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3.2立体几何中的向量方法(5)


3.2立体几何中的向量方法(五)
-----空间的综合问题

用坐标法解决立体几何中问题的一般 步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系; 2.写出相关点的坐标及向量的坐标; 3.进行相关的计算; 4写出几何意义下的结论.

例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3, 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60°,且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多 F3 少时,才能提起这块钢板?
分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ,垂直向下作用在 三角形的中心 O ,如果能将各 ?? ?? ?? ? ? ? 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示,求出其合力,A 就能判断钢板的运动状态.

F1 F2 o

C

500kg

B

F2
F3

F1

F1

F3 F2 O C

A
F2 F3 F1

B
500kg

?? ?? ?? ? ? ? 合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)

解:如图,以点 为原点,平面 A ABC为xAy坐标

平面, 方向为y轴正方向, 为y轴的单位长度 AB AB 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C (? , ,0). 2 2 z
F1
O A
x 500kg

F3
C

F2
B

y

设力F1方向上的单位向量坐标 ( x, y, z ), 为
?

由于F1与 AB, AC的夹角均为 ,利用向量 60 1 的数量积运算,得 60 ? ? ( x, y, z ) ? (0,1,0), cos 2 1 ? cos60 ? 2 z 3 1 F3 ? ( x, y , z ) ? ( ? , ,0), 2 2 F1
?

C

F2

1 1 解得x ? ? ,y? . 12 2
x

O A
500kg

B

y

2 又因为x ? y ? z ? 1,因此z ? 3
2 2 2

1 1 2 所以F1 ? 200(? , , ) 12 2 3 类似地
1 1 2 F2 ? 200(? ,? , ) 12 2 3 1 2 F3 ? 200( ,0, ) 3 3
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

500kg

y

它们的合力F+F2 ? F3 1 1 1 2 1 1 2 1 2 ? 200[(? , , ) ? (? ,? , ) ? ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 ? 200(0,0, 6 )
这说明,作用在钢板上 的合力方向向上, 大小为200 6kg, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

由于200 6 ? 500,

500kg

y

例2、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F E C B

D
A

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2

Z

P F
D
G

因为底面ABCD是正方形, 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , ,) 0 2 2
A X

E

C B

Y

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2EG ,即PA// EG 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(2)证明:依题意得 (1,1,0), PB ? (1,1,?1) B
1 1 1 1 又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD

Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(3)解:已知PB ? EF,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1) 因为PF ? k PB (
所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ?k )
Z

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以 k ? 3

P F
D A X
G

E

C B

Y

1 1 2 点F的坐标为 ( , , ) 3 3 3

1 1 又点E的坐标为 (0, , ) 2 2

1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6
因为cos?EFD ? FE ? FD FE FD 1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 6 6 3 3 3 ?6?1 ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60? ,即二面角C ? PB ? D的大小为 ?. 60

小结
利用空间向量解决立体几何中的问题, 首先要探索如何用空间向量来表示点、 直线、平面在空间的位置以及它们的关 系.即建立立体图形与向量之间的联系,这 样就可以将立体几何问题转化成空间向 量的问题.解决立体几何中的问题,有三种 常用方法:综合方法、向量方法、坐标方 法,对具体问题要会选用合适得方法.

作业
P113 A组 11 12
B组 1 2


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