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浙江省嘉兴一中2013届高三10月月考 数学文试题


嘉兴一中 2012 学年第一学期阶段性检测(一) 高三数学(文) 试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页.满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1) 若 x∈R.则“(x-1)(x+3)<0”是“(x+1)(x-3)<0”的 ( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (2) 设复数 z1=1+i,z2=1-i(i 是虚数单位) ,则
z1 z2 ? z2 z1







(A) -i (B) i (C) 0 (D) 1 (3) 设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是 ( ) (A) 若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ (B) 若 α//β,m ? β,m//α,则 m//β (C) 若 α⊥β,m⊥α,则 m//β (D) 若 m//α,n//β,α⊥β,则 m⊥n (4) 若要得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需将曲线 y= 2 sin2x 上所有的点( (A) 向左平移 (C) 向左平移
π 4 π 8



个单位 个单位

(B) 向右平移 (D) 向右平移

π 4 π

个单位 个单位
??? ? ??? ? ????

(5) 设点 O 是边长为 1 的正△ ABC 的中心(如图所示) ,则 ( O A ? O B ) ? ( O A ? O C ) = ( (A) (C)
1 9 1 6

??? ?

8



(B) (D)

? ?

1 9 1 6

A

O B (第 5 题) C

(6) 设数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1.若 a1+b1=5,a1>b1 (a1,b1,n∈N*) ,则数列 { a b } 的前 10 项的和等于( )
n

(A) 55 (B) 70 (C) 85 (D) 100 (7) 若圆 C: 2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称, x 则由点(a,b)向圆所作的切 线长的最小值是( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (8) 已知函数



,当 x=a 时, 的 图

取得最小值 b,则 象 为

函 ( )



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(9)过双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0)( c ? 0) ,作圆 x ? y ?
2 2

a

2

的切

4

线,切点为 E,延长 FE 交曲线右支于点 P,若 O E ? 率为 A. 1 0 ( B. )
10 5

??? ?

? 1 ???? ??? O F ? O P ,则双曲线的离心 2

?

?

C.
y b
2 2

10 2

D. 2

(10) 设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆
1 x
2

x a
1 y

2 2

?

? 1 (a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论:

① a2+b2≥(x+y)2;②

?

2

?1 1? ? ? ? ? ?a b?

2

;③

a x

2 2

?

b y

2 2

? 4

;④

xx ? a
2

?

yy ? b
2

?1



其中正确的个数为( ) (A) 1 个 (B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. (11) 如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是___ _. (12) 若 sinα=
1 2

+cosα( ?

? π? ? ? 0, ? ? 2?

) ,则

co s 2 ? π? ? sin ? ? ? ? 4? ?

的值为

____.
2 2 (13) 若 实 数 x , y 满 足 x ? y ? xy ? 1 , 则 x ? y 的 最 大 值 是

_______
? x ? 1, x ? 0 (14) f ( x ) ? ? , 函数 y ? f [ f ( x )] ? 1 的所有零点 ? lo g 2 x , x ? 0
(第 11 题)

所构成的集合为________
?x ? 3y ? 0 ? 2 2 (15) 若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ,则 x +y 的最大值是__ ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?

__.

(16) 分别过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点 F1、 F2 所作的两条互相垂直的直线 l1、 l 2 的交点

在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是___

_.

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(17) 设存在实数 x ? ? , 3 ? , 使不等式 t ?
?2 ?

?1

?

1 x

? x ?e

ln x

成立, 则实数 t 的取值范围为____.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18)(本题满分 14 分)已知函数 f (x)=
3

sinωx+ co s ? ? x ?
?

?

π? π? ? ? ? co s ? ? x ? ? ? 1 (ω>0, 3? 3? ?

x∈R) ,且函数 f (x) 的最小正周期为 π. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 f (B)=1, B A ? B C 且 a+c=4,试求 b2 的值. (19)(本题满分 14 分)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2n 1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (20)(本题满分 14 分)若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a(如图) . (Ⅰ)若 a ? 2 2 ,求证:AB//平面 CDE; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A-EC-D 的大小为 60° .
E


??? ???? ?

?

3 3 2



C A D

B

(第 20 题)
x e
x

(21)(本题满分 15 分)设函数 f (x)=ax-lnx-3(a∈R) ,g(x)=



(Ⅰ) 若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线,求实数 a 的值; - (Ⅱ) 是否存在实数 a ( a ? 0 ) , 对任意的 x∈(0,e], 都有唯一的 x0∈[e 4,e], 使得 f (x0) =g(x) 成立.若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

(22) (本题满分 15 分)如图,A 是抛物线 x ? 4 y 上异于原点的任意一点,F 为抛物线的
2

焦点, l 为抛物线在 A 点处的切线,点 B、C 在抛物线上, A B ? l 且交 y 轴于 M,点 A、F、C 三点共线,直线 BC 交 y 轴于 N。 (1)求证:|AF|=|MF|; (2)求|MN|的最小值。

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嘉兴一中 2012 学年第一学期阶段性检测(一) 高三数学(文) 答题卷
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) ?????????????装??????????????订?????????线?????????????? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.__________________ 14.__________________ 17.___________________ 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 18.(本题满分 14 分) 12.___________________ 13.__________________

15.____________________ 16.__________________

班级_________

姓名____________

学号_________

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19.(本题满分 14 分)

20.(本题满分 14 分)

E

C A D

B

(第 20 题)

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21(本题满分 15 分)

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22.(本题满分 15 分)

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月考参考答案 DCBCD 11.
? ?

CCBCD
?
2 ? ? 2 ? ?

3 6

12. ?

14 2

13.

2 3 3

14. ? ? 3,
?

?

1 4

,?

1 2

,

? 2? ?

15. 125

16. ? 0, ?

17. t ?

1 3

18.解: (1) f ? x ? ? 又 T ? π ,? ? ? 2 ,
? f

π? ? 3 sin ? x ? co s ? x ? 1 ? 2 sin ? ? x ? ? ? 1 ,3 分 6? ?

5分 6分

?x? ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ; 6? ?
? ?

(2) f ? B ? ? 2 sin ? 2 B ? 解得 B ? k ? ?
??? ???? ?

π? π? π π ? ? 2k? ? , ? k ? Z ? , ? ? 1 ? 1,? sin ? 2 B ? ? ? 1 ,? 2 B ? 6? 6? 6 2 ?

π 6

? k ? Z ? ,又 B 是 ? A B C 的内角,? B
3 3 2

?

π 6



9分

而 B A ? B C ? ca co s B ?

,? ac ? 3 ,

11 分

又 a ? c ? 4 ,? a 2 ? c 2 ? 1 0 ,
? b ? c ? a ? 2 ac cos B ? 10 ? 3 3 .
2 2 2

14 分

19. 解(Ⅰ) a n ? 2 g4 (2) S n ?

n ?1

n 2 ?1 ? (3 n ? 1) 4 ? ? ?

9

20.解: (1)如图建立空间指教坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, 2 2 ), ??? ? ???? ???? A B ? ? 2, 0, 0 ? , D E ? 0, ? 2, 2 2 , D C ? 1, ? 1, 2 2分 ?? ? 设平面 C D E 的一个法向量为 n1 ? ? x , y , z ? ,则有 ? 2 y ? 2 2 z ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n1 ? 0, 2, 2 4分 ??? ?? ? ? ? A B ? n1 ? 0 ,又 A B 不在平面 C D E 内,所以 A B // 平面 C D E ; 7分

?

?

?

?

?

?

(2)如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, a ),
2 , ?? ? 设平面 C D E 的一个法向量为 n 2 ? ? x , y , z ? ,则有
? 2 y ? az ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 , ?? ? 取 z ? 2 时, n 2 ? a ? 2 2 , a , 2 9分 ?? ? 又平面 A E C 的一个法向量为 n 3 ? ? ? 1,1, 0 ? , 10 分 ?? ?? ? ? n2 ? n 1 因为二面角 A ? E C ? D 的大小为 6 0 ? ,? ?? ??3 ? , ? ? 2 n2 n3

???? ???? D E ? ? 0, ? 2, a ? , D C ? 1, ? 1,

?

?

?

?

即 a 2 ? 2 x a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 注:几何解法相应给分.
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2 ?2

14 分 15 分

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? 21. 解: Q g ' ? x ? ? ? 1 ? x ? e ? x , g ' ? 0 ? ? 1 , 所以 g ? x ? 的图象在 ? 0 , 0 ? 处的切线方程是 y ? x ; 2分

设 y ? x 与 f ? x ? 的图象切于点 ? x 0 , y 0 ? ,而 f ' ? x ? ? a ?
1 x0

1 x



?a?

? 1 且 ax 0 ? ln x 0 ? 3 ? x 0 ,解得 a ? e ? 1 ;
2

5分

(2) Q g ' ? x ? ? ? 1 ? x ? e ? x ,? g ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上单调递增,在 ?1, e ? 上单调递减, 且 g ? 0 ? ? 0, g ? 1 ? ?
1
? 1? , ,? g ? x ? ? ? 0, ? ; e ? e?

8分
? ? 1? ?

若令 m ? g ? x? , 则原命题 等价于对于 任意 m ? ? 0 , ? ,都有 唯一的 x 0 ? ? e ? 4 , e ? ,使 得 ? ? e
f

? x 0 ? ? m 成立.
1 1

9分

而 f '? x ? ? a ?

, x ? ? e ?4 , e ? , ? ? e ?1 , e 4 ? ? ? ? x x ? 当 0 ? a ? e ? 1 , f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ? e ? 4 , e ? 上单调递减,要满足条件,则必 ? ? 须有 f m ax ? f ? e ? 4 ? ? a e ? 4 ? 1 ? 11 分 当 e ? 1 ? a ? e 4 时, f ? x ? 在区间 ? e ? 4 , ? 上单调递减,在 ?
? a? ? 1? ?1 ? , e ? 上单调递增, ?a ?

1 e

,且 f min ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ?

1 e

,? 0 ? a ? e ? 1 ;

又 f ? e ?4 ? ? a e ?4 ? 1 ?
?e
?1

1 e

,要满足条件,则 f m in ? f ?

4 ?1? , ? ? f ? e ? ? a e ? 4 ? 0 ,解得 a ? e ?a?

?a?

4 e



12 分

④当 a ? e 4 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ? e ? 4 , e ? 上单调递增 ? ? 又 f m in ? f ? e ? 4 ? ? a e ? 4 ? 1 ? 0 ,所以此时不存在 a 满足条件; 综上有 0 ? a ? 22.解:
4 e

13 分



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