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限时速解训练3


限时速解训练三[单独成册]
(建议用时 30 分钟) 1.(2016· 贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 ac>bc,则 a>b a b C.若 2< 2,则 a<b c c D.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d 解析:选 C.A、B 不符合不等式乘法性质,缺少“>0”,而 C 中,显然 c2>0.符合性质. x+y≥2, ? ? 2.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2, → → 则OA· OM的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,2] ) B.[0,1] D.[-1,2] )

上的一个动点,

→ → 解析:选 C.作出可行域,如图所示,由题意OA· OM=-x+y.设 z=-x+y,作 l0:x-y=0, 易知,过点(1,1)时 z 有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2)时 z 有最大值,zmax=0+2=2, → → ∴OA· OM的取值范围是[0,2],故选 C.

2x-y+1>0, ? ? 3.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 2y0=2,则 m 的取值范围是( 4? A.? ?-∞,3? 2? C.? ?-∞,-3? )

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-

1? B.? ?-∞,3? 5? D.? ?-∞,-3?

解析:选 C.作出不等式组表示的平面区域,根据题设条件分析求解.当 m≥0 时,若平面区 域存在, 则平面区域内的点在第二象限, 平面区域内不可能存在点 P(x0, y0)满足 x0-2y0=2, 1 因此 m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含 y= x-1 上 2

1 1 的点,只需可行域边界点(-m,m)在直线 y= x-1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 m< 2 2 2 - . 3

4.若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( A.ex≤1+x+x2 B. 1 1 1 ≤1- x+ x2 2 4 1+x

)

1 C.cos x≥1- x2 2 1 D.ln(1+x)≥x- x2 8 解析:选 C.根据所给选项中不等式的特征构造函数求解. 1 1 设 f(x)=cos x+ x2-1,则 f′(x)=-sin x+x≥0(x≥0),所以 f(x)=cos x+ x2-1 是增函数, 2 2 1 1 所以 f(x)=cos x+ x2-1≥f(0)=0,即 cos x≥1- x2.故选 C. 2 2 5.设变量 x,y 满足|x-1|+|y-a|≤1,若 2x+y 的最大值是 5,则实数 a 的值是( A.2 C.0 B.1 D.-1 )

解析:选 B.作出满足条件的平面区域,如图阴影部分所示,由图可知当目标函数 z=2x+y 经过点(2,a)时取得最大值 5,即 2×2+a=5,解得 a=1,故选 B.

2 1 6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,a2+b=4,则 + 的最大值为( x y A.1 C.3 解析: 选 B. 由 ax = by = 2 得 x = loga2 = B.2 D.4

)

1 1 2 1 , y = logb2 = , + = 2log2a + log2b = log2a log2b x y

log2(a2· b)≤log2?

a2+b?2 2 ? 2 ? =2(当且仅当 a =b=2 时取等号),故选 B.

7.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 )

解析: 选 C.设底面矩形的一条边长是 x m, 总造价是 y 元, 把 y 与 x 的函数关系式表示出来, 再利用均值(基本)不等式求最小值. 由题意知,体积 V=4 m3,高 h=1 m,所以底面积 S=4 m2,设底面矩形的一条边长是 x m, 8 4 2x+ ?≥80+20 则另一条边长是 m, 又设总造价是 y 元, 则 y=20×4+10×? x? ? x 8 当且仅当 2x= ,即 x=2 时取得等号,故选 C. x 8.若正实数 x,y 满足 x+y+1=xy,则 x+2y 的最小值是( A.3 C.7 x+1 解析:选 C.由 x+y+1=xy,得 y= , x-1 又 y>0,x>0,∴x>1. 2 x+1 ∴x+2y=x+2× =x+2×?1+x-1? ? ? x-1 4 4 =x+2+ =3+(x-1)+ ≥3+4=7, x-1 x-1 当且仅当 x=3 时取“=”.故选 C. 2x-y-2≥0, ? ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0, 直线 OM 斜率的最小值为( A.2 1 C.- 3 ) B.1 1 D.- 2 B.5 D.8 ) 8 2x· =160, x

所表示的区域上一动点,则

解析:选 C.画出图形,数形结合得出答案.如图所示,

2x-y-2≥0, ? ? ?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0
? ?x+2y-1=0, 由? ?3x+y-8=0, ?

所表示的平面区域为图中的阴影部分.

得 A(3,-1). 1 当 M 点与 A 重合时,OM 的斜率最小,kOM=- ,故选 C. 3 10.已知 a>b,二次三项式 ax2+2x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立.又?x0∈R,使 ax2 0+2x0 a2+b2 +b=0 成立,则 的最小值为( a-b A.1 B. 2 C.2 D.2 2 )

解析:选 D.由题知 a>0 且 Δ=4-4ab≤0?ab≥1,又由题知 Δ=4-4ab≥0?ab≤1,因此 ab=1, D. 1 2 11.若不等式 m≤ + 在 x∈(0,1)时恒成立,则实数 m 的最大值为( 2x 1-x 9 A.9 B. 2 5 C.5 D. 2 9 2 1 9 1 2 解析:选 B. + =? + x?+? ?1-x?+1-x? 2x 1-x ?2x 2 ? ?2 ? 9 - ≥2 2 1 9 × x+2 2x 2 2 9 9 ?1-x??1-x?- 2 ? ? 2 1 9 ) a2+b2 ?a-b?2+2ab 2 = =a-b+ ≥2 2(当且仅当(a-b)2=2 时等号成立),故选 a-b a -b a-b

?2x=2x, 3 9 9 9 =2× +2×3- =9- = ,当且仅当? 2 2 2 2 9 2 ?1-x?= , ?2 1-x

1 即 x= 时取得等号,所以实数 3

9 m 的最大值为 ,故选 B. 2 1 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)< ,则 2 x2 1 不等式 f(x2)< + 的解集为( 2 2 A.(1,+∞) C.(-1,1) ) B.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

1 1 1 解析:选 D.记 g(x)=f(x)- x- ,则有 g′(x)=f′(x)- <0,g(x)是 R 上的减函数,且 g(1) 2 2 2 1 1 x2 1 x2 1 =f(1)- ×1- =0.不等式 f(x2)< + ,即 f(x2)- - <0,g(x2)<0=g(1),由 g(x)是 R 上的 2 2 2 2 2 2 x2 1 减函数得 x2>1, 解得 x<-1 或 x>1, 即不等式 f(x2)< + 的解集是(-∞, -1)∪(1, +∞). 故 2 2 选 D. 13.若实数 x,y 满足|xy|=1,则 x2+4y2 的最小值为________. 解析:x2+4y2≥2 4x2y2=4|xy|=4. 答案:4 x-y+2≥0 ? ? 14.若不等式组?ax+y-2≤0 ? ?y≥0

表示的平面区域的面积为 3,则实数 a 的值是________.

1 2 ? +2 ×2=3,解得 a=2. 解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积 S= ? 2?a ?

答案:2 x-y+2≤0 ? ? 15.已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1 ? ?2x+y-8≤0 y ,则 的取值范围是________. x

解析:如图,画出可行域,易得 A(2,4),B(1,6),∴它们与原点连线的斜率分别为 k1=2,k2 y y-0 y y =6,又 = ,∴k1≤ ≤k2,即 2≤ ≤6. x x-0 x x

答案:[2,6] 16.(2016· 唐山市模拟)已知 x,y∈R,满足 x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2 的取值范围为 ________. x2+4y2 解析:∵2xy=6-(x2+4y2),而 2xy≤ , 2 x2+4y2 ∴6-(x +4y )≤ , 2
2 2

∴x2+4y2≥4,当且仅当 x=2y 时取等号. 又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即 2xy≥-6, ∴z=x2+4y2=6-2xy≤12. 综上可得 4≤x2+4y2≤12. 答案:[4,12]


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