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选修2-1二面角及其度量作业25


课时作业(二十五)
一、选择题 1.若分别与一个二面角的两个面平行的向量 m=(-1,2,0),n= (1,0, -2), 且 m、 n 都与二面角的棱垂直, 则二面角的正弦值为( 1 24 1 15 A.5 B. 5 C.4 D. 4 解析:设二面角为 θ,则 cos θ=|cos〈m,n〉|= 1 5,sin θ= 答案:B 2.已知平面 α 内有一个以 AB 为直径的圆,PA⊥α,点 C 在圆周 上(异于点 A, B), 点 D、 E 分别是点 A 在 PC、 PB 上的射影, 则( A.∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角 B.∠AED 为二面角 A-PB-C 的平面角 C.∠DAE 为二面角 B-PA-C 的平面角 D.∠ACB 为二面角 A-PC-B 的平面角 解析:先证 PB⊥平面 AED,则∠AED 即为二面角 A-PB-C 的 平面角. 答案:B ) 24 1-cos2θ= 5 . |m· n| 1 = = |m|· |n| 5· 5 )

3.如图所示,二面角 α-l-β 的平面角为 120° ,A、B∈l,AC ?α,BD?β,AC⊥l,BD⊥l,若 AB=AC=BD=1,则 CD 等于( )

A. 2 C.2

B. 3 D. 5

→ → → → → → → 2 解析:∵CD=CA+AB+BD,∴CD =1+1+1+2CA· BD, → → 2 ∴CD =3+2×1×1· cos 60° =4,∴|CD|=2.故选 C. 答案:C 4.若 P 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1B1 的中点,设正方体 的棱长为 1,则截面 PC1D 和平面 AA1B1B 所成的二面角的正切值是 ( ) 2 2 A. 2 B. 2 C.2 2 D. 4

解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0), 1 ? 1 ? ? ? P?1,2,1?,C1(0,1,1),DP=?1,2,1?,DC1=(0,1,1),设平面 PDC1 ? ? ? ? 1 ?n· DP=x+2y+z=0, 的法向量为 n=(x,y,z),则? → ?n· DC =y+z=0.
1







令 y=2,则

→ z=-2,x=1,∴n=(1,2,-2).又DA=(1,0,0)为平面 AA1B1B 的法 向量. 设截面 PC1D 与平面 AA1B1B 所成二面角为 θ,则 cos θ=|cos → 1 2 2 〈DA,n〉|=3,∴sin θ= 3 ,

∴tan θ=2 2.故选 C. 答案:C 5.等腰直角三角形 ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 中点, 沿 BM 把它折成二面角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C-BM-A 的 大小为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

解析:如图,由 AB=BC=1,∠ABC=90° ,得 AC= 2.因为 M 2 为 AC 中点,所以 MC=AM= 2 ,且 CM⊥BM,AM⊥BM. ∴∠CMA 为二面角 C-BM-A 的平面角. 2 ∵AC=1,MC=MA= 2 .∴∠CMA=90° ,故选 C. 答案:C 6. 直线 AB 与直二面角 α-l-β 的两个半平面分别交于 A, B 点, 且 A,B?l,如果直线 AB 与 α,β 所成的角分别是 θ1,θ2,那么 θ1+θ2 的取值范围是( π A.2<θ1+θ2<π π C.θ1+θ2<2 ) π B.θ1+θ2=2 π D.0<θ1+θ2≤2

解析:如图所示,α-l-β 为直二面角,则 α⊥β,交线为 l,作 AC⊥l 于点 C,则 AC⊥β,同理作 BD⊥l 于点 D,则 BD⊥α,所以 θ2 为 AB 与 β 所成的角,θ1 为 AB 与 α 所成的角. 由最小角定理知 θ2≤ π π ∠ABD,而在 Rt△ABD 内,∠ABD+θ1=2,所以 0<θ1+θ2≤2.故选 D. 答案:D 二、填空题 7.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的锐角为 θ,则 cos θ 等于________.

解析: 如图所示, MN 为两平面交线, 取 MN 的中点 E, 连接 A1E, AE,则 A1E⊥MN,AE⊥MN,故∠A1EA 为二面角 A-MN-A1 的平面 2 6 角.设正方体棱长为 a,则 AM=MN= 2 a,AE=A1E= 4 a,∴cos 1 1 ∠A1EA=-3,故 cos θ=3. 1 答案:3

8. 平面 α 的一个法向量 n1=(1,0,1), 平面 β 的一个法向量 n2=(- 3,1,3),则 α 与 β 所成的角是________. 解析:∵cos〈n1,n2〉= ∴α 与 β 所成的角为 90° . 答案:90° n1· n2 =0 |n1||n2|

9.如图所示,ABCD 是边长为 2 的正方形,MA 和 PB 都与平面 ABCD 垂直,且 PB=2MA=2,设平面 PMD 与平面 ABCD 所成二面 角的平面角为 α,则 sin α=________. 解析:解法一:延长 BA,PM 交于 E 点,连接 ED,则 ED 为平 面 PMD 与平面 ABCD 的交线, 作 AH⊥ED 连接 MH,则 MH⊥ED ∴∠MHA 为二面角的平面角 α. AH= 2,MA=1,∴MH= 3. ∴sin∠MHA= 1 3 3 = 3 ,即 sin α= 3 . 3

解法二:DM= 5,PM= 22+12= 5,PD= 8+4=2 3, 1 ∴S△PDM=2×2 3× 2= 6, 1 S△ABD=2×2×2=2, ∴cos α= 2 6 3 = 3 ,∴sin α= 3 . 6

3 答案: 3 三、解答题

10.如图所示,S 是△ABC 所在平面外一点,且 SA⊥平面 ABC, AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E 是 SC 的中点,DE⊥SC 交 AC 于 D. 求二面角 E-BD-C 的大小. 解:∵SB=BC,E 为 SC 的中点, ∴SC⊥BE.由题设知,SC⊥ED, 而 ED∩EB=E, ∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD. 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BD. ∴BD⊥平面 SAC, ∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角.设 SA=a,则 SB= 2 a, 又∵AB⊥BC,由三垂线定理,SB⊥BC. ∴在 Rt△SBC 中,SC=2a. 在 Rt△SAC 中,∵SA=a,SC=2a, ∴∠SCA=30° ,故∠EDC=60° ,即二面角 E-BD-C 的大小为 60° .

11.如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D,E 分 别为 AA1,B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1. (1)求证:AB=AC; (2)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的 大小. 解:(1)证明:以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立 如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.
?1 b ? 设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 B1(1,0,2c),E?2,2,c?. ? ?

→ ?1 b ? → 于是DE=?2,2,0?,BC=(-1,b,0).
? ?

→ → 由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC,DE· BC=0,求得 b=1,所以 AB =AC. → → → → → (2)设平面 BCD 的法向量AN=(x,y,z),则AN· BC=0,AN· BD= 0. → → 又BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,c),
? ?-x+y=0, 1 故? 令 x=1,则 y=1,z=c, ?-x+cz=0. ?

→ ? 1? AN=?1,1,c?.
? ?

→ 又平面 ABD 的法向量AC=(0,1,0). → → 由二面角 A-BD-C 为 60° 知, 〈AN,AC〉=60° , → → → → 1 故AN· AC=|AN||AC|cos 60° ,求得 c= . 2 → → 于是AN=(1,1, 2),CB1=(1,-1, 2), → → → → → → AN· CB1 1 cos〈AN,CB1〉= → → =2, 〈AN,CB1〉=60° .所以 B1C 与 |AN||CB1| 平面 BCD 所成的角为 30° . 12.已知某几何体的三视图如图所示,其中 P′,P″,P 分别 是该几何体的一个顶点 P 在三个射影面上的射影,A′,B′,C′, D′分别是另四个顶点 A,B,C,D 的射影.

(1)从①②两个图中选择出该几何体的直观图. (2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值. (3)设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l,求二面角 A-l-B 的平

面角的大小. 解:(1)图①为该几何体的直观图. (2)依题意,平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD= BC,设 BC 的中点为 O,则 PO⊥BC,PO⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 M,连接 OM,则 OM⊥BC. 如图建立空间直角坐标系. → P(0,0,2),A(2,1,0),PA=(2,1,-2). → → PA· m 又平面 PBC 的一个法向量为 m=(1,0,0),cos〈PA,m〉= → |PA||m| 2 =3.

2 所以直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为3. → → (3)由(2)知 D(2,-1,0),DA=(0,2,0),PA=(2,1,-2), 设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的法向量,
?2y=0, ? 则? 取 n=(1,0,1), ? ?2x+y-2z=0,

m· n 2 则 cos〈m,n〉= = 2 ,所以二面角 A-l-B 的平面角的 |m||n|

大小为 45° .


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