(x)极小值 α ∈(- 10,0).

【答案】 C 3. (2015·长沙一模)如图 11?2?6 所示, 小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向 滚动, 小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半. 如果小正六边形沿着大正六边形的边 → 滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中,向量OA围绕着点 O 旋转了 θ 角,其中 O 为 小正六边形的中心,则 sin θ θ +cos =________. 6 6

图 11?2?6 → 【解析】 从题图可得,向量OA转了 6 个 60°的角,6 个 120°的角,∴θ =6×60° +6×120°=1 080°,所以 sin 【答案】 -1 4. 已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是________. 【解析】 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整数 对”的和均为 n+1,且第 n 组共有 n 个“整数对”,这样的前 n 组一共有 θ θ +cos =sin 180°+cos 180°=-1. 6 6

n?n+1?
2

个“整

10×?10+1? 11×?11+1? 数对”, 注意到 <60< , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每 2 2 个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置,结合题意可知每个“整数对”的和 12 的组中

6

的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对”是 (5,7). 【答案】 (5,7) 5.(2015·陕西第二次质量检测)如图 11?2?7,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AA1=2,E 为棱 CC1 的中点.

图 11?2?7 (1)求证:B1D⊥AE; (2)求证:AC∥平面 B1DE. 【证明】 (1)如图,连接 BD,则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD.

∵CE⊥平面 ABCD,∴CE⊥BD. 又 AC∩CE=C,∴BD⊥平面 ACE. ∵AE? 平面 ACE,∴BD⊥AE,∴B1D1⊥AE. (2)取 BB1 的中点 F,连接 AF,CF,EF, 则 FC∥B1E, ∴CF∥平面 B1DE. ∥BC. ∵E,F 分别是 CC1,BB1 的中点,∴EF═ ∥AD,∴EF∥AD, 又 BC═ ═ ∴四边形 ADEF 是平行四边形,∴AF∥ED. ∵AF?平面 B1DE,ED? 平面 B1DE, ∴AF∥平面 B1DE. ∵AF∩CF=F,∴平面 ACF∥平面 B1DE.
7

又 AC? 平面 ACF,∴AC∥平面 B1DE. 6.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 【证明】 1

AD

2



1

AB

2



1

AC2

,那么在四面体 ABCD 中,

如图所示,由射影定理,得

AD2=BD·DC,AB2=BD·BC, AC2=BC·DC,∴ 2= AD BD·DC
= 1 1

BC2 BC2 = 2 . BD·BC·DC·BC AB ·AC2
2 2 2

又 BC =AB +AC ,∴

1

AD

2



AB2+AC2 1 1 . 2 2= 2+ AB ·AC AB AC2
1

猜想,在四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD,则

AE2 AB2 AC2 AD2



1



1



1

.

证明:如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD, 又 AF? 平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1

AE2 AB2 AF2



1



1

.

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ 1

AF2 AC2 AD2



1



1

,∴

1

AE2 AB2 AC2 AD2



1



1



1

.

8


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