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【学案】2.5 圆锥曲线统一定义


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2.5 圆锥曲线的统一定义
学习过程 一、问题情境 1.情境: 我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离的比等于

1 的动点 P 的轨迹是抛物线,当这个比值是一个不等于1的常数时,动点 P 的轨迹又是什么
曲线呢? 2.问题: 试探讨这个常数分别是

1 和 2 时,动点 P 的轨迹? 2

二、学生活动 探讨过程略(可以用课件演示) ; 可以得到:当常数是

1 时,得到的是椭圆;当常数等于 2 时得到的是双曲线. 2

问题:请大家回顾椭圆的标准方程的推导过程(可以用自己制作课件演示) 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个方程:

a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2
( x ? c) 2 ? y 2 c 将其变形为 ? a2 a ?x c
思考:你能解释这个方程的几何意义吗?

三、数学运用 例题:已知点 P( x, y) 到定点 F (c , 0) 的距离与它到定直线 l : x ?

a2 的距离的比是常数 c

c (a ? c ? 0) ,求点 P 的轨迹. a

变题:已知点 P( x, y) 到定点 F (c , 0) 的距离与它到定直线 l : x ?

a2 的距离的比是常数 c

c (c ? a ? 0) ,求点 P 的轨迹. a

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四、知识建构 类似地,我们可以得到:_______________________________,这个点的轨迹是双曲线,

x2 y 2 2 2 2 方程为 2 ? 2 ? 1 (其中 b ? c ? a ) ,这个常数就是双曲线的_________. a b
这样, 圆锥曲线可以统一定义为: 平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l( F 不在 l 上) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,它表示___________; 当 e ? 1 时,它表示______________; 当 e ? 1 时,它表示______________. 其中 e 是圆锥曲线的_______,定点 F 是圆锥曲线的__________,定直线 l 是圆锥曲线 的___________. 根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭 圆或双曲线,与焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 对应的准线方分别为 x ? ? 五、随堂检测 1、填空(见课本第 53 页感受 ? 理解第一题) 2、 已知某圆锥曲线的准线是 x ? 1 , 在离心率分别取下列各值时, 求圆锥曲线的标准方程: (1) e ?

a2 a2 ,x ? . c c

1 2

(2) e ? 1

(3) e ?

3 2

说明:椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应 左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线. ) 六、同步测评 1.曲线 2 x ? 4 y ? 1 的准线方程为
2 2

.

2.椭圆

22 x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右准线的距离为 ,则该点到 x 轴的距离为 3 25 16

.

x2 y 2 ? ? 1 的左准线是 l ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,抛物线 C2 的准线也是 l , 4 3 焦点为 F2 , C1 与 C2 的一个交点为 P ,则 PF2 的值等于 .
3.椭圆 C1 :
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4.动点 P 与点 F (1, 0) 间的距离比点 P 到直线 l : x ? ?2 的距离小 1,则点 P 的轨迹方程 为 .

5. 已知点 A(1, 2) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内, F 的坐标为(2,0) ,在椭圆上求一点 P 使 16 12

PA ? 2 PF 最小.
七.回顾小结: 1、圆锥曲线的统一定义. 2、掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法. 3、如果有不懂的地方,可以百度搜索. 答案: 同步测评:1.

x2 y 2 4 6 8 6 ? ? 1 ;2. ;3.2;4. y 2 ? 4 x ;5. ( , 2) 1 1 3 5 2 4

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